第四章、微分基本定理

考研数学第四章，函数、微分基本定理基础阶段知识点，微分基本定理，详细总结了费马定理，导数零点定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式，洛必达法则。

微分基本定理

• 费马定理
  • 极限保号性证明
  • • f(x)在X0点可导
    • 在X0点取得极值
  • • 证明
• 导数零点定理
  • y=f(x)在[a,b]可导
  • • 证明
• 罗尔定理
  • f(x)在[a,b]连续
  • f(x)在 (a,b)可导
  • f(a)=f(b)
  • • 证明
    • 几何意义
      • 至少有一点切线平行于x轴
    • 题型
      • 1.至少一个根/只能有一个根
      • 2.两次零点定理
      • 3.两次罗尔定理
      • 4.构造辅助函数
• 拉格朗日中值定理
  • f(x)在[a,b]连续
  • f(x)在 (a,b)可导
  • • 证明
    • 几何意义
      • 存在一点切线平行于割线AB
    • 题型
      • 1.不等式证明
      • 2.求极限
• 柯西中值定理
  • f(x)，g(x)满足
    • 在[a,b]连续
    • • 证明
      • 几何意义
• 泰勒公式
  • 拉格朗日余项
  • 皮亚诺余项
  • x0=0时麦克劳林公式
  • 题型
    • 1.求极限—展开到几阶
      • 被消的下一项
    • 2.证明—拉/皮，x0
• 洛必达法则
  • 条件
    • 1.
    • 2.
    • 3.
    • 不能洛必达
• 导数应用
  • 1.单调性
  • 2.极值与拐点
    • 1）①极值：极大值与极小值的统称；②极值点：使函数取得极值的点；③驻点：满足f'(x0)=0的点；
      • 可导函数在x=x0取极值必要条件：f'(x0)=0
        • 注意：
      • 判断极值点的充分条件
        • 增减性变化，导数变号
        • 若f'(x)在x0两侧变号，(x0,f(x0))必为f(x)的极值点
        • 若f'(x0)=0，f''(x0)＞0（或＜0），则f(x0)为极小值（或极大值）
    • 2）①曲线的凹凸性：某曲线段内，曲线段内各点在切线上（下）方，则曲线段是凹（凸）；②拐点：连续曲线上，凹凸曲线的分界点;
      • 凹凸性判断
        • f'(x)单调增（减），或f''(x)＞0（＜0），则曲线在区间上是凹（凸）
      • f（x）具有二阶导数，则点（x0，f（x0）为拐点的必要条件是：f''(x0)=0
        • 拐点也可能是二阶导数不存在的点
      • 判断拐点的充分条件
        • f'(x)在（x0,f(x0)）改变增减性
        • 若f''(x)在x0两侧变号，则（x0，f(x0)）必为f(x)拐点
        • 若f''(x0)=0，f'''(x0)≠0，则（x0，f(x0)）必为f(x)拐点
    • 更一般性结论
      • 若y=f(x)在x0有n阶导数，且前n-1阶导数=0，但n阶导数≠0
  • 3.闭区间和开区间上的最值
    • 闭区间
      • 1）找到驻点，不可导点，端点；2）逐一比较
    • 开区间
      • 1）找到驻点，不可导点，端点极限；2）逐一比较
  • 4.渐近线
    • 水平渐近线
      • • • 同一方向上不能同时存在水平和斜渐近线
    • 垂直渐近线
      • • y=tanx
    • 斜渐近线
      • 求斜渐近线函数
  • 5.曲线的弧微分与曲率
    • 弧微分

相关题型

• 一、导数应用
  • 1.函数图像分析
    • 思路
      • ①判断极值可能是
        • 无定义点
        • 满足第一、二类充分条件
        • 不可导点
        • 二阶可导
      • ②驻点/极值点/拐点
      • ③f，f'，f''图像
  • 2.凹凸性判断函数值大小（图像）
    • 思路
      • 利用凹凸性的几何图像
  • 3.求曲线渐近线
    • 思路
      • 先找出无定义点，确定对应点是否为垂直渐近线，再考虑水平或斜渐近线
  • 4.由关系式判断抽象函数单调性、极值、拐点
    • 思路
      • 由关系式，找到所有隐藏内容
        • 1800P16、18
• 二、中值定理证明
  • • 思路
      • 1.零点定理
        • 复P54
      • 2.构造辅助函数F(x)，F'(x)=f(x),使得F(x)满足罗尔定理
        • 复P55
          • 复P55
  • 2.方程根的个数、至少、至多
    • 思路
      • 个数、范围——利用导数应用，f'(x)和极值判断
        • 构造辅助函数注意分离参数
          • 复P56
      • 至少——零点定理
      • 至多——函数单调性
  • 3.
    • 思路
      • 1.n=1，费马或罗尔定理
      • 2.n＞1，多次罗尔定理
  • 4.
    • 思路
      • 1.原函数法或常微分方程
        • (1)ξ换成x
        • (2)恒等变形，便于积分
        • (3)积分或解微分方程
        • (4)分离常数，构造辅助函数
      • 2.直接用拉格朗日和柯西
  • 5.
    • 思路
      • 1.原函数法构造+中值定理
      • 2.泰勒公式
  • 6.双介值问题
    • 思路
      • 两次中值定理
• 三、不等式证明
  • 单调性
  • 极值
  • 凹凸性
  • 微分中值定理
  • 转数字不等式为函数不等式