电磁场与电磁波：第一章 矢量分析 目录

电磁场与电磁波：第一章 矢量分析 目录的思维导图。导图介绍了矢量及其运算、场的概念及描述、常用坐标系、标量场的方向导数和梯度、矢量场的通量和散度、矢量场的环量和旋度等内容。

第一章 矢量分析 目录

• 1.0 矢量及其运算
  • 1. 矢量及标量
    • 一个矢量表示成矢量的模与单位矢量的乘积！
  • 2. 矢量的正交分解
  • 3. 矢量的运算
    • 加减法
      • 子主题
    • 乘法
      • 点乘
      • 叉乘
    • 积分
      • 子主题
• 1.1 场的概念及描述
  • 场的描述
    • 场一般用表示其特征物理量的空间和时间坐标变量的多元函数来描述。
      • 标量函数
      • 矢性函数
  • 场的表示
    • 标量场：等值面/线
    • 矢量场：矢量线（力线）
  • 场的分类
    • 标量场
    • 矢量场
    • 静态场
    • 动态场
• 1.1 常用坐标系
  • 直角坐标系(最常用的坐标系)
  • (圆)柱坐标系
  • (圆)球坐标系
  • 三种坐标系的坐标变量之间的关系
• 1.3 标量场的方向导数和梯度
  • 方向导数（标量）
    • 定义：标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
      • 子主题
  • 梯度（矢量）
    • 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点有最大方向导数的方向。
      • 直角坐标系
      • 引入哈密顿微分算符在直角坐标系中的表示
      • 总结
• 1.4 矢量场的通量和散度
  • 矢量场的通量
    • （1）面元（矢量）
      • 子主题
    • （2）通量（标量）
      • 子主题
    • 通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量  表示
      • 定义式
  • 矢量场的散度
    • 定义；当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即
      • 定义式
      • 在直角坐标系的计算式
  • 散度的运算法则及散度定理
    • 运算法则:
    • 散度定理
• 1.5 矢量场的环量和旋度
  • 矢量场的环量
    • 定义：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量，以  表示
  • 旋度----空间点处的环量
    • 旋度是矢量，大小等于矢量 A 在给定点处的最大环量面密度，方向是使该点环量密度最大的方向，以rotA 表示：
      • 旋度的定义
        • 直角坐标系
        • 柱坐标
        • 球坐标
      • 旋度的运算法则
        • 子主题
        • 拉普拉斯算符
  • （斯托克斯）旋度定理
    • 子主题
  • 两种特殊场
    • 无散场：散度处处为零的矢量场
    • 无旋场：旋度处处为零的矢量场
    • 任一矢量场的旋度的散度一定等于零。即任何旋度场一定是无散场。
    • 任一标量场的梯度的旋度一定等于零。即任何梯度场一定是无旋场
• 1.6 亥姆霍兹定理
  • 定理的简单表达
    • 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处单值， 且其导数连续有界，场源分布在有限区域 V  中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
  • 定理的意义
    • 定理表明，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和：
    • 矢量场唯一确定的条件：矢量场的散度和旋度同时确定，二者缺一不可。
    • 矢量场的散度和旋度彼此独立，不能相互代替，只有同时研究才能准确的把握场的变化规律。——散度及旋度是研究矢量场的首要问题。