4.1,2指数和指数函数

高中数学指数及指数函数知识点整理，包含：①指数相关概念②指数函数基本概念及其图像和性质等。

指数和指数函数

• 指数
  • n次方根
    • 定义
      • • 当n是奇数时
          • 正数的n次方根是一个正数
          • 负数的n次方根是一个负数
          • a的n次方根
        • 当n是偶数时
          • 正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数
            • a的n次方根
          • 正数a
            • 正的n次方根表示为
            • 负的n次方根表示为
    • 性质
      • ①负数没有偶次方根
        • 一个数的偶数次方不可能是负数
      • ②0的任何次方根都是0
        • 记作：
  • 根式
    • 定义
      • • n叫做根指数
        • a叫做被开方数
    • 性质
  • 分数指数幂
    • 意义
      • 规定正数的正分数指数幂的意义是
        • • 幂指数不能随意约分
      • 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿
    • • 0的正分数指数幂等于0
      • 0的负分数指数幂没有意义
    • 有理数指数幂的运算性质
      • 与整数指数幂的运算性质完全相同
      • • a＞0,b＞0，r,s∈Q
    • 化简分数指数幂和根式的一般原则
      • 在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能的统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算、达到化繁为简的目的
      • 对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示
      • 结果中不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式
      • • 注意偶次方根非负的特点
  • 无理数指数幂
    • 这样，我们就将指数幂中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数，整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂
• 指数函数
  • 概念
    • 定义
      • • a＞0，且a≠1
        • x是自变量
        • 定义域是R
        • 值域是（0.+∞）
    • 注意事项
      • 系数必须为1
      • 自变量出现在指数位置上
      • 底数a的范围必须是a＞0且a≠1
        • a=0
          • x＞0时，指数函数恒等于0
          • x≤0时，指数函数无意义
        • a＜0
          • 在实数范围内有些函数值不存在
        • a=1
          • 指数函数变成y=1，是一个常量，没有研究的必要
      • a是底数，不能是自变量
  • 图像和性质
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    • • 底数互为倒数的两个指数，函数的图像关于y轴对称
      • 当底数a大小不确定时，必须分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论
      • 在第一象限
        • 0＜a＜1时
          • x→+∞， y→0
          • a的值越小，指数函数的图像越靠近x轴，递减的速度越快
        • a＞1时
          • x→-∞， y→0
          • a的值越大，指数函数的图像越靠近y轴，递增速度越快
      • 指数函数的图像都经过(0,1)，且都在x轴上方
      • 指数函数的值域：（0，+∞）
      • 在同一直角坐标系中指数函数图象的位置与底数大小的关系
        • 在 y 轴右侧
          • 图象从上到下相应的底数由大变小
        • 在 y 轴左侧
          • 图象从下到上相应的底数由大变小
  • 图像的变换规律
    • 平移规律
      • • 向左平移b（b＞0）个单位
        • 向右平移b（b＞0）个单位
        • 向上平移b（b＞0）个单位
        • 向下平移b（b＞0）个单位
    • 对称规律
      • • 关于y轴对称
        • 关于x轴对称
        • 关于坐标原点对称
  • 指数型复合函数的性质
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  • 幂的大小比较
    • 方法
      • 比差法
      • 比商法
      • 函数单调性法
      • 中间值法
        • 要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、 B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 之间的大小
    • • ①对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断
      • ②对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断
      • ③对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较
      • ④对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与 0、 1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可