六、定积分与广义积分

考研数学基础，定积分与广义积分f在[a,b]上有界，且仅有有限个第一类间断点，则f∈R[a,b]、f在[a,b]上有定义且单调，则f∈R[a,b]

定积分与广义积分

• 定积分
  • 1.概念
    • 设f(x)在[a，b]上有定义且有界
      • 1）分割区间
      • 2）近似求和
      • 3）取极限
      • • 1/n——dx；k/n——x；上限n/n=1下限1/n=0
  • 2.性质
    • 定积分与变量记号无关
    • 积分和式的极限
    • 定积分存在性
      • 必要条件
        • f∈R[a,b]，则f在[a,b]上有界
      • 充分条件
        • f在[a,b]上连续，f∈R[a,b]
        • f在[a,b]上有界，且仅有有限个第一类间断点，则f∈R[a,b]
        • f在[a,b]上有定义且单调，则f∈R[a,b]
      • 题型
        • A.f(x)=1/x（x∈-1，1）不可积
    • 积分对被积函数满足线性性质
    • 积分对区间具有可加性
    • 定积分对区间具有可加性
  • 3.解析性质
    • 1）保号性
      • 在区间[a,b](a＜b)上，f(x)≥0，则
      • 在区间[a,b]上，f(x),g(x)都可积且，f(x)≤g(x)，则
      • 题型
    • 2）估值定理
      • 当f(x)在[a,b]上满足，m≤f(x)≤M，则
      • 题型
    • 3）定积分中值定理
      • • 平均值
      • 题型
        • 利用周期性，然后应用中值定理，其中注意可积且不变号所以还要应用可加性
• 变限定积分
  • 1.基本性质
    • ①在区间[a,b]，若
    • ②若f在[a,b]可积，
    • ③若f在x0∈(a,b)，
    • 存在性
    • ④若f(x)∈C[a,b]，则
    • ⑤~~
    • ⑥~~
    • 可导性
    • ⑦若F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数
      • 牛顿-莱布尼茨公式
    • ⑧周期性
  • 2.可导性
    • 注意变量分离
      • 换元，三要素基础P166
  • 3.求导法则
    • 如果f(x)在[a,b]上连续,在u(t),v(t)上可导，那么
  • 题型
• 定积分计算
  • 基本方法
    • 凑微分
    • 换元
    • 分部积分
      • 题型
        • 无法应用奇偶性/分部积分/拆分的思路：
          • 复习全书P87
    • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 注意：
    • 周期函数
      • 题型
        • 可加性+周期性
    • 奇偶函数
      • • 0，f(x)奇函数
      • 题型
        • • 复习全书P86
    • 回归法/递推法——华里夫公式
      • 题型
        • 回归法
          • 将定积分看作常数A,B；分别积分求得方程
    • 几何意义
      • 题型
    • 分段函数形式的被积函数
      • 题型
        • • 复习全书P88
• 区间变换/定积分证明
  • 换元（常数换成x）
  • 分部积分（升高或降低被积函数导数的阶数）
• 广义积分，敛散性计算
  • 无穷区间的广义积分
    • 倒带换x=1/t 回归法
  • 无界函数的广义积分
    • 两类广义积分一定要分段计算
• 定积分应用
  • 面积
    • 直角坐标
      • 极坐标
  • 旋转体体积
  • 弧长
  • 旋转体侧面积(ds)
  • 物理应用
• 三角变换