有理数及其运算

数学七上第二章有理数及其运算，讲述了有理数、数轴、绝对值、有理数的加减法、科学计数法、有理数的混合运算等。

第二章 - 有理数及其运算

• §2.1 有理数
  • 定义 : 整数与分数统称为有理数
    • 按定义分
      • 整数
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
    • 按符号分
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 0
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数
• §2.2 数轴
  • 画数轴的步骤
    • 画一条水平直线
    • 在直线上取一点表示0（叫做原点）
    • 选取某一长度作为单位长度
    • 规定直线上向右的方向为正方向
  • 任何一个属都可以用数轴上的一个点来表示
  • 数轴上有理数的比大小
    • 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大
    • 正数大于0，负数小于0，正数大于负数
• §2.3 绝对值
  • 定义
    • 正数的绝对值是它本身
    • 负数的绝对值是它的相反数
    • 0的绝对值是0
  • 性质
    • 在数轴上，a所对应的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 |a|
    • 绝对值的非负性：绝对值是整数，即 |a|≥0
    • 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |a|=|-a|
    • 绝对值等于本身的数是非负数，绝对值等于它的相反数的数是 0 .即：若 |a|=a，则a大于等于0；若 |a|=-a ，则a≤0.
  • 用数的绝对值比大小
    • 两个负数比大小，绝对值大的反而小
    • 例如：-3与-8相比，|-3|=3，|-8|=8，8>3，所以-3>-8
• §2.4 有理数的加法
  • 有理数加法法则
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
    • 异号两数相加，绝对值相等时和为0：绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
    • 一个数同0相加，仍得这个数
  • 加法的交换律、结合律
    • 意义
      • 交换律：两数相加，交换两数的位置，和不变
      • 结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
    • 用字母表示
      • 交换律 a+b=b+a
      • 结合律 a+b+c=a+(b+c)
  • 注意：先定符号再计算
• §2.5 有理数的减法
  • 有理数减法法则
    • 减去一个数等于加上这个数的相反数
  • 注意事项：变号
    • 一是减号变加号
    • 二是把减数变成它的相反数
• §2.6 有理数的混合运算
  • 有理数的加减混合运算
    • 有理数的减法可以转化成加法，所以有理数的加减混合运算可以统一为加法运算
    • 我们把省略了的括号及括号前面的加号的几个有理数的和的式子叫做这几个数的代数和
  • 代数和的读法
    • 一是看成有理数的和
    • 而是按照运算来读
• §2.12 用科学计算器进行运算
  • 科学计算器的使用
    • 键盘的功能键
      • ON/C 是开机/清除功能键
      • + - × ÷ 是运算键
      • = 是完成运算/执行命令的按键
      • OFF 是关机键
      • Del 是退格键
    • 计算器的运算顺序及注意事项
      • 计算器能够先算乘方，再算乘除，最后算加减
      • 注意：在做混合运算时，按键顺序要和书写顺序一致
• §2.11 有理数的混合运算
  • 运算顺序
    • 先算乘方，后算乘除，最后算加减
    • 有括号的，先算括号里的
• §2.10 科学计数法
  • 概念
    • 一般地，大于10的数可以表示为a * 10的n次幂的形式，其中1≤ |a| <10 这种计数方法叫科学计数法
    • 用科学计数法表示数时，10的指数n等于原数整数位数减1
    • 把科学计数法表示的数还原成原数，可以用移动小数点的方法：根据10的指数n来确定，n是几，就把小数点向右移动几位（位数不足的用0补齐）
• §2.9 有理数的乘方
  • 概念
    • 求n个相同因数a的相乘的运算叫做乘方。记作a的n次幂，结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数
  • 乘方运算的符号规律
    • 正数的任何次幂都是整数
    • 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数
    • 任何数的偶数次幂都是非负数
    • 0的任何非0次幂都是0
• §2.8 有理数的除法
  • 有理数的除法法则
    • 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
    • 0除以任何非0的数都得0
    • 注意
      • 先定符号，再相除
      • 0不能做除数
      • 有理数的除法与有理数的乘法互为逆运算
    • 有理数的乘除法混合运算，一般先将除法转化成乘法，将带分数化为假分数，再进行计算
  • 除以一个数等于乘以这个数的倒数
• §2.7 有理数的乘法
  • 有理数的乘法法则
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
    • 任何数与0相乘，积仍为0
  • 倒数
    • 如果两个数有理数的乘积为1，那么称其中一个数为另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。若ab=1，则a、b互为倒数。
  • 乘法的运算律
    • 定义
      • 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等
      • 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等
      • 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
    • 字母的表示
      • 乘法交换律：ab=ba
      • 乘法结合律：abc=a(bc)
      • 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
• 重庆市南岸区茶园新城初级学校
• 2024级11班唐文彬