复数

复数思维导图：包含1、复数的定义，形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，，满足i2=−1，实部是a，虚部是b.，2、虚数单位，把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．等等

复数

• 相关概念
  • 1、复数的定义
    • 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，
    • 满足i2=−1，实部是a，虚部是b.
  • 2、虚数单位
    • 把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．
  • 3、表示方法
    • 复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
  • 4、复数集
    • ①定义
      • 全体复数所成的集合．
    • ②表示
      • 通常用大写字母C表示．
  • 5.共轭复数
    • 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
    • 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，z＝a－bi.
• 几何意义
  • 复平面
    • 当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
  • 复数的几何意义
    • （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
    • （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
  • 复数的模
    • 定义
      • 向量OZ的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
    • 记法
      • 复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
    • 公式
• 复数的加减法
  • 1、加法法则
    • 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
    • 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
  • 2、减法法则
    • 规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
• 复数乘法
  • 运算法则
    • 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
    • z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
  • 复数乘法的运算律
    • 对于任意z1、z2、z3∈C，有
      • （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)；
      • （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
      • （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
• 复数除法
  • （a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
• 复数方程的解
  • 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
  • 求根公式法
  • 利用复数相等的定义求解
    • 设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，带入方程求解