平面向量坐标运算与数量积

平面向量坐标运算与数量积思维导图：包含两向量的夹角，（已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．）向量的数量积，投影向量，运算律，常用公式，等等

平面向量坐标运算与数量积

• 数量积
  • 两向量的夹角
    • 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
  • 向量的数量积
    • 定义
      • 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．
    • 规定
      • 零向量与任一向量的数量积为0．
  • 投影向量
    • 在平面内任取一点O，作OM＝a，OM＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量．
    • 若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则OM1＝|a|cosθe．
  • 运算律
    • (1)a·b＝b·a(交换律).
    • (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
    • (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
  • 常用公式
• 坐标运算
  • 加减坐标运算
    • 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
      • a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
      • a－b＝(x1－x2，y1－y2)
    • 重要结论
      • 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
      • 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)
  • 中点坐标公式
    • 若点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)
  • 数乘坐标表示
    • 文字表示
      • 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
    • 符号表示
      • 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)
  • 共线坐标表示
    • 条件
      • a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
    • 结论
      • 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0
  • 数量积的坐标表示
    • 条件
      • 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
    • 坐标表示
      • a·b＝x1x2＋y1y2
    • 文字叙述
      • 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
  • 数量积的坐标常用结论
    • 模长
      • a＝(x，y)
      • O(x1，y1)，A(x2，y2)
    • 垂直
      • 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
        • a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
    • 夹角
      • 条件
        • a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角
      • 结论