轴对称

人教版八年级数学上册第十三章轴对称，总结了轴对称、 画轴对称图、 等腰三角形、 最短路径等。

轴对称

• 轴对称
  • 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
  • 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
  • 图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
  • 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
  • 作轴对称图形的对称轴：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的一条对称轴.
  • 线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
  • 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
  • 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
    • 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
    • 应用格式∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
• 画轴对称图形
  • 作轴对称图形的方法：几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段的端点，三角形、四边形的顶点等）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
  • 作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．
  • 关于 x 轴对称的点的坐标的特点是：横坐标相等，纵坐标互为相反数
  • 关于 y 轴对称的点的坐标的特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等.
• 等腰三角形
  • 等腰三角形性质
    • 性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
    • 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (简写成“三线合一”).
      • 在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
  • 等腰三角形的判定方法
    • 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形
    • 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
      • • 注意是指同一个三角形中
  • 等边三角形
    • 性 质
      • 三条边都相等
      • 三个角都相等，且都是 60°
      • 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
      • 3 条对称轴
    • 判定
      • 三条边都相等的三角形是等边三角形
      • 三个角都相等的三角形是等边三角形
      • 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
  • 含 30° 角的直角三角形的性质:在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
• 最短路径
  • 有关“两点间的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
  • 将军饮马问题
    • 轴对称知识 + 线段知识
  • 造桥选址问题
    • 关键是将固定线段“桥”平移
  • 解决最短路径问题的方法：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.