导图社区 六、定积分与广义积分
考研数学基础,定积分与广义积分f在[a,b]上有界,且仅有有限个第一类间断点,则f∈R[a,b]、f在[a,b]上有定义且单调,则f∈R[a,b]
这是一篇关于线性代数的思维导图,主要内容有1.概念2.性质3.常用公式4.计算5.按行(列)展开定理6.克拉默法则。
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定积分与广义积分
定积分
1.概念
设f(x)在[a,b]上有定义且有界
1)分割区间
2)近似求和
3)取极限
1/n——dx;k/n——x;上限n/n=1下限1/n=0
2.性质
定积分与变量记号无关
积分和式的极限
定积分存在性
必要条件
f∈R[a,b],则f在[a,b]上有界
充分条件
f在[a,b]上连续,f∈R[a,b]
f在[a,b]上有界,且仅有有限个第一类间断点,则f∈R[a,b]
f在[a,b]上有定义且单调,则f∈R[a,b]
题型
A.f(x)=1/x(x∈-1,1)不可积
积分对被积函数满足线性性质
积分对区间具有可加性
定积分对区间具有可加性
3.解析性质
1)保号性
在区间[a,b](a<b)上,f(x)≥0,则
在区间[a,b]上,f(x),g(x)都可积且,f(x)≤g(x),则
2)估值定理
当f(x)在[a,b]上满足,m≤f(x)≤M,则
3)定积分中值定理
平均值
利用周期性,然后应用中值定理,其中注意可积且不变号所以还要应用可加性
变限定积分
1.基本性质
①在区间[a,b],若
②若f在[a,b]可积,
③若f在x0∈(a,b),
存在性
④若f(x)∈C[a,b],则
⑤~~
⑥~~
可导性
⑦若F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数
牛顿-莱布尼茨公式
⑧周期性
2.可导性
注意变量分离
换元,三要素基础P166
3.求导法则
如果f(x)在[a,b]上连续,在u(t),v(t)上可导,那么
定积分计算
基本方法
凑微分
换元
分部积分
无法应用奇偶性/分部积分/拆分的思路:
复习全书P87
注意:
周期函数
可加性+周期性
奇偶函数
0,f(x)奇函数
复习全书P86
回归法/递推法——华里夫公式
回归法
将定积分看作常数A,B;分别积分求得方程
几何意义
分段函数形式的被积函数
复习全书P88
区间变换/定积分证明
换元(常数换成x)
分部积分(升高或降低被积函数导数的阶数)
广义积分,敛散性计算
无穷区间的广义积分
倒带换x=1/t 回归法
无界函数的广义积分
两类广义积分一定要分段计算
定积分应用
面积
直角坐标
极坐标
旋转体体积
弧长
旋转体侧面积(ds)
物理应用
三角变换