量词

这是一篇关于量词的思维导图，主要内容有命题、量词、命题的否定、全称量词命题与存在量词命题的否定。

量词与充分必要条件

• 命题
  • 概念
    • 可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。
• 量词
  • 全称量词和 全称量词命题
    • 全称量词
      • 一般地，“任意”“所有”“每一个” “一切”“ 任给”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示．
    • 全称量词命题
      • 含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
    • 注意事项
      • ①全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．
      • ②有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．
  • 存在量词和 存在量词命题
    • 存在量词
      • “存在”“有”“至少有一个” “有些”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示．
    • 存在量词命题
      • 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
    • 注意事项
      • 存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．
  • 全称量词命题与 存在量词命题的区别
    • (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
    • (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
  • 注意事项
    • 全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词为“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
    • 有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．
    • 存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词为“有的”等．
• 命题的否定
  • 命题的否定
    • 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的否定”．
  • 真假判断
    • 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．
  • 常见否定形式
    • 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个
    • 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个
• 全称量词命题与存在量词命题的否定
  • 全称量词的否定
    • 全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。
  • 存在量词的否定
    • 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。
  • 结论
    • 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。
  • 真假判断
    • (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
    • (2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．