代数入门

代数相关的知识点思维导图，仅供参考。

代数入门（未完）

• 有理数
  • 正数和负数
    • 定义
      • 比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号“－”和一个正数标记，如−2
      • 比0大的数叫正数。正数与负数表示意义相反的量。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，如2
    • 意义
      • 具有相反意义的量，如1和-1
      • 具有相反意义的量的描述，如上升和下降
      • 0既不是正数，也不是负数；0是最小的自然数
  • 有理数及其分类
  • 数轴和三要素
    • 定义
      • 规定了原点，正方向和单位长度的直线
    • 画法
      • 1）在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点（origin）； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1（向右1个单位长度），2（向右2个单位长度），3（向右3个单位长度），…；从原点向左，用类似方法依次表示-1（向左1个单位长度），-2（向左2个单位长度），-3（向左3个单位长度）…
  • 相反数
    • 定义
      • 符号不同的两个数叫做互为相反数，其中的一个数叫做另一个数的相反数
    • 性质
      • 若a，b互为相反数，则有a+b=0
  • 绝对值
    • 定义
      • 在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值
    • 意义
      • 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0
      • |a|=? 若a大于0， 则a的绝对值还等于a； 若a等于0 ，则a的绝对值等于0　； 若a小于0， 则a的绝对值等于a的相反数
• 代数式和整式
  • 代数式
    • 定义
      • 由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如：ax+2b，－2/3等
    • 分类
      • 有理式：代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算
        • 整式
          • 单项式
          • 多项式
        • 分式
      • 无理式：含有关于字母开方运算的代数式称为无理式
    • 书写要求
      • (1)两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以省略不写.如：“x与y的积”可以写成“xy”；“a与2的积”应写成“2a”，“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”
      • (2)字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”，不能写成“x2”；“长、宽分别为a、b的长方形的周长”要写成“2(a+b)”，不能写成“(a+b)2”
      • (3)代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式
      • (4)数字与数字相乘时，乘号（也可以写作 · ）仍应保留不能省略，或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“37xy”，最好写成“21xy”
  • 整式
    • 单项式
      • 定义
        • 由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式(例：0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1)，分数和字母的积的形式也是单项式
      • 系数
        • 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
      • 次数
        • 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（单项式是几次，就叫做几次单项式）
    • 多项式
      • 定义
        • 由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式
      • 项
        • 多项式中的每个单项式叫做多项式的项
      • 常数项
        • 其中多项式中不含字母的项叫做常数项
      • 次数
        • 多项式中的每个单项式叫做多项式的项
    • 整式的加减
      • 同类项
        • 定义
          • 所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个项为同类项
      • 合并同类项
        • 定义
          • 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
        • 法则
          • （一）合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变。字母不变，系数相加减
          • （二）同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
          • 去括号法则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号
• 一元一次方程
  • 有关概念
    • 等式
      • 定义
        • 含有等号的式子叫做等式
      • 性质
        • 性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立
        • 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立
        • 性质3：等式具有传递性
      • 拓展性质
        • 拓展1：等式两边同时被一个数或式子减，结果仍相等
        • 拓展2：等式两边取相反数，结果仍相等
        • 拓展3：等式两边不等于0时，被同一个数或式子除，结果仍相等
        • 拓展4：等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等
    • 方程
      • 定义
        • 方程是指含有未知数的等式
  • 解一元一次方程
    • 一元一次方程
      • 定义
        • 只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程
      • 形式
        • ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）
    • 移项
      • 定义
        • 把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘
      • 示例
        • a-b=a+(-b)
    • 去括号与去分母
      • 去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数
      • 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律
    • 一般步骤
      • 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数
      • 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律
      • 移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！）
      • 合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式
      • 化系数为一 方程两边同时除以未知数的系数
      • 得出方程的解
• 实数
  • 平方根的有关概念
    • 算术平方根
      • 定义
        • 一般地说，若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根
      • 举例
        • 9的算术平方根为3（算术平方根全部都是非负数）
    • 平方根
      • 定义
        • 若一个数x的平方等于a，即=a,那么这个数x就叫做a的平方根
      • 举例
        • 9的平方根为±3
      • 性质
        • 1，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
        • 2，负数在实数范围内负数没有平方根
        • 3，0的平方根是0
  • 立方根的有关概念
    • 立方根
      • 定义
        • 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根
      • 举例
        • 如果5³=125，那么125叫做5的立方根
      • 性质
        • 正数的立方根是正数
        • 负数的立方根是负数
        • 0的立方根是0
  • 实数
    • 无理数
      • 定义
        • 无理数就是无限不循环小数
    • 分类
      • 定义分类
        • 有理数
          • 整数
            • 正整数
            • 零
            • 负整数
          • 分数
            • 正分数
            • 负分数
        • 无理数
          • 正无理数
          • 负无理数
      • 性质分类
        • 正实数
          • 正有理数
            • 正整数
            • 正分数
          • 正无理数
        • 零
        • 负实数
          • 负有理数
            • 负整数
            • 负分数
          • 负无理数
• 绝对值的代数意义