矩阵分解

矩阵论中矩阵分解的总结。矩阵分解的意义就是把矩阵分解为比较简单或者具有某种特性的一些矩阵乘积。

矩阵分解

• 意义：把矩阵分解为比较简单或者具有某种特性的一些矩阵乘积
• 矩阵的三角分解
  • 意义：任意方阵都可以进行分解， 三角矩阵在行列式，求逆矩阵，求解线性方程组很方便
  • 充要条件：k阶行列式不等于零，
  • doolittle分解
  • crout分解
  • LDR分解：LDR分解是唯一的，起L.R都为单位对角矩阵
  • Cholesky分解
• 矩阵的QR分解
  • 意义：在解决最小二乘问题，特征值计算方面十分重要
  • 定义：
  • 方法1：householder分解
    • 原理
    • 例题
  • 方法2：givens分解
    • 原理
    • 例题
  • 酉相似与hessenberg矩阵
    • 例题与基本步骤
• 矩阵的满秩分解
  • 意义： 1.将矩阵分解为一个列满秩矩阵和行满秩矩阵的乘积，在广义逆矩阵的研究中非常有用。 2.满秩矩阵比较好用，若A有n行，秩为r，则一定可以分解为r的满秩矩阵
  • 原理
  • 例题（实际简便方法）
• 奇异值分解
  • 意义；找到一个等价矩阵，使他保留大部分的性质，但同时空间得到减小。等价标准型的形式已经非常简单了，但仅仅只反应了秩的特性，于是把S，P再进行限值，得到更加多的特性
  • 定义与解题步骤
  • 应用：解矛盾方程组的最小二乘解