《现代心理与教育统计学》

这是一张归纳了《现代心理与教育统计学》推断统计的数学基础笔记的思维导图，详细的归纳了概率分布类型、正向分布、二项分布F分布的内容知识。

推断统计的数学基础

• 概率
  • 概率的概念
    • 推论统计的数学基础是概率论
    • 试验、事件
      • 在相同条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验叫试验，把观察或实验的结果叫做事件
      • 如果某一随机实验可以分成有限的n种可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且这些结果出现的可能性相等，我们把这m种可能结果称为基本事件
      • 概率是事件在试验种出现的可能性大小。事件A的概率用P（A）表示
    • 表明随机事件出现可能性大小的客观指标。概率的定义包含两种，后验概率和先验概率，当观测次数够多时他们时相等的
  • 古典概率（先验概率）
    • 在满足试验的可结果数有限且每一种结果出现的可能性相等的条件下，某随机事件A包含的可能结果数ｍ除以可能结果总数ｎ。这种概率叫先验概率或古典概率
    • 在只含有有限个基本事件的试验中，任意事件A发生的概率定义为
  • 统计概率（后验概率）
    • 对随机事件进行ｎ次观察，某一事件A出现的次数ｍ与观测次数ｎ的比值。在ｎ趋近无穷时所稳定在的常数ｐ。因为这种概率是由事件A决定的，因此称为后验概率或统计概率
  • 概率的性质
    • 必然事件发生的概率为１；不可能事件的概率为０
    • 事件A发生的概率满足：
    • 逆事件－A的概率：
  • 概率的基本定理
    • 加法定理
      • 指两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之和
      • 所谓互不相容事件，指在一次实验或调查中，当一个事件出现时，另一个事件就一定不出现。加法定理表明概率时可以相加的，此定理可以推广到更多的互不相容事件中去。无论互不相容事件有多少，其总和的概率永远不会大于１
    • 乘法定理
      • 乘法定理适用于几种事件同时发生的情况
      • 乘法定理指出：两个独立事件同时发生的概率等于两个事件概率的乘积。所谓独立事件的出现对另外一个事件出现不产生影响
• 概率分布
  • 概率分布是指对随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数）进行描述。了解随机变量的概率分布是统计分析的基础
  • 概率分布的类型
    • 离散分布与连续分布
    • 经验分布与理论分布
    • 基本随机变量分布与抽样分布
  • 正态分布（高斯分布）
    • 定义
      • 正态分布也称常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，中间量数次数分布多，两端次数分布少，呈对称型的概率分布
    • 正态分布的位置和形状
      • 平均数决定着曲线在轴上的位置
      • 标准差决定着曲线的形状
      • 当标准差相同而平均数不同时，曲线形状相同，位置各异。
      • 当平均数相同而标准差不同时，正态曲线形状不同，越大，曲线越“低阔”，越小曲线越“高狭”
    • 正态分布与标准正态分布
      • 若变量X服从正态分布，可记为
      • 标准正态分布时平均数为０，方差为１的正态分布，可记为Ｎ（０，１）。所有正态分布都可经由Z分数转换为标准正态分布
    • 正态分布的特点
      • 正态分布的形式时对称的，对称轴是经过平均数的垂线，再正态分布中，平均数、中数、众数三者相同，此点Y值最大
      • 正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，再向外弯，拐点在正负１个标准差处，曲线两端向靠近基线处无线延伸，但不与基线相交
      • 正态曲线下的面积为１，故对称轴将正态曲线下的面积划分为相等的两部分
      • 正态分布是一簇分布
      • 标准正态分布均值为０，标准差为１，只有一条
      • 正态曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系
    • 正态分布的应用
      • 化等级评定为测量数据
        • 等级评定－百分等级－标准正态分布－Z分数
      • 确定测验题目的难易度
        • 计算各题目的通过率
        • 不计正负号，与０.５求差值之后对应P值
        • 根据通过率大小确定Z值得正负号
          • 通过率＞５０％，－
          • 通过率＜５０％，＋
        • 查表的得值加５，转化为１０进制难度分数
      • 确定分组或等级评定时的人数
      • 确定录取分数线
  • 二项分布（贝努利分布）
    • 二项试验
      • 试验在相同的条件下重复n次，n为任意给定的正整数
      • 一次试验只有两种可能的结果，即“成功”或失败
      • 每次试验中成功的概率p和失败的概率q保持不变，p+q=1
      • 各次试验的结果互不影响，相互独立
    • 二项式定理
      • 二项式
      • 二项式的展开与杨辉三角
    • 二项分布
      • 二项分布是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布，又叫两个对立事件的概率分布
      • 二项分布中，对于随机变量x进行n次独立试验，若每次试验的结果只出现在事件A与其对立事件二者之一；且在每次试验中出现A的概率是p，出现对立事件的概率是1-p，记为q=1-p，在n次独立试验下，A出现次数为x的概率分布为：
      • 根据二项式定理，若在n次试验中，求r次成功的概率分布函数，可由公式求得，即
        • 也可写成
      • 二项分布的优点在于它能迅速地确定各种可能结果的概率
    • 二项分布的性质
      • 二项分布是离散型分布，概率条图是阶跃式的
      • 当p=q=1/2时，不论n有多大，二项分布图形都总是对称的
      • 当p不等于q时，且n相当小，则图形显偏态
      • 当n相当大时（n大于等于30），即使p不等于q，图形会近似正态分布，也即二项分布的极限分布是正态分布
    • 二项分布的平均数和标准差
      • 二项分布接近正态分布的条件
      • 平均数
      • 方差
      • 标准差
    • 二项分布的应用
      • 二项分布除了用来求成功事件出现x次的概率之外，主要用来判断试验结果的机遇性与真实性界限
  • t分布
    • t分布的含义
      • t分布又叫学生氏分布，由高赛特提出，是统计分析中应用较多的一种随机变量函数的分布，这种分布是一种左右对称、峰态比较高狭，分布形状随样本容量n-1的变化而变化的一族分布
      • t分布的公式为
      • t分布与标准差无关，而与自由度（n-1）有关，自由度一般用df表示。自由度是指任何变量中可以自由变化的数据个数
    • 特点
      • t分布式类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散；其均值为0，标准差大于1
      • 方差为n/(n-1)；左右对称，左侧t<0；右侧t>0
      • 变量取值在
    • 总体正态，总体方差未知，小样本（n小于等于30）则样本均数的分布呈t分布
      • 样本均数分布的均数等于总体均数
      • 样本均数分布的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根
      • 转为标准正态分布
    • 总体呈非正态，总体方差位置，大样本（n>30），样本均数的分布为t分布或渐进正态分布
      • 样本均数分布的均数等于总体均数
      • 样本均数分布的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根
      • 转为标准正态分布
  • 分布
    • 卡方分布的含义
      • 卡方分布是统计分析中应用较多的一种抽样分布，它是描述正态变量二次型的一种重要分布
      • 从一个服从正态分布的总体中，每次随机抽取n个随机变量，X1、X2……Xn，可以无限次做同类抽取。对于每次抽取的样本，可计算这个样本的标准分数的平方和。无限多个n个随机变量的标准分数的平方和的分布是卡方分布
      • 公式
        • 总体均值已知
        • 总体均值未知
          • 自由度为n-1
    • 特点
      • 正偏态分布，n或n-1越小，分布越偏斜，随着参数df=n-1的增大，趋近于正态分布
      • 曲线下的面积为1，
  • F分布
    • F分布的含义
      • 从两个正态分布总体中随机抽取容量为n1,n2两个样本，计算卡方值，每个卡方值除以对应的自由度df1=n1-1与df2=n2-1之比，称为F比率，无限多个这样的F值的构成的分布即为F分布
      • F分布的公式为
        • df1为分子自由度，df2为分母自由度
      • 将卡方公式代入可得到
      • 若两样本取自同一总体，可简化为
    • 特点
      • 正偏态，分布曲线随df1与df2增加而渐趋于正态分布
      • F值总为正值（方差之比）
      • 分子自由度为1时，分母自由度任意，都有F值与分母自由度相等概率的t值（双侧概率）的平方相等。这一点说明当组间自由度为1时，F检验与t检验的结果相同
        • (两种处理水平）
      • F分布的倒数性质
• 样本平均数分布
  • 总体为正态，方差已知，样本平均数的分布为正态分布
    • 样本平均数的分布等于总体平均数
    • 样本平均数分布的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根
    • 转为标准正态分布
  • 总体分布为正态，但是方差已知，样本足够大时（大于30），其样本平均数的分布为渐进正态分布
    • 样本平均数的分布等于总体平均数
    • 样本平均数分布的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根
    • 转为标准正态分布
  • 总体为正态，方差未知时，样本平均数分布为t分布
  • 当总体分布非正态而其方差未知，若满足n>30这一条件，样本平均数的分布近似为t分布
  • 中心极限定理：
  • 大数定律：
• 抽样原理与抽样方法
  • 抽样的优点与作用
    • 节省人力及费用
    • 节省时间，提高调查研究的时效性
    • 保证研究结果的准确性
  • 抽样的基本原则——随机化
    • 抽样的基本原则时随机化原则。所谓随机化原则是指在进行抽样时，总体中每一个体是否被抽取，并不是研究者主观决定的，而是每一个体按照概率原理被抽取的可能性是相等的。在心理学研究中，随机化有两层含义：一是随机抽取样本；另一个是随机安排实验条件
    • 随机化的优点：使样本获得最大的代表性；可以预算或控制抽样误差
  • 抽样方法
    • 概率抽样
      • 概率抽样是根据已知的概率，按照概率论的原理严格随机选取样本，是最理想、最科学的抽样方法
      • 简单随机抽样
        • 含义
          • 从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会（概率）被抽中。适合总体数目较小，个体差异较小时使用
        • 具体方法
          • 抽签法；随机数字法
        • 步骤
          • 给总体元素编号；确定使用起始号码；登录入样号码
        • 特点
          • 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本；机会均等、相互独立
        • 局限性
          • 当N很大时，不易构造抽样框；抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难；没有利用其他辅助信息以提高估计的效率
      • 分层抽样
        • 含义
          • 将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本
        • 原则
          • 层间差异大于层内差异（层内样本差异要小；层与层间的差异尽可能大）
        • 方法
          • 按各层比例分配样本元素个数；各个层次按简单随机抽样的方法抽样，产生自己的样本，最后合成整个整体
        • 优点
          • 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度；组织实施调查方便；既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计
      • 等距抽样
        • 含义
          • 将总体中的所有单位（抽样单位）按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位。（系统抽样、机械抽样；总体数目庞大时使用）
        • 方法
          • 将总体元素连续编号；确定样本间的间距（N/n=K）；随机确定一个起点A（1<A<K）后，每隔K个单位抽取一个
      • 两阶段随机抽样
        • 两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫作一个“集团”，第一步从M个集团中随机抽取m个“集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个“集团”中抽取个体构成第二阶段样本。一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经费，在大规模调查研究中较为常用
    • 非概率抽样
      • 方便抽样，由调差人员自由、方便地选择被调查的非随机选样
      • 判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样方法