第一二章、函数、极限、连续

考研数学第一、二章，函数、极限、连续基础阶段知识点，函数的性质分为单调性，奇偶性，有界性和周期性。表达式分为复合函数，分段函数，反函数，符号函数，取整函数？

函数

• 定义域/值域/表达式
  • 表达式
    • 复合函数
    • 分段函数
    • 反函数
    • 符号函数
    • 取整函数
      • • [x]-1＜[x]≤x
• 性质
  • 单调性
  • 奇偶性
  • 有界性
    • 证明有界：1.极限存在2.极限不存在，有界±有界
      • 子主题
  • 周期性

数列的极限

• 定义
• 运算法则
  • 数列极限存在，加减乘除，等于极限加减乘除
    • 注意：分母不为0
  • 判断是否存在——逆否命题
• 性质
  • 有界性：如果数列收敛，那么数列一定有界
    • 反之不一定，例
  • 保号性：
    • • 例子：
  • 唯一性：反证法证明
• 存在准则
  • 单调有界准则：单调增，有上界数列必有极限；单调减，有下界数列必有极限
  • 夹逼准则:
  • 无穷小×有界
• 子列
  • 数列收敛，子列一定收敛；所有子列收敛于同一值，数列收敛
    • 例：子列X3n+1=子列X3n+2=子列X3n+3=A得Xn=A

函数的极限

• 函数极限定义及等价描述
  • X在一点处极限
    • 定义：FX在X0的某去心邻域N*(X0,δ0)内有定义，若对任意的ε>0，存在δ>0（δ<δ0）及常数A，使得当0<|X-X0|<δ时，|FX-A|<ε，则称当X趋近X0时FX极限为A
    • 极限存在充要条件，左极限右极限均存在相等
  • X趋于无穷的极限
    • 任意的ε>0，存在X>0及常数A，使得当|x|>X时，|FX-A|<ε
  • 无穷大量
    • 若任意G>0，当X某种趋向时，恒有FX>G，称FX为X趋向。。时的正无穷大量；若任意G>0，当X某种趋向时，恒有FX<-G，称FX为X趋向。。时的负无穷大量
      • 无穷大量必为无界变量，无界变量不一定是无穷大量
    • 常见无穷大量比较
    • 例题
• 极限性质及复合极限定理
  • 运算性质
    • 极限存在的加减乘除，0×有界=0
  • 复合极限
  • 解析性质
    • 有界性
    • 保号性：若X趋近X0时FX=A>0，则存在某去心领域N*(X0,δ）使得当X属于N*时，FX>0
    • 唯一性
  • 极限存在准则
    • 单调有界
    • 夹逼
    • 无穷小×有界
• 重要极限及等价无穷小量
  • 两个重要极限
  • 等价无穷小量——极限α（x）=β（x）=0，极限α（x）/β（x）=A
    • A=1，等价无穷小量
    • A=非零常数，同阶无穷小量
    • A=0，α（x）是β（x）高阶无穷小量
    • A=∞，α（x）是β（x）低阶无穷小量
    • 无穷小量比较~中间量
• 数列极限and函数极限区别
  • 数列极限
    • n→+∞
    • 数列极限是断断续续的
  • 函数极限
    • x→X0，→+∞，→-∞
    • 函数极限是连续的

函数的连续性

• 连续性概念
  • 点连续
    • --等价--左连续，右连续
  • 区间连续
  • 题型
• 间断点及分类
  • 定义：FX在X0某去心领域有定义，但在X0点不连续，称X0为FX间断点
  • 第一类间断点：X0左右极限都存在
    • 可去间断点：左右极限相等
    • 跳跃间断点：左右极限不相等
  • 第二类间断点：X0左右极限至少一个不存在
    • 无穷间断点：左极限或有极限等于无穷
    • 振荡间断点：x=0为振荡间断点
    • 其他
  • 判断间断点
    • 步骤
      • 瑕点
      • 求瑕点左右极限
      • 判断类型
• 连续性的运算及性质
  • 连续的加减乘除连续，分母不为零
  • 连续的复合函数连续
  • 基本初等函数定义域内连续
  • 初等函数定义区间内连续
  • 题型
• 有限闭区间上连续函数的性质
  • 有界性定理
    • 若FX在【a，b】上连续，则FX在【a，b】上有界
  • 最值定理
    • 若FX在【a，b】上连续，则FX必有最大值和最小值
  • 介值定理
    • 若FX在【a，b】上连续且F(a)不等于F(b)，则对任意一个介于F(a)和F(b)中的C，至少有一点F（X）=C
      • 若FX在【a，b】上连续,则FX可以取得【a，b】内介于最大值和最小值之间的任意值
  • 零点定理
    • 若FX在【a，b】上连续且F(a)*F（b）<0，则必至少存在一点C在区间内，使得F（C）=0
• 一点处连续与极限区别
  • 连续可以取得X0，极限不能取得X0

题型

• 类型
  • 夹逼定理
  • 裂项相消
  • 定积分定义
• 求极限
  • 求函数极限
    • 1.化简2.确定类型3.计算
      • 四则运算，有利化，因式分解
    • 常见错误
      • 运算性质
      • 无穷小代换
      • 洛必达
  • 求数列极限
    • 1.化函数极限
    • 2.单调有界+夹逼+无穷小×有界
    • 3.定积分定义
  • 求含参数变量的极限
    • 讨论参数范围，写出分段函数
• 主题