《现代心理与教育统计学》第三章集中量数笔记

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集中量数

• 数据的集中趋势就是指数据分布中大量数据朝某个方向集中的程度。集中量数用于描述数据集中程度的统计量，通常包括：算数平均数、中数、众数
• 算数平均数
  • 定义
    • 数据总和除以数据个数，简称为平均数、均数或均值。平均数一般与标准差、方差相结合使用。总体平均数（参数）用μ表示，样本平均数（统计量）用 表示
      • M
    • 计算公式
      • 
      • 
  • 特点：加则加，乘则乘，离差之和永为零
    • 
      • 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积
    • 在一组数据中每个数据与平均数之差（也称“离均差”或“离差”）的总和等于零
      • 
    • 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数加上或减去、乘以或除以常数C
  • 意义
    • 平均数是应用最普遍的一种集中量数
    • 是真值渐进、最佳的估计值
    • 当观测次数无限增加时，算数平均数趋近于真值
  • 优缺点
    • 优点
      • 反应灵敏、计算严密、计算简单、简明易解、适合于进一步用代数方法验算、较少受抽样变动影响
    • 缺点
      • 缺点
        • 易受极端数据影响、不能在出现模糊数据时计算
  • 计算和应用平均数的原则
    • 同质性原则
    • 平均数与个体数值相结合原则
    • 平均数与标准差、方差相结合的原则
  • 其他平均数
    • 加权平均数
      • 加权平均数时观测数据（Xi）与其相应次数（f）乘积的和除以总次数（∑ f）所得的商，这是加权式的一般公式，即
        • 
    • 几何平均数
      • 指n个观察值连乘积的n次方根，用符号
        • 或英文符号
      • 设一组数据为X1,X2,...,Xn，且均大于0，则几何平均数为
      • 几何平均数在一定场合下，可以用来说明数据的集中程度
    • 调和平均数
      • 调和平均数在计算中先将各个数据取倒数平均，然后再取倒数，故又称倒数平均数。
      • 用符号
        • 或符号 表示
      • 公式为
• 中数
  • 定义
    • 按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，Md，在这组数据中，有一半数据比它大，一半数据比它小，即中数的百分等级为50，中数是一种位置量数
  • 算法
    • 中数附近无重复数时
      • 若数据个数（N）为奇数时，中数则为（N+1）/2位置的那个数，即
      • 若数据个数（N）为偶数时，则中数为居于中间位置两个数的平均数
    • 中数附近有相等重复的数时
      • 当重复数值没有位于数列中间时，求中数的方法与无重复数据相同
      • 当重复数目位于数列中间时，可用画图法
  • 优缺点
    • 优点
      • 计算简单、容易理解、不受极端值的影响、能在有模糊数据情况下使用、可在顺序型数据时使用
    • 缺点
      • 代表性低、不够灵敏、稳定性低、需要排序、不能进一步做代数运算
• 众数
  • 定义
    • 在次数分布中出现次数最多的那个变量值，用Mo表示。在某些分布中众数可能不止一个。在偏态分布时，平均数最靠近尾端；众数位于分布的最高点；中数位于平均数与众数之间
  • 计算
    • 未分组数据
      • 次数最多的数值
    • 次数分布表
      • 次数最多一组的组中值
  • 应用范围
    • 需要快速而粗略地寻求一组数据地代表值时
    • 当一组数据不同质时
    • 当数据分布中有极端值时
    • 当粗略估计次数分布地形态时，有时用平均数和众数之差来表示次数分布是否偏态
    • 次数分布中出现双峰分布时，也采用众数来表示数据分布形态
• 平均数、中数、众数三者关系
  • 三者大小比较
    • 正态分布中
      • 三者相等
    • 正偏态分布
      • Mo<Md<M
    • 负偏态分布
      • M<Md<Mo
  • 一般偏态情况下，Md离M较近，而离Mo较远
  • 皮尔逊经验公式
    • 
    • Mo=3Md-2M