三角函数的图像与性质及三角恒等变换

高中数学三角函数的图像与性质等知识点梳理，包含：1.三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数、正切函数），2.周期函数，3.三角恒等变换（①两角 和与差的正弦、余弦、正切公式②公式的逆用和变形③倍角公式④半角公式⑤积化和差与和差化积公式⑥万能公式⑦辅助角公式）4.函数积函数的应用

5.4,5,6,7：三角函数的图像与性质及三角恒等变换

• 三角函数的图像与性质
  • 正弦函数
    • y=sinx,x∈[0,2π]
      • 五点（画图）法
        • （0,0）
        • （π,0）
        • （2π,0）
      • • 将圆周12等分，将x轴上0到2π这一段2等分
    • y=sinx,x∈R
      • 将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像不断向左、右平移（每次移动2π各单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图像
      • 正弦函数的图像叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线
  • 余弦函数
    • y=cosx,x∈[0,2π]
      • 五点（画图）法
        • （0,1）
        • （π,-1）
        • （2π,1）
    • y=sinx,x∈R
      • 将正弦函数y=sinx,x∈R的图像向左平移π/2个单位长度，就得到余弦函数y=cosx，x∈R的图像
      • 余弦函数的图像叫做余弦曲线，它是余正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线
  • 周期函数
    • 定义
      • 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周
      • • 周期函数的周期不止一个
    • 最小正周期
      • 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
    • 正弦、余弦函数的周期
      • 周期
        • 2kπ（k∈Z且k≠0）
      • 最小正周期
        • 2π
      • • 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期
          • x∈R，A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0
    • 函数周期性的应用
      • 若函数f(x)满足f(x+T)=f(x-T)，则2T是f(x)的一个周期
      • 若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-b)，则a+b是f(x)的一个周期
      • 若f(x+T)=-f(T)，则2T是函数f(x)的一个周期
      • ，则2T是函数f(x)的一个周期
      • 若函数y=f(x)（x∈R）的图像关于直线x=a与x=b都对称，则f(x)是周期函数，且2lb-al是它的一个周期
  • 正弦函数、余弦函数的性质
    • • 函数y=Asin(ωx+φ)图像的对称性
        • 对称轴方程
        • 对称中心坐标
  • 正切函数的图像与性质
• 三角恒等变换
  • 两角和与差的相关公式
    • 余余正正，符号相反
    • 正余余正，符号相同
    • 符号变化规律：分子同，分母反
    • 两角差余弦公式推导诱导公式
  • 公式的逆用和变形
    • 逆用
      • 左右互换
    • 角变换后使用
    • 变形
  • 倍角公式
    • 倍角公式
    • 逆向变换及变形
      • ①配方变形
        • 1±sin2α=sin²α+cos²α±2sinαcosα=(sinα±cosα)²
      • ②降幂公式
      • ③升幂公式
  • 半角公式
    • 半角公式
      • • 根号前的正负号，由α/2所在象限决定
    • 确定符号
      • 若给出的角是某一象限角时
      • 若给出角α的范围
        • 可先求出α/2的范围，然后再根据α/2的范围来确定符号
      • 如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号
      • 几何法
  • 积化和差与和差化积公式
    • 积化和差公式
    • 差化积公式
  • 万能公式
    • • 使用万能公式时，必须在它们都有意义的前提下进行
  • 辅助角公式
    • • φ满足
    • • 当a=1,b=1时
  • 三角函数式的化简
    • 化简的方法
      • 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等
    • 化简要遵循“三看”原则
      • ①看“角”
      • ②看“函数名称”
      • ③看“结构特征”
    • 要求
      • ①能求出值得应求出值
      • ②尽量使函数种数最少
      • ③尽量使项数最少
      • ④尽量使分母不含三角函数
      • ⑤尽量使被开方数不含三角函数
  • 三角函数的给值求值
    • 两种形式
      • ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
      • ②当“已知角”有一个时，则应考虑将“所求角”用“已知角”和“常用角”表示出来
    • 常用的特殊角转化
      • α+β=(2α+β)-β
      • 2α=（α+β）+（α-β）
      • 2β=（α+β）-（α-β）
      • 15°=45°-30°=60°-45°=30°/2
    • 三角函数给值求角的一般步骤
      • ①求角的某一个三角函数值
      • ②确定角的范围
      • ③根据角的范围结合三角函数值写出所求的角
      • • 把“所求角”用“已知角”表示出来
• 函数y=Asin（ωx+φ）
  • 相关影响
    • φ
      • φ＞0时
        • y=sinx图像上所有的点向左平移lφl个单位长度
      • φ＜0时
        • y=sinx图像上所有的点向右平移lφl个单位长度
    • ω（ω＞0）
      • ω＞1时
        • y=sin(x+φ)图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/ω倍
      • 0＜ω＜1时
        • y=sin(x+φ)图像上所有点的横坐标伸长到原来的1/ω倍
        • 纵坐标不变
      • • 纵坐标不变
    • A
      • A＞1时
        • y=sin(ωx+φ)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍
      • 0＜A＜1时
        • y=sin(ωx+φ)图像上所有点的纵坐标缩短到原来的A倍
      • • 横坐标不变
  • 图像的基本变换
    • • 若函数y=Asin（ωx+φ）中的ω＜0，可先用诱导公式把x前的系数变为正的，再进行变换，平移时要注意“左加右减”
  • 确定函数解析式
    • 定A，b
      • 结合三角函数图像确定函数的最大值M和最小值m
    • 定ω
      • 相邻的最高点与最低点的横坐标之间的距离为T/2
      • 相邻的两个最高点（或最低点）的横坐标之间的距离为T
    • 定φ
      • 常用方法
        • 代入法
          • ①把图像上的一个已知点带入（此时A，ω，b已知）
          • ②或代入图像与直线y=b的交点求解（此时要注意交点是在增区间上还是减区间上）
        • 五点法
          • 第一点
            • 图像上升时与x轴的交点
            • ωx+φ=0
          • 第二点
            • 图像的“峰点”
            • ωx+φ=π/2
          • 第三点
            • 图像下降时与x轴的交点
            • ωx+φ=π
          • 第四点
            • 图像的“谷点”
            • ωx+φ=3π/2
          • 第五点
            • ωx+φ=2π
          • • 常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口
            • 要特别注意已知条件中说给的φ范围
  • 性质
    • • 把ωx+φ看做一个整体，再结合正弦、余弦函数的性质来解题
• 三角函数的应用
  • 有关概念
    • 在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ），x∈[0,+∞）表示，其中A＞0，ω＞0
    • • 简谐运动的振幅
        • 它是左简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
        • A
      • 简谐运动的周期
        • 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
        • T=2π/ω
      • 简谐运动的频率
        • 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
      • 相位
        • ωx+φ
        • x=0时的相位φ称为初相
    • • y=Asin（ωx+φ）
        • 振幅
          • lTl
        • 周期
        • 频率
        • 相位
          • ωx+φ
        • 初相
          • φ
            • α
            • β
  • 应用
    • 解题思路
    • 步骤
      • ①审题
        • 理清题意，认真领悟自然语言和图形语言中的数学本质，分清已知和未知，画出示意图
      • ②建模
        • 根据审题得到的信息，把实际问题抽象为数学问题，根据已知条件与求解目标，建立数学模型
      • ③求解
        • 利用所学三角函数知识，求得数学模型的解
      • ④检验
        • 检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
      • ⑤还原
        • 将所得的结论转译成实际问题的答案
    • • 注意自变量的取值范围