线性方程组的直接解法

数值分析中线性方程组的直接解法总结，线性方程组的直接解答一共有三种：Gauss消去法、直接三角分解法、迭代法。

线性方程组的直接解法

• Gauss消去法
  • 顺序消去法
    • 基本目的
    • 基本步骤：太简单，自己看书
  • 列主元消去法
    • 背景：顺序消去法时可能出现首元为零的情况，列主元的目的就是在进行初等行变换之前，在进行一步把该列中最大元素换到第一行来的步骤。
    • 基本步骤：
    • 优缺点：程序简单，计算量较小，精确度也较高。
  • 全主元消去法
• 直接三角分解法
  • 背景：若是能把系数矩阵A进行分解为比较简单的矩阵，那么计算将得到优化。三角分解又分为Doolittle分解和Crout分解。以下以Doolittle分解来说明分解过程
  • 基本目的
  • 基本步骤：看矩阵论中矩阵分解的思维导图
  • 三角分解法中的追赶法（拟三对角线性方程组的三角分解法）
    • 意义：如果系数矩阵A为hessenberg矩阵，则利用A=LU分解法求解的方法称为追赶法
    • 基本步骤和目的
• 矩阵的条件数与病态线性方程组
  • 条件数
    • 背景：
    • 意义：条件数越大说明矩阵病态程度越严重，对于b和A有微小变化时，原方程组的解变化很大。
  • 关于病态线性方程组的求解问题
    • 病态方程组其它判断方法
      • 1.当|detA|相对较小，或者某些行，列近似线性相关时
      • 2.用列主元Gauss消去法求解时，出现主元远小于1的情况
      • 3.分别用b和b+△b求解方程组，x1和x2相差很大时
      • 4.当A的元素数量级差别很大，并且无一定规则时，方程组可能病态
    • 关于病态方程组的求解
      • 1.采用高精度的算数运算，例如双精度,有时行，有时不行
      • 2.平衡方法：适用于A的元素数量级差别很大的情况
      • 3.残差校正法：适用于条件数不太大的时候，只有一点病态
    • 考察病态方程组举例
• 迭代法
  • 背景：右边全部为直接解法，是求精确解，迭代法就是构造一个无限的向量序列，这个向量的极限就是方程组的解向量，只能逼近，不能得到精确解。所以只要是迭代法就存在收敛性与精度控制的问题
  • 一般迭代格式和迭代矩阵
    • 收敛的充分必要条件
      • 1.迭代矩阵的任意范数＜1
      • 2.迭代矩阵的谱半径＜1
  • Jacobi迭代法
    • 迭代格式与基本步骤
    • Jacobi迭代法的收敛性
      • 1.充要条件谱半径＜1
      • 2.通用判断；迭代矩阵的任意范数＜1
      • 3.系数矩阵A为严格对角占优矩阵
    • Jacobi迭代法例题
  • Gauss-seidel迭代法
    • 迭代格式与基本步骤
    • Gauss迭代法的收敛性
      • 1.通用判断：迭代矩阵的谱半径＜1
      • 2.通用判断：迭代矩阵任意范数＜1
      • 3.系数矩阵A为严格对角占优阵
      • 4.系数矩阵A对称正定
  • SOR迭代法：逐次超松弛迭代法
    • 迭代格式与基本步骤
    • 收敛性
      • 1.通用的两个方法
      • 2.必要条件0＜w＜2
      • 3.懒得总结，反正不用