几何进阶

对几何的本质挖掘和思考规律，分析结论与条件的关系，一看条件的分布以及与结论的位置关系，二是看条件和结论有没有联系的桥梁；一切居于对称的元素都是可证相等的，部分都是可证全等的，对称一定会有全等出现。遇选填题，若可得的关于对称的元素全部相等，可直接认为剩余的边角的相等（对称定理）。

初中几何

• 模型与知识
  • 平移+旋转
    • 一线三等角
      • • 基本条件
          • 等腰三角形
          • 同一条直线上三个等角
        • 基本方法
          • 这类问题常常出现在坐标系中，标志为一个等腰直角三角形，当没有现成的模型出现时，则过直角三角形顶点所在直线向x，y轴作垂线
  • 旋转
    • 对角互补
      • • 基本条件（知二推一）
          • 角平分线
          • 对角互补
          • 一组临边相等
        • 基本方法
          • 做双垂
    • 手拉手
      • • 基本条件
          • 共顶点相似的等腰三角形
        • 基本结论
          • 全等
          • 对应边的夹角等于旋转角
          • 有角平分线
        • 如何快速找到全等
          • 共顶点的角减去重叠部分，为两全等当对应角
    • 半角模型
      • • 基本条件（缺一不可）
          • 一半的角关系
          • 邻边相等
          • 对角互补
        • 基本方法
          • 在临边外截一段等边，构造全等
  • 平行
    • 角平分线
      • • 基本条件（知二推四，但必须有平行）
          • 上下底平行
          • 中点
          • 有两组角平分线
          • 两角平分线垂直
        • 基本方法
          • 本质为平行、角平分线、等腰知二推一，做法为判断是哪个推那个，延长已知角平分线即可
    • 平行、等腰、角平分线知二推一
      • 外角与内角两种
  • 对称
    • 将军饮马
      • 对称
        • 两动一定
          • 求两线最短
            • 作定点的一个对称点，再作垂线
          • 求三线最短
            • 作两个对称点，再相连
        • 两定一动
          • 和最小
            • 通过对称一点，与另一点相连，交直线于一点即为动点
          • 差最大
            • 根据三角形三边关系，连接两定点，并延长交直线与一点即为动点，异侧时，转化为同侧
          • 差最大
            • 根据中垂线，连接两点，作出中垂，交直线于一点为动点
      • 平移+对称
        • 单个修桥问题
          • 将桥长平移出来，转化为简单的异侧的两定一动（构造平行四边形进行平移）
        • 多个
          • 将桥长向那一直线平移出，则此直线相当于消失
      • 对称+旋转
        • 通过手拉手，出现全等，一般旋转含有所求较短边的三角形，将不在直线上的点转化到一条直线上，转化为两定一动。若仍不解决问题则看被动点在哪以直线上动
    • 折叠模型
      • 求角
        • 双角平分线
          • 夹角为90°
        • 对肩模型
          • 两邻补角之和等于三角形两顶角之和
        • 轴对称＋等边模型
          • 题目中出现一条边关于某条直线对称，同时又有跟这条边相等的另一条边（通常在正方形或等腰三角形中出现）时，注意对称边与原边的等边构成等腰三角形
      • 求边
        • 特殊的三角形可导角导边
        • 三垂直模型，出现全等
        • 勾股定理列方程模型
          • 当出现一个固定长度a的一部分折叠后与另一部分构成一个直角三角形时，可以将这部分长度设为X,另一部分为a-x，在新构成的直角三角形中使用勾股定理解出X
• 思考规律
  • 基本过程
    • 大局分析
      • 分析结论与条件的关系，一看条件的分布以及与结论的位置关系，二是看条件和结论有没有联系的桥梁
    • 细节联想
      • 将条件充分联系思考规律，推出所有能推出的结论，并结合动态眼光
  • 动态眼光
    • 对称（出现角等）
      • 角平分线（中垂线）
        • 角平分线（中垂线）的定理及其逆定理（做双垂）（连接点与端点）
        • 它是一个对称图形
        • 补全对称图形
      • 一切居于对称的元素都是可证相等的，部分都是可证全等的，对称一定会有全等出现。遇选填题，若可得的关于对称的元素全部相等，可直接认为剩余的边角的相等（对称定理）
      • 看到45°角，想等腰直角三角形，看到30°角，想30°直角三角形，及其它们的边关系
    • 旋转（出现边等）
      • 倍长中线
        • 看到中点，倍长中线
        • 求证中点，做平行线
      • 顺全等的两个三角形三边夹角相等，典型模型有三等角，手拉手、射影
      • 模型
        • 对角模型
        • 手拉手
        • 半角模型
    • 平移
      • 平行、等腰、角平分线知二推一
      • 导角
        • 需要找不同位置角的关系时，可做平行辅助线，将不同位置的角移到同一个顶点或者三角形当中
      • 导边
        • 若一线段不处于已给出长度所组成的三角形中，或距离远，不好找关系，则利用平行线间距离处处相等，平移至已给出长度所组成的三角形中
    • 对称+旋转
      • 截长补短
        • 旋转
          • 两个包含较短边、已有边等的小全等
        • 对称
          • 存在角平线对称的大全等
  • 技巧
    • 证全等（证边等、求边长）
      • 先找是否有现成
        • 证明全等时，如果缺条件。看缺角还是缺边，罗列出可能的情况，再排除循环逻辑的、跟已知无关的和不满足全等判定定理的，剩下的一一尝试，可将缺的角或边放在另一组全等三角形中证明
      • 无现成
        • 考虑构造含有这对边/角的一组全等三角形（先找出已有的等边位于哪个完整的三角形中），构造的方法是根据全等判定定理。比如已经有一组边、一组角相等，我们可以构造另一组边、角相等得到全等三角形，可能的话优先构造边
    • 解题技巧
      • 面对几个可能的结论时，可以用测量、取特值、取极限、找特殊位置（处于动态旋转变化）等方法猜想哪个结论是正确的，再开始下一步的证明
      • 在做第2问，或者解题步骤的后半部分时，可以联系前一问的结论,作为条件直接使用或者模仿前面得到结论和所用方法简化新的问题
    • 知识思考规律
      • 两图形有公共部分，两图形除公共部分外的部分相等，则两图形相等。
      • 有复杂的角关系可设参，设小角，找边关系
      • 当所求边关系有系数，不好找关系时，可将系数提出
      • 再一个不确定的图形中，需要分类讨论时，可先确定已确定的部分，再在这个基础上讨论可能性
      • 勾股定理
        • 求长度
          • 相似与全等
          • 勾股定理
          • 三角函数
        • 求高公式（直角三角形）
          • 两直角边之积除以底边
        • 当求一条线段的长度时，此线段又不在一个直角三角形中，可尝试作垂线，将其包含再一个直角三角形中