单调性与最值

高中数学 高一 单调性，单调性与最值知识点总结，包括定义与证明函数的平均变化率，最大值与最小值的内容点。

单调性与最值

• 定义与证明
  • 概念
    • 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D
      • 如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数
      • 如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数
  • 单调性与单调区间
    • 如果函数y＝f(x)在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在M上具有单调性
      • (当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
  • 单调区间的表示
    • 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.
      • 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
• 函数的平均变化率
  • 直线的斜率
    • 定义
      • • 给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率
      • 不存在
        • 当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
    • 作用
      • 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
  • 平均变化率与函数单调性
    • • 若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)
      • • y＝f(x)在I上是增函数
      • • y＝f(x)在I上是减函数
      • 当x1≠x2时，称该式为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
  • 平均变化率的物理意义
    • 把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度
    • 把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度
• 最大值与最小值
  • 最值
    • 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：
      • 如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点，记为fmax＝f(x0)。
      • 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点，记为fmin＝f(x0)。
  • 常用结论
    • 如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
    • 如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．　
    • 如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．