初中数学知识大全

初中数学知识大全思维导图，包括：1.实数知识；2.代数知识；3.方程与不等式知识；4.函数知识；5.平面与空间几何知识；6.图形与变换相关知识；7.平面几何知识；8.统计与概率知识。

初中数学基础知识

1. 实数知识

有理数

有理数的意义

定义：整数和分数统称为有理数 整数：正整数、0、负整数统称为整数 分数：正分数和负分数统称为分数

有理数（分类1）

整数

正整数

0

自然数

负整数

分数

正分数

负分数

有限小数或无限循环小数

有理数（分类2）

正有理数

正整数

正分数

0

既不是正数也不是负数

负有理数

负整数

负分数

相反数

定义：只有符号不同的两个数叫做相反数

"0"的相反数依然是"0"

若a、b互为相反数，则：a+b=0

数轴

要素：1.原点 2.正方向 3.单位长度

绝对值

定义：一般地，数轴上表示a与原点之间的距离叫做a的绝对值，记作|a|

|a|=a（a≥0） |a|=-a（a＜0）

绝对值最小的数是"0"

（1）数轴上两点间的距离等于该两点数差的绝对值 （2）数轴上两点间的距离之和最小值位于该两点为端点的线段上

有理数的运算

有理数的加法及乘法

运算定律

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a·b=b·a a·(b·c)=(a·b)·c a·(b+c)=a·b+a·c

有理数的除法

倒数

定义：乘积为1的两个数互为倒数 性质：a·b=1,则a和b互为倒数⇔a和b互为倒数,则a·b=1 法则：除以一个不等于0的数,等于乘于这个数的倒数 提示："0"没有倒数,且不能作为除数

有理数的乘方

概念：求n个相同因数的运算叫做乘方，乘方的结果叫做"幂" 说明：aⁿ,其中a叫做底数,n叫做指数

法则

正数的任何次幂都是正数 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数 0的任何正整数次幂都是0 0的0次幂无意义

有理数混合运算的顺序

1.先乘方,再乘除,最后加减 2.同级运算,左往右 3.有括号先做括号内的运算

科学计数法

把一个绝对值大于10的数表示成ax10ⁿ的形式(1≤|a|＜10,n是正整数)

近似数

接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个数的近似数,也叫近似值 近似数与准确数的接近程度,可以用精准度表示(四舍五入到某位就是准确到某位)

实数

平方根与立方根

算术平方根的定义及性质

定义：一般地,若x²=a(x≥0),那么x叫做a的算术平方根(0的算数平方根是0) 表示方法:a的算术平方根记作√a,读作"根号a",a也叫做被开方数

平方根的定义及性质

定义:若x²=a,那么x叫做a的平方根,表示为x=±√a,读作"±根号a" 性质:正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根

注意区别√(a²)与(√a)²的运算顺序以及取值范围 ±√a有意义的条件是a≥0 √a(a≥0)是a的算术平方根,√a≥0 -√a(a≥0)表示a的算术平方根的相反数 (1)若一个非负数的平方根是x与y,则x+y=0 (2)若x,y是一个非负数的平方根,则x=y,或者x+y=0

立方根的定义及性质

定义:一般地,若x³=a,那么x叫做a的立方根,或者三次方根 表示方法:x=³√a 性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0

提示: 1.负数不能开平方,但是可以开立方 2.立方根等于本身的数有0,±1 3.互为相反数的两个数的立方根依旧互为相反数 4.任意数都只有一个立方根

实数

无理数

定义:无限不循环小数叫做无理数 提示:1.含有π的数字 2.开方开不尽的数 3.无限不循环小时

实数

有理数和无理数统称为实数

实数(分类1)

有理数(整数和分数)

(分类1)有理数

整数

正整数

0

自然数

负整数

分数

正分数

负分数

有限小数或无限循环小数

(分类1)有理数

正有理数

正整数

正分数

0

既不是正数也不是负数

负有理数

负整数

负分数

无理数(无限不循环小数)

实数(分类2)

正实数

正有理数

正整数

正分数

正无理数

0

负实数

负有理数

负整数

负分数

负无理数

运算定律

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a·b=b·a a·(b·c)=(a·b)·c a·(b+c)=a·b+a·c

估计任何无理数的大小

例题:估算√63的大小,准确到小数点后2位

2. 代数知识

整式的加减

代数式的基础知识

定义:用运算符号把数或者表示数的字母连接成式子表示数量关系,叫做代数式 提示:单独的一个数或者一个字母也叫代数式 提示:注意区分代数式与代数式的值

整式的加减

单项式、多项式与整式的联系与区别

单项式

表示数与字母、字母与字母的积的式子 单独的一个数字或者一个字母也是单项式 提示:单项式中只含有乘或者乘方,不含加减 提示:单独一个非零的数是零次单项式

单项式的系数

单项式中数字的因数(包括符号)

单项式的次数

单项式中所有字母(不含系数)的指数之和

多项式

几个单项式的和叫做多项式

多项式的项

每一个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项

多项式的次数

多项式中的最高项的次数叫做这个多项式的次数

整式

单项式和多项式统称为整式

(分类)代数式

整式

单项式

多项式

非整式

所有整式分母不含字母 单项式中不含+或者-运算 π是常数,所以1/π也是常数

同类项

定义:字母相同,且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项

整式运算的顺序

1.写出代数式 2.去括号 3.合并同类项

整式的乘除

幂的运算性质

同底数幂相乘

底数不变,指数相加

同底数幂相除

底数不变,指数相减

幂的乘方

底数不变,指数相乘 (a³)ⁿ=a³ⁿ=(aⁿ)³ (a³a²)ⁿ=a³ⁿa²ⁿ

零指数幂与负整数指数幂

任意不等于零的数的零次幂都等于1(底数不为零) 任何不等于零的数的负整数次幂,等于这个数的正整数次幂的倒数(底数不为零)

幂的性质

(1)若 0＜底数＜1,指数越大幂越小 (2)若 底数＞1,指数越大幂越大

整式的乘法

单项式乘以单项式

系数、同底数幂分别相乘

单项式乘以多项式

单项式乘以多项式的每一项,所得积相加,即m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式乘以多项式

多项式中的每一项去乘以另一个多项式中的每一项,所得积相加,即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

乘法公式

平方差公式

(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式

(a±b)²=a²±2ab+b²

变式

(a+b)²+(a-b)²=2（a²+b²） (a+b)²-(a-b)²=4ab ab=1/2[(a+b)²-a²+b²] ab=[(a+b)/2]²-[(a-b)/2]² 1/ab=[1/(b-a)](1/a-1/b) (a＜b)

特殊乘法公式

(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

整式的除法

单项式除以单项式

把系数与同底数幂分别相除作为商的因式(对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式)

多项式除以单项式

多项式的每一项除以这个单项式,再将所得的商相加(所得结果项数与被除式的项数相同)

因式分解

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式的变形叫做多项式的因式分解

公因式(数)

多项式各项都含有的公共的因式(数)

因式分解的方法

提取共因式(数)

公式法

分组分解法

十字相乘法

x²+(a+b)x+ab型式子的因式分解

因式分解的步骤

1.提(提取共因式) 2.套(因式分解方法) 3.分组(项数太多考虑分组分解) 4.完成(因式分解到不能再分解为止)

分式运算

分式及其性质

概念

其中A B分别代表整式,B中含有字母,则A/B(B≠0)叫做分式

分式与整式的区别

分式的分母中含有字母, 1/2,1/π都是整式,2/x是分式

分式的基本性质

分子分母同时乘以或者除以一个非零整式,分式的值不变

约分

分子分母同时除以一个公因式的过程叫做约分

通分

最简公分母

将几个异分母的分式化成与原分式相等的同分母分式的过程叫做通分

最简分式

分子分母没有公因式叫做最简分式

分式的运算

分式的乘除法则

乘法法则

用分子的乘积作为积的分子,分母的积作为积的分母

乘方法则

除法法则

等于除式分子、分母颠倒位置后与被除式相乘

分式的加减法则

同分母时,分子相加减,分母不变

异分母时,先通分,再加减

分式的混合运算

先乘方,再乘除,后加减 有括号先算括号内的内容 同级运算从左往右依次进行

公式

1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

二次根式相关内容

概念及性质

√a (a≥0)的式子叫做二次根式

最简二次根式

1.被开方数不含分母 2.被开方数中不含能开得尽的因数或因式

同类二次根式

被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式

二次根式的性质

(√a)²=a(a≥0)

√(a²)=|a|

=a(a≥0)

=-a(a＜0)

√(ab)=√a·√b（a≥0,b≥0）

√(a/b)=√a/√b(a≥0,b＞0)

注意区别√(a²)与(√a)²的运算顺序以及取值范围 ±√a有意义的条件是a≥0 √a(a≥0)是a的算术平方根,√a≥0 -√a(a≥0)表示a的算术平方根的相反数

二次根式的运算

乘法法则

√(ab)=√a·√b（a≥0,b≥0）

除法法则

√(a/b)=√a/√b(a≥0,b＞0)

加减法则

转化为最简二次根式后,再合并同类二次根式

同类二次根式

被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式

有理化

含有根式的代数式相乘的积不含根式,则两根式互为有理化因式

分母有理化

化去分式中分母根号的变形叫做分母有理化

二次根式的系数不能写成带分数

3. 方程与不等式知识

基础知识

方程

含有未知数的等式叫做方程 使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根 求方程的解的过程,叫解方程

等式的性质

1.若a=b,则a±c=b±c 2.若a=b,则a/c=b/c (c≠0) 3.若a=b,则ac=bc (c≠0) 4.若a=b,则b=a 5.若a=b,b=c,则a=c (等量代换)

一次方程（组）

一元一次方程

未知数所在的式子是整式 含有一个未知数 含有未知数的项的次数是1

二元一次方程（组）

概念

含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程

条件

1.含有两个未知数 2.未知数的项的次数都是1 3.含有未知数的式子都是整式

解法

消元法

代入法

加减消元法

分式方程

概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

分式方程可以转化成整式方程

增根

概念

使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根 方程求解后得到的不满足题设条件的根

分式方程无解

转化后的整式方程无解

分式方程有增根

分式方程无解的两种情况

一元二次方程（组）

一元二次方程概念及解法

概念

等号两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的最好次数是2的方程

一般形式

ax²+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)

解法

直接开平方(二次根式相关知识)

配方法,一般依据a²±2ab+b²=(a+b)²

公式法(求根公式)

当ax²+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)中,Δ=b²-4ac≥0,方程有实数根

x₁,x₂=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)

因式分解法

十字相乘法

x²+(a+b)x=(x+a)(x+b)

根的判别式和根与系数的关系

判别式

将ax²+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)配方之后发现(x+b/2a)²=(b²-4ac)/(4a²), 只有在b²-4ac≥0时,方程才有实数根,即Δ=b²-4ac的值决定了方程根的情况

Δ=b²-4ac

＞0

方程有两个不相等的实数根

=0

方程有两个相等的实数根

＜0

方程没有实数根

当ax²+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)方程中Δ≥0

方程可以使用求根公式

x₁,x₂=(-b±√Δ)/(2a)

ax²+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的两个根有以下关系 x₁+x₂=-b/a,x₁·x₂=c/a

若两个数α和β满足:α+β=-b/a,αβ=c/a, 那么这两个数是ax²+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根

韦达定理 及逆定理

韦达定理运用

与两根有关的代数变形

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-x₁x₂

|x₁-x₂|=√[(x₁-x₂)²]=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]

根的符号

Δ=b²-4ac≥0,且x₁x₂＞0

x₁+x₂＞0

两根同为正数

x₁+x₂＜0

两根同为负数

Δ=b²-4ac＞0,且x₁x₂＜0

x₁+x₂＞0

两根异号且正根绝对值大

x₁+x₂＜0

两根异号且负根绝对值大

以x₁,x₂为根的一元二次方程(a=1)为x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0

实际问题（一元二次方程）

注意检查方程的结果是否符合实际意义

不等式（组）

不等式的概念

运用＞或者＜等表示大小关系的式子 a+2≠a-2表示不等关系的式子也是不等式

常用符号

＞ ≥ ＜ ≤ ≠

数轴上的表示形式

不等式的性质

1.若a＞b,则a+c＞b+c 2.若a＞b,c＞0，则ac＞bc (a/c＞b/c) 3.若a＞b,c＜0，则ac＜bc (a/c＜b/c) 4.若a＞b,则b＜a (对称性) 5.若a＞b,b＞c,则a＞c (传递性) 6.若a＞b,c＞d,则a+c＞b+d (同向相加性)

一元一次不等式（组）

一元一次不等式

概念

左右两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的最高次数都是1的不等式

标准形式

ax+b≥0 或ax+b≤0(a≠0)

一元一次不等式组

概念

同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起

解集

几个不等式的解集的公共部分,若这些不等式的解集没有公共部分,就说明这个不等式组无解

解集的确定方法

同大取大

同小取小

大小小大 中间找

大大小小 没解了

特殊情况说明

若x≥a,且x≤a,则x=a

若x＞a,且x＜a,则x无解

若x²+a≥0(a≥0)，则x的解为全体实数 若x²+a＜0(a≥0)，则x无解

若√(x²)≥0 (或x²≥0),则x的解集为全体实数 若√(x²)＜0 (或x²＜0),则x无解

方程解实际问题

和差问题

年龄问题

储蓄问题

利润问题

行程问题

相向问题

追及问题

航行问题

等体积变换问题

工程问题

按比例分配问题

4. 函数知识

函数基础

有序数对

记作(a,b)

平面直角坐标系

横轴x轴→,纵轴y轴↑,原点O,正方向

象限

第一,第二,第三,第四象限

点的左边A(x,y)

表示A到x轴的距离为|y| 表示A到y轴的距离为|x|

关于x轴,y轴,以及原点O对称的特点

关于X轴对称

A1(x,-y)

关于Y轴对称

A2(-x,y)

关于原点O对称

A3(-x,-y)

两点间的距离

任意点P(a,b)与原点O的距离

PO=√(a²+b²)

任意两点P1(a,b),P2(m,n)的距离

X方向的P₁P₂距离=|a-m|

Y方向的P₁P₂距离=|b-n|

P₁P₂=√[(a-m)²+(b-n)²]

变量与常量

某一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量

某一个变化过程中,数值不发生变化的量叫做常量

自变量与函数

一般地,在一个变化过程中,若有两个变量x,y并且对于任意x值, y都有唯一确定的值与其对应,则称x为自变量,y是x的函数

函数的图像

表示方法

描点法

1.列表 2.描点 3.连线

解析式法

列表法

图像法

一次函数及反比例函数

正比例函数

一般地,形如y=kx(k≠0)的函数叫做正比例函数

一次函数

一般地,形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数

解析式y=kx+b(k≠0)中k,b对函数图像的作用

k＞0

b＞0

b=0

b＜0

k＜0

b＞0

b=0

b＜0

两条直线y=k₁x+b₁(k₁≠0)及y=k₂x+b₂(k₂≠0)的位置关系

若k₁=k₂,b₁≠b₂,则两直线平行

若k₁=k₂,b₁=b₂,则两直线重合

若k₁≠k₂,b₁=b₂,则两直线交于y轴一点

k₁·k₂=-1,则两条直线垂直

b=0时,y=kx+b(k≠0)变化为y=kx(k≠0) 说明正比例函数是一种特殊的一次函数

反比例函数

一般地,形如y=k/x(k≠0)的函数叫做反比例函数

y=k/x(k≠0)的图像是双曲线

解析式y=k/x(k≠0)中,k对函数图像的作用

k＞0

图像位于第一三象限

k＜0

图像位于第二四象限

解析式y=k/x(k≠0)中k的几何意义

双曲线上任意点P作x轴,y轴的垂线,垂足为M,N 则矩形PMON面积S=PN·PM=|x|·|y|=|xy|=|k| 则ΔPMO(或者ΔPNO)的面积S=(1/2)·|k|

二次函数

二次函数的定义、图像及性质

一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)的函数叫做二次函数

特殊情况的二次函数

y=ax²(a∈R,a≠0)

y=ax²+bx(a,b∈R,a≠0)

y=ax²+c(a,c∈R,a≠0)

解析式y=ax²(a∈R,a≠0)的图像及性质

图像是一条关于y轴对称,顶点位于原点O的抛物线

a(a≠0)对函数图像的作用

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

抛物线张口大小由|a|决定

若|a|越大,张口越大

若|a|越小,张口越小

y=ax²+k(a,k∈R,a≠0) y=a(x-h)²(a,h∈R,a≠0) y=a(x-h)²+k(a,k,h∈R,a≠0) 图像及性质的研究

y=ax²+k(a,k∈R,a≠0)

图像是一条关于y轴对称,顶点位于(0,k)的抛物线

y=a(x-h)²(a,h∈R,a≠0)

图像是一条关于直线x=h对称,顶点位于(h,0)的抛物线

顶点式:y=a(x-h)²+k(a,k,h∈R,a≠0)

图像是一条关于直线x=h对称,顶点位于(h,k)的抛物线

交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a∈R,a≠0)

图像是一条关于直接x=(x1+x2)/2对称的抛物线

增减性,最值问题的研究

二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)的图像及性质

图像是关于x=-b/(2a)对称,顶点位于（ -b/(2a) , (4ac-b²)/(4a)）的抛物线

二次函数与其他函数的探索

抛物线与直线的关系

若y=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)与y=kx+b(k≠0)方程组

有两个不同的解⇔两函数图像有两个交点

有一个解⇔两函数图像有一个交点

没有解⇔函数图像没有交点

二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0) 与一元二次方程ax²+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)的关系

二次函数与x轴有2个不同的交点,即Δ＞0,则方程ax²+bx+c=0(a≠0)有2个不相等的实数根

二次函数与x轴有1个交点,即Δ＝0,则方程ax²+bx+c=0(a≠0)有1个实数根

二次函数与x轴有没有交点,即Δ＜0,则方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根

二次函数在定义域内的最值问题

5. 平面与空间几何知识

图形的初步认识

几何图形

几何图形只关注物体的形状、大小和位置

立体图形

常见立体图形

柱体

圆柱体

棱柱体

锥体

圆锥体

圆锥体侧面积公式

S侧=πRL R:底面圆半径 L:圆锥侧边母线长

棱锥体

球体

点→线→面→体

常见的旋转体

圆锥体

圆柱体

圆台

球

直线、射线与线段

直线

特点

没有粗细,没有端点,向两端无限延伸

两点确定一条直线

点与直线的关系

点在直线上或者说直线经过该点

点不在直线上

同一平面内两条直线的关系

平行

平行线之间的距离

垂线段

图形概念

距离

数量概念

两条平行线之间距离处处相等

平行线具有传递性

若a∥b,b∥c,则a∥c

相交

平面内n条直线最多有n(n-1)/2个交点

平面内直线将平面平分成1+1+2+3+4+...+n个部分

1+1+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2

射线

特点

有一个端点,具有方向性,另一端可以无限延伸

描述射线时应把表示端点的字母写在前面

端点相同,延伸方向相同才是同一条射线

线段

特点

有两个端点,不能无限延伸,有具体长度,可度量

两点之间线段最短

线段中点

尺规作图寻找线段的中点

距离与线段的区别

距离是线段的长度,线段是一个几何图形

若直线上存在n个点,可得n(n-1)/2条线段(握手法)

角

公共端点的两条射线组成的图形叫做角 也可以看成射线围绕端点旋转形成的图形(始边→终边)

特点

角的大小与边的长短无关,和射线张开的幅度有关

平角和周角

1周角=360°,1平角=180°,1直角=Rt∠=90°

1周角=2平角=4直角

角平分线

从角的顶点出发,平分角成两个相等角的射线叫做角平分线

角平分线上任意点到两边的距离相等

角的度量及单位换算

1°=60′=3600″(1度=60分,1分=60秒)

余角和补角

余角

若两个角之和为90°,则两叫互余(其中一个角是另一个角的余角)

补角

若两个角之和为180°,则两叫互补(其中一个角是另一个角的补角)

平面内角的计算

从平面内一点引出n条射线可以组成n(n-1)/2个角

若有n条直线经过同一个点,则经过这点有2n条射线,有2n(2n-1)/2=n(2n-1)个角 其中平角有n个,小于平角的角共有n(2n-1)-n=2n(n-1)个

有关时钟上时针旋转计算

分钟:6°/min,时针:0.5°/min

方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所成的小于90度的角

折现模型求角度问题

相交线与平行线

邻补角

既为邻角,又是补角的两个角

对顶角

垂直

垂线段

垂线段是一条线段,可以度量,是垂线的一部分

垂线

垂线是一条直线,不能度量

同位角、内错角、同旁内角

三线八角模型

平行

同一平面内不相交的两条直线互为平行,记作:a∥b

同一平面内两条直线的关系

平行

平行线之间的距离

垂线段

图形概念

距离

数量概念

两条平行线之间距离处处相等

平行线具有传递性

若a∥b,b∥c,则a∥c

相交

平面内n条直线最多有n(n-1)/2个交点

点到直线的距离

两点之间

两点之间连接线最短

点到直线的距离

点到直线垂线段最短

投影与视图

投影

一般地,光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影 照射光线叫做投影线,投影所在平面叫做投影面

正投影

投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影

射影定理、投影定理

视图

主视图

由前向后看

左视图

由左向右看

俯视图

由上向下看

正投影

长对正、高平齐、宽相等

三角形与多边形

三角形的有关概念

定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形

三角形的边

三角形的内角

三角形的内角之和等于180°

有两个角互余的三角形是直角三角形

三角形的外角

一边与另外一边的延长线组成的角叫做三角形的外角

三角形的外角等于两个不相邻的两个内角和

飞机形模型图求角度数问题

三角形的顶点

三角形的分类

按照边分类

不等边三角形

等腰三角形

底边和腰不相等的三角形

等边三角形(正三角形)

按照角分类

直角三角形

斜角三角形

锐角三角形

钝角三角形

三角形的五心

重心

三角形三条中线的交点

三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等

内心

三角形三条内角平分线的交点

三角形的内心、旁心到三边距离相等

三角形内切圆圆心

直接三角形的内切圆半径r=(a+b-c)/2(a,b为直角边,c为斜边)

任意三角形面积与内切圆半径以及三边或周长的关系

S三角形=r·(a+b+c)/2=C·r/2

外心

三角形三边的垂直平分线的交点

三角形的外心到三顶点的距离相等

三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心

三角形的外接圆圆心

垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点

三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心

三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

三角形的重心也是它的中点三角形的重心

三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍

三角形的外心是它的中点三角形的垂心

旁心

同时三角形的一边以及其他两邻边的延长线 相切的圆的圆心.该圆成为旁切圆

三角形三边关系

两边之差小于第三边

两边之和大于第三边

较短两边的长度之和大于最长边就可以构成一个三角形

三角形的中位线

连接三角形两边的重点的线段叫做三角形的中位线

定理:中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半

结论

三条中位线组成的小三角形的周长为原大三角形周长的一半

三条中位线组成的小三角形的面积为原大三角形面积的四分之一

三条中位线将原大三角形分割成四个全等的三角形

三角形的一条中位线与第三条边上的中线相互平分

三角形具有稳定性

其他多边形不具备这个特征

三角形的内切圆

多边形的内角和与外角和

多边形的概念

定义:线段首尾顺次相连组成的封闭图形 (凸多边形:整个图形都在任一边所在直线的同旁,每个内角都大于0°,小于180°)

内角

相邻两边组成的角

n变形的内角之和为(n-2)·180°

正多边形的内角之和为(n-2)·180°/n

外角

任一边与其邻边的延长线组成的角

任意多边形的外角之和为360°

对角线

连接多边形内不相邻的顶点的线段

n多边形从任意点出发有(n-3)条对角线 所有对角线的条数为n(n-3)/2

平面镶嵌

用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面(平面镶嵌)

条件:围绕一个顶点组成一个周角(360°)

一个多边形切去一个角后它的边数可能增加1,可能减少1,也可能不变

圆内接多边形

正多边形的内角度数

(n-2)·180°/n

正n边形的每个中心角度数

360°/n

正n边形的每个外角度数

360°/n

正n边形的中心角与内角互补

6. 图形与变换相关知识

对称、平移与旋转

轴对称

概念:若平面图形沿一条直线折叠,直线两旁部分能够相互重合,该图形就叫做轴对称图形

一个图形的轴对称线不一定只有一条

折叠后重合的点叫做对应点,即对称点

两对称点到对称轴的距离相同

过两对称点的直线垂直于对称轴

两个图形关于某条直线对称与轴对称图形的区别

两个图形关于某条直线对称

涉及两个图形

只有一条对称轴

轴对称图形

针对一个图形

至少有一条对称轴

把轴对称的两个图形看成一个整体,它就是轴对称图形 把轴对称图形沿着对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称

全等的图像不一定是成轴对称的图形, 成轴对称的图形一定是全等图形

平移与旋转

概念:一个图形整体沿某个方向移动得到一个全新的图形 新图形形状、大小完全相同,这种移动叫做平移

平移要素:1方向 2距离

平面直角坐标系中任意点P(m,n)平移引起的左边变化

旋转中心的确定

两组对应点所连接的线段的垂直平分线的交点即为旋转中心

区分旋转角以及对应角

7. 平面几何知识

图形的全等与相似

命题与证明

命题

判断一件事情的语句叫做命题

命题由题设与结论组成

真命题及假命题

定理

命题的正确性是经过推理证实的,如此得到的真命题叫做定理

互逆命题及互逆定理

反证法证明命题的方法

全等三角形

全等形

全等形⇔形状相同、大小相等

平移、旋转、轴对称前后的图形都是全等图形

全等三角形

表示形式

ΔABC≌ΔA′B′C′

对应点、对应边、对应角

三角形全等的判定方法

边边边(SSS)

边角边(SAS)

角边角(ASA)

角角边(AAS)

RtΔ斜直边(HL)

等腰三角形

垂直平分线

经过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线

垂直平分线上任意点到线段两端点距离相等

平面内已知线段外一点到线段两端点距离相等的点必在该线段的垂直平分线上

等腰三角形的重要性质

等边对等角

三线合一

顶角角平分线

底边的中线

底边上的高

是以顶角的角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形

判定

有两条边相等的三角形

等角对等边

特殊的等腰三角形

顶角为36°,底角为72°的等腰三角形 底角的角平分线将原三角形分为两个等腰三角形

等边三角形

三个内角都是60°

三边相等

判定

三边相等

三个角相等

两个内角都是60°

有一个内角是60°的等腰三角形

相似三角形

形状相似的图形叫做相似图形

相似比

相似多边形对应边的比叫做相似比

线段成比例

黄金分割

黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618

若一条线段AB的长度为a,C点在靠近B点的黄金分割点上,且AC为b, 则b与a的比叫作黄金比,b:a=(√5-1)/2

平行线分线段成比例

平行于三角形一边的直线截其他边所成线段成比

表现形式

ΔABC∽ΔA′B′C′

判定

被平行线所截

有一对等角

角两边对应成比

有两边对应成比

找夹角相同

第三边也成比例

直角三角形

一对锐角

两组直角边成比

斜边、直角边成比

等腰三角形

顶角相同

底角相同

底和腰成比

相似三角形的性质

对应角相等

对应边成比

对应线段的比等于相似比

对应高线

对应中线

对应角平分线

面积比等于相似比的平方

周长之比等于相似比

位似图形

概念

若两个多边形不仅相似,且对应点的连线相交于一点, 对应边相互平行或在同一条直线上,这样的两个图形成为位似图形

位似中心

对应点所在直线的交点

位似比

位似图形的相似比

坐标系中,图像关于原点O的位似图形有2个

点(m,n)图形位似比为k 则位似图形的坐标为(km,kn)(-km,-kn)

四边形

平行四边形

概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

边

对边平行且相等

角

对角分别相等

邻角互补

对角线

互相平分

中心对称图形,对称中心位于对角线交点

判定

边

两组对边分别平行

两组对边分别相等

一组对边平行且相等

角

两组对角分别相等

对角线

对角线互相平分的四边形

平行线间的性质推论

夹在两条平行线间的平行线段相等

两条平行线间的距离处处相等

三角形的中位线

连接三角形两边的重点的线段叫做三角形的中位线

定理:中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半

结论

三条中位线组成的小三角形的周长为原大三角形周长的一半

三条中位线组成的小三角形的面积为原大三角形面积的四分之一

三条中位线将原大三角形分割成四个全等的三角形

三角形的一条中位线与第三条边上的中线相互平分

特殊的平行四边形

矩形

有一个角是直角的平行四边形

性质

矩形具有平行四边形的一切性质

四个内角都是直角

对角线相等

矩形是轴对称图形,具有两条对称轴,是过对边中电的直线

矩形是中心对称图形,中心是对角线的交点

判定

有一个角是直角的平行四边形

有三个角是直角的四边形

对角线相等的平行四边形

对角线相互平分且相等的四边形

对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)

直角三角形的性质

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

菱形

一组邻边相等的平行四边形

性质

菱形具有平行四边形的一切性质

菱形的四条边都相等

对角线相互垂直,每一条对角线平分一组对角

菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴为对角线所在的直线

菱形是中心对称图形,中心位于两条对角线的交点

判定

有一组邻边相等的平行四边形

四条边相等的四边形

对角线互相垂直的平行四边形

对角线互相垂直且平分的四边形

特殊面积公式

菱形的面积等于对角线乘积的一半

正方形

是特殊的平行四边形 也是特殊的矩形 也是特殊的菱形

性质

具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

判定

一组邻边相等的矩形

对角线相互垂直的矩形

一个角是直角的菱形

对角线相等的菱形

四边形与特殊四边形的关系

四边形

非平行四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

常见四边形的边上中点构造的中点四边形

一般四边形的中点四边形

平行四边形

矩形的中点四边形

菱形

菱形的中点四边形

矩形

正方形的中点四边形

正方形

解直角三角形

勾股定理

直角三角形的斜边c与两条直接边a,b存在的数量关系: c²=a²+b²(勾股定理)

逆定理

存在三边数量关系满足c²=a²+b²,则次三角形为直角三角形

勾股数

3-4-5

5-12-13

8-15-17

7-24-25

9-40-41

锐角三角函数

正弦

sin

对边/斜边

余弦

cos

邻边/斜边

正切

tan

对边/邻边

特殊角度30°、45°、60°的正弦、余弦、正切数值

30° 45° 60° sin 1/2 (√2)/2 (√3)/2 cos (√3)/2 (√2)/2 1/2 tan (√3)/3 1 √3

同角的三角函数关系

sin²A+cos²A=1

tanA=sinA/cosA

互为余角的角的三角函数关系

sinA=cosB

cosA=sinB

0°~90°范围内 0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 0＜tanA

解直角三角形

边边关系

勾股定理

角角关系

互余角

边角关系

三角函数

坡度

tanA=h/l

利用水平距离测量物体高度的基本模型

圆

概念及性质

到顶点距离等于定长的点的集合

表示方法

圆O

弦

圆上任意两点的连线段

直径

经过圆心的弦

弧

圆上任意两点间的部分

弧长计算

l=nπR/180 l:弧长 n:弧对应的圆心角 R:圆半径

扇形

扇形面积公式

S=nπR²/360=lR/2 l:弧长 n:弧对应的圆心角 R:圆半径

半圆

任意直径分割一半的圆弧

优弧

大于半圆的弧

劣弧

小于半圆的弧

等圆

能够重合的两个圆

半径相同的两个圆

与圆的位置无关

等弧

在同圆或者等圆上能够重合的弧

长度相同的弧一不定是等弧

既是轴对称图形,又是中心对称图形

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦对应的两条弧

推论

平分非直径的弦的直径垂直于弦,且平分弦对应的弧

圆心角、圆周角、弧、弦的关系

圆心角

顶点在圆心的角

相同的圆心角对应的弧、弦相等

圆周角

顶点在圆上的角

圆周角是对应的圆周角的一半

等弦对等弧及等圆心角,等弧对等弦及等圆心角

直径所对的圆周角为Rt∠

圆内接多边形

多边形顶点都在圆上的图形

不在同一直线上的三点确定一个圆

圆内接三角形

三角形的外接圆

圆内接四边形的对角互补

对角互补的四边形,顶点在同一个圆上

点和圆、直线和圆的位置关系

点与圆的位置关系

园内

圆上

圆外

直线与圆的关系

相交

相切

圆的切线垂直过切点的半径

证明相切的方法

切线长

切线长定理

圆外一点做圆的两条切线,切线长相等

相离

圆与多边形

圆内接多边形

正多边形的内角度数

(n-2)·180°/n

正n边形的每个中心角度数

360°/n

正n边形的每个外角度数

360°/n

正n边形的中心角与内角互补

组合立体模型

圆锥体

圆锥体侧面积公式

S侧=πRL R:底面圆半径 L:圆锥侧边母线长

图形证明中的重要模型问题

将军饮马

将军饮马，实质上是线段之和最短的问题

胡不归问题

阿氏圆

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上相异两点A、B,则所有满足PA/PB=k且k不等于1的点P的轨迹是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆

瓜豆问题

若两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相同

探照灯模型

费马点

在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点

托勒密定理

托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积

8. 统计与概率知识

统计初步认识

全面调查

普查

考察全体对象的调查

抽样调查

抽查

考察部分对象

抽样

抽样

简单随机抽样

等距离抽样

样本估计总体时,样本必须具备代表性

平均数、中位数和众数

平均数

平均数

加权平均数

中位数

一组数据有小到大(或者由大到小)排列,处在中间奇数位(或者偶数位两个数的平均数)的数字

一组数字的中位数具有唯一性

众数

一组数据中出现频率最高的数字

数据中的众数不一定只有一个

方差

数据与本数据平均值差的平方值的平均数

反映数据波动的情况

标准差

反差的算术平方根

极差

数据中最大值与最小值的差

概率的初步认识

事件

必然事件

1

不可能时间

0

随机时间

0~1

发生的概率

概率

事件发生的可能性的数值

0≤P(A)=a/b≤1

初中阶段必备知识

非负数

1.|a| 2.a²ⁿ(a≠0,n为整数) 3.√a(a≥0)

非负数之和为0⇒每个部分都为0

有理数运算技巧

数列第二项始,每项与其前项之比都相等,次数列的求和问题可以用"错位相减法"