正余弦定理

正余弦定理思维导图：包含三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，公式，a²=b²+c²-2bccos A，b²=a²+c²-2accos_B，c²=a²+b²-2abcos_C等等

正余弦定理

• 余弦定理
  • 描述
    • 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
  • 公式
    • a²=b²+c²-2bccos A，b²=a²+c²-2accos_B，c²=a²+b²-2abcos_C
  • 推论
  • 特点
    • （1）适用范围
      • 余弦定理对任意的三角形都成立．
    • （2）揭示的规律
      • 三条边与一个角的余弦之间的关系，知道其中的三个量，可求第四个量．
• 正弦定理
  • 描述
    • 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
  • 公式
  • 特点
    • (1)适用范围
      • 正弦定理对任意的三角形都成立．
    • (2)结构形式
      • 分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
    • (3)刻画规律
      • 正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系互化．
  • 推论
    • 在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
    • ①asinA=bsinB=csinC=2R，
    • ②sinA:sinB:sinC=a:b:c，
    • ③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，
    • ④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC=2R，
    • ⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（实现边和角的互相转化）
• 三角形面积公式
  • 在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，ℎc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
  • （1）S=12aℎa=bℎb=cℎc
  • （2）S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
  • （3）S=12a+b+c∙r
  • （4）S=a+b+c4R
• 三角形解的个数判断
  • 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
    • 当A为锐角时
    • 当A为钝角时