平面向量的线性运算

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平面向量的线性运算

• 向量基本概念
  • 向量定义
    • 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
  • 单位向量
    • 长度等于1个单位长度的向量．
  • 平行向量
    • 方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
    • 共线的充要条件
      • 存在唯一一个实数λ，使b＝λa．a(a≠0
  • 相等向量
    • 长度相等且方向相同的向量．
  • 相反向量
    • 长度相等且方向相反的向量．
  • 零向量
    • 长度为0的向量，记作
• 向量的线性运算
  • 向量的线性运算
    • (1)定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
    • (2)运算结果：向量线性运算的结果仍是向量．
    • (3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
  • 加法
  • 减法
  • 数乘
    • 文字表述规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
    • 规定长度|λa|＝|λ||a|
    • 方向当λ>0时，λa的方向与a的方向相同
    • 当λ，λa的方向与a的方向相反
    • 当λ＝0时，λa＝0
• 运算律
  • 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ；a－b＝a＋(－b)
  • 设λ，μ为实数，那么：
    • (1)λ(μa)＝(λμ)a．
    • (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．
    • (3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
    • 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
• 三点共线推论
  • 设A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，点P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，则A，B，C三点共线．