考研高数二常用知识点、题型（超详细）

考研高数二常用知识点、题型（超详细）思维导图：包含函数性态，任意自变量，有唯一确定因变量，坐标变换，极坐标变直角坐标/参数方程(θ为自变量)，极限的概念与性质，极限基本性质等等

极限

函数性态

反函数

任意自变量，有唯一确定因变量

单调性

奇偶性

💔

Tips

💔常见奇函数

常见偶函数

周期性

有界性

坐标变换

极坐标变直角坐标/参数方程(θ为自变量)

极限的概念与性质

极限的定义

数列极限

函数极限

函数极限(x趋近无穷)

极限基本性质

极限的唯一性

充分必要条件是左右极限存在且相等

极限局部有界性

可延伸到无穷的情况

具体表达参考

无界且连续则为无穷大

极限的保号性

极限符号保函数符号

可延伸到无穷的情况

注意：存在X > b

函数符号保极限符号 （非严格保号）

极限的保序性

无穷小及其比较

无穷小，极限，无穷大及其联系

定义

无穷小（函数）

无穷大量

左右都需趋近于无穷大

无穷小与极限的关系

无穷小与无穷大的关系

倒数关系，且f(x)≠0

无穷小的运算性质

有限个无穷小代数和仍为无穷小

有限个无穷小的积仍为无穷小

有界变量与无穷小的乘积为无穷小

Tips：无穷大不具有无穷小的运算性质，通常化为无穷小来进行运算

无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法

无穷小阶的比较

等价无穷小性质

传递性

积、商可用无穷小因子替换

常用无穷大比较

函数的连续性及其判断

连续性及其相关概念

连续性定义

极限值等于函数值

注意

若函数在区间内任一点连续，则称函数在该区间内连续

函数在(a,b)内连续，在a处右连续，b处左连续，则称函数在[a,b]上连续

定理

函数在一点连续等价于左连续且右连续

间断点的定义和分类

间断点的定义

函数在去心领域有定义，在x=x0处无定义

极限不存在（左右极限不等或极限为无穷大）

极限值不等于函数值

间断点分类

第一类间断点

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点

无穷间断点

左右极限至少一个不存在

振荡间断点

x——>0，y=sin(1/x)

判断函数的连续性

判断连续性的方法

若是初等函数，定义域区间上处处连续

用连续运算法则

按定义判断

分别判断左右极限

连续性运算法则

连续性的四则运算法则

复合函数的连续性

外部函数连续极限向里走

反函数的连续性

tips：按定义判断连续性或间断点是求极限的问题

两个函数存在不连续项时 的连续性

f(x)连续，g(x)不连续

乘除

连续性不确定

复合

连续性不确定

加减

一定不连续

f(x),g(x)均不连续

乘除

连续性不确定

复合

连续性不确定

加减

连续性不确定

需要区分左右极限三种情况

连续函数 的性质

连续函数的局部保号性质

有界闭区间上 连续函数的性质

有界闭区间上连续函数的有界性

有界闭区间上连续函数存在最大、最小值

介值定理（闭区间）

有界闭区间才能有最大最小值

零点定理（开区间）

做题判别标志

零点定理

介值定理

推论

含第一类间断点的连续函数依然连续且有界

极限题型总结

😊极限存在性的判别

极限存在的两个准则

夹逼定理

数列情形

函数情形

单调有界数列必收敛

单调上升有上界，则收敛

数列可放大

单调下降有下界，则收敛

数列可缩小

极限存在充要条件

函数极限

数列极限

同理可延伸到3n, 3n+1, 3n+2

Tips：极限值与该点函数值无关（即使该点处无定义）

A≠∞

证明函数f(x)的极限不存在常用方法

左右极限不相等，则函数极限不存在

两个子列极限存在但不相等

利用结论

💔需要区分左右极限 三种情况

求极限常用方法

极限运算法则

四则运算法则 及其推广

四则

极限非零的因子的极限才可以先求出来

💔💔不可将⭐极限不存在的和差极限分解因式拆项，等价无穷小再合并

推广

推广形式

振荡极限加减A 还是为振荡极限

两个振荡极限的加减乘除问题要具体分析

幂指数函数运算法则

幂指数运算法则

推广形式

复合运算

基本极限

指数函数，对数函数

等价无穷小

等价无穷小

1的无穷大次幂

等价无穷小的 变限积分应用

等价无穷小代换原则

⭐同阶且⭐加减后不为零（不等价）

洛必达法则

定义

注意要点

分子极限不为无穷，也可以用洛必达

数列极限不能直接用洛必达，要先转换为函数极限

应用法则时要注意

不是0比0型和无穷比无穷型不可直接使用洛必达

洛必达后极限不存在，不代表原极限不存在，要另谋他法

其他类型的未定式，先化成0比0型和无穷比无穷型再用

用的时候要综合运用变量替换法、等价无穷小等方法

泰勒公式法

定义

展开为几次泰勒取决于题意

在提供信息最多的点用泰勒

偶函数的泰勒展开式只有偶次，奇函数只有奇数

常用泰勒公式

夹逼准则

1、简单的放大缩小

2、利用极限的不等式性质进行放大缩小

不动高阶老大，动1,2,3..k这些老二

定积分定义

8、单调有界准则

单调上升有上界，则收敛

数列可放大

单调下降有下界，则收敛

数列可缩小

9、中值定理

微分中值定理

积分中值定理

利用函数的连续性求极限

若函数在该点连续，则该点极限值等于函数值

一切初等函数在其定义域区间上连续

例题

常用化简

部分极限先求出来

1、极限为常数非零因子项

2、对幂指的无穷大函数极限，除公因子

通过四则运算，对各部分极限分别讨论

先观察能化简应先化简

提无穷因子

除

有理化

通分化

根式有理化

看到根号

指数化

部分指数化

整体指数化

配凑法

加减1，凑基本极限和等价无穷小

三角函数加减kπ，凑化简式

加减x，凑等价无穷小

加减x，构造目标函数

变量代换去

倒代换：令t=1/x

令t=arcsint

😊函数极限

1、洛必达法则

需判断类型再使用

2、等价无穷小【标志：常用等价无穷小】

3、泰勒公式【标志：常用泰勒公式】

洛等泰拉

4、拉格朗日【标志：f(a)-f(b)】

5、变上限积分等价

或直接求积分

1、转换为

💔上下同除以分子分母各项中最高阶的无穷大

倒代换：令t=1/x

2、洛必达法则

分子极限不为无穷也可用

通分后，拆项变为A×B

倒代换：令t=1/x

💔4、拉格朗日【标志：f(a)-f(b)】

一个题目可多重指数化

倒代换：令t=1/x

n项积极限

拆项，分别计算

求含变限积分的未定式的极限

洛必达

恒等变换

无穷小量替换

积分中值定理

求含定积分的极限

💔先积分再求极限

利用导数定义求极限

😊数列极限

数列不定式

数列极限中的n是离散的，不能用求极限的方法，所以要转化为x（连续的）

n项和数列求极限

夹逼定理

【标志：分子分母不同量级】

不动高阶老大，动1,2,3..k这些老二

比大的大，比小的小，可进一步放大或缩小

定积分定义

【标志：分子分母同量级】

n项连乘的数列极限

整体取对数化为n项和

夹逼定理

🤡递推关系

数列{Xn}具有 单调性

1、单调 2、有界就行 3、令极限

数列{Xn}不具有 单调性

💔

不断递推、放大 直至等于0

本质是夹逼准则，涉及不等式，压缩常数r的确定，往往需要用放缩法，需要储备常见的不等式

递推函数求导/作差判断单调性+归纳法求边界， 确定做题方法

单调有界数列 收敛定理

证明单调

基本方法 1、作差 2、作商

用Xn表示Xn+1，计算 作差和作商可相互转化

递推函数法

求导判断f(x)

f(x)视为坐标轴，Xn视为函数

拉格朗日中值定理法

递推式出现g(A)-g(B)时，可以用拉格朗日中值定理处理

证明有界

基本不等式

数学归纳法（主要）

⭐第一归纳法用于Dn和Dn-1的关系 第二归纳法用于Dn，Dn-1，Dn-2的关系

直接看出

根据题目条件，推出单调有界

😊由极限值确定 函数中的参数

若极限存在，分子极限为0(∞)，则分母极限一定是0(∞)

各个击破

方法：将参数a/b分离至等式一边

例

常用

😊无穷小的比较与阶确定

无穷小阶的比较

利用无穷小阶的运算性质

n阶无穷小乘以常数，仍然为n阶无穷小

n阶无穷小乘以m阶无穷小，为m+n阶无穷小

n阶无穷小除以m阶无穷小，为n-m阶无穷小

n＞m，两个无穷小的和为m阶（取决于小阶的那个）

若n=m，两个无穷小和的阶大于等于m

而无穷大则取决于大阶的那个

两个同阶无穷小的和是高于或等于n阶的（有些被省略了，泰勒公式）

1、洛必达法则(求导定阶)

2、利用等价无穷小

0-0型

提公因式

3、泰勒公式

4、待定阶数法

5、变上限积分的阶

若上下极限均为函数，从0分段

😊连续

函数的连续性与 间断点类型

💔先找出可能 间断点

带有绝对值

分段函数

💔分子、分母为0或∞的点

💔若极限中有x以外的参数，需要先计算出来

讨论间断点的 极限值

若能够约分，则不用计算两边极限

若是分段函数或不能约分(如e)，则分左右极限计算

若计算完一边是无穷，则不用算另一边，直接判断该点为无穷间断点

分段函数，注意表达式中有隐藏的间断点

注意tanx，sinx做分母的时候

tanx的情况

若分子带有x

x=0要单独讨论

sinx的情况

若分子带有x

x=0要单独讨论

👿介值定理、最值定理及零点定理的证明题

综合题

被求函数未知

题意条件联系

没有关于导数的信息在里面，作用只能是在所求式子洛必达的时候，把f(x)换掉（可能因为f(x)不可导）

e一定大于0，所以a的取值范围为大于或等于0

外面如果还有一层x，那就是错的，不满足极限运算法则

递推函数求极限中，若左边的系数等于右边的分母幂指数

则要联想到算术平均数不小于几何平均数

x趋向于无穷时，要想使用保号性

得使用极限定义来说明

分子分母都有绝对值符号，分子且为变限积分

可利用分子，把分母绝对值去掉（通常为除）

然后分子利用变限积分性质，去掉分子绝对值

就可以不用分两边算极限

分子分母都带有f(x)，明确是要用导数定义求极限

分子分母同除x^n

看到向上或向下取整，联系到夹逼

导数

一元函数的导数与微分

导数概念

导数的定义

常以定义法的形式做题

导数是曲线在一点处切线的斜率（tanα）

导函数定义

左右导数

左导数

右导数

可导

左右导数存在且相等

几何意义

斜率

力学意义

一阶导数是质点作直线运动的速度

二阶导数是质点直线运动的加速度

Tips

一点邻域内函数相等，则该点导数相等

微分概念

可微的定义

微分是曲线在一点处切线相对应自变量增量的纵坐标的增量

微分的几何意义

以直代曲

可微、可导及连续

总结

区别

Tips

f(x)可导与f(x)连续可导是不同的概念

f(x)可导即f(x)处处有导数

f(x)连续可导即f'(x)为连续函数

二阶导数及其高阶导数

f(x)的导数f'(x)仍是x的函数

奇偶函数与周期函数的导数性质

求导后奇偶性发生改变（奇函数变偶函数，偶函数变奇函数）

求导后周期性不变

导数的几何意义

切线和法线

显函数或隐函数

切线方程

💔💔法线方程

当导数无穷时，切线方程为x=x0

参数方程

直接求导

切线方程

法线方程

极坐标方程

💔转换为参数方程求导

用导数描述某些物理量

导数表与导数 四则运算

导数表

导数、微分四则运算法则

复合函数的微分法则

综合题

真题15-21

微分中值定理及其应用

微分中值定理及其作用

微分中值定理及其几何意义

费马定理及其几何意义

注意

几何意义

罗尔定理及其几何意义

几何意义

曲线在A，B间至少存在一点使得曲线在P处的切线平行于x轴

拉格朗日中值定理及其几何意义

等价形式

几何意义

证明函数

柯西中值定理

证明函数

泰勒中值定理

💔

中值定理的几个推广形式

导数零点定理

导数介值定理

四大中值定理关系

微分中值定理的重要作用

建立了函数增量、自变量增量、导数之间联系，是研究函数性质的重要工具

尤其是拉格朗日中值定理，联系了泰勒公式及微分定理、凹凸性定义等

利用导数研究函数的性态

函数为常数的条件与 函数恒等式的证明

函数为常数的充要条件

两个函数差为常数的条件

两个函数恒等的条件

函数单调性 充要判别法

函数单调性判别定理 及其几何意义

单调区间求法

写出f(x)的定义域范围

求出f(x)的驻点及不可导点(导数为0和不存在)

由小到大将定义域分成若干互不相交的子区间

讨论f'(x)在每个子区间内的符号

极值点

极值的定义

端点处不可能取极值

极值点的必要条件

由必要性可知，导数为0或不存在的点，不一定就是极值点！！！

举例：对于无穷的情况，函数有尖角

举例：对于导数为0的情况，函数始终递增（某一点邻域为0而已，总体上升）

极值点的 充分条件

第一充分判别

第二充分判别

泰勒公式判别法

佩亚诺余项证明

奇次导为零，偶次导判

函数f(x)的极值一般求法

写出f(x)的定义域范围

求出f(x)的驻点及不可导点(导数为0和不存在)

考察这些点两侧附件f‘(x)的符号

由极限第一充分判别定理得出结论

当二阶导数好求时

用极值第二充分判别定理得出结论

扩展：隐函数的情况

两边同时求导

令导数=0，求出x与y的关系式，代入原函数得出x和y的值

因为导函数带有y，无法观察x=0的点左右正负号，因此求二阶导数，代入x y y‘的值，看正负

用极限第二充分判别定理得出结论

拐点

凹向的定义

定义一

定义二

几何意义

拐点的定义

拐点的必要条件

拐点的 充分条件

证明

泰勒公式判别法

偶次导为零，奇次导判

曲线y=f(x)的拐点的求法

求出f''(x)=0的点及f''(x)不存在的f(x)的连续点

考察这些点两侧近处f''(x)的符号来判断

当f'''(x)好求，且f'''(x)在这些点不为0时也可以判断

函数f(x)的凹凸性区间的求法

写出f(x)的定义域范围

求出f''(x)=0的根及f''(x)不存在的f(x)的连续点

用上述各点由小到大划分定义域

讨论f''(x)在每个子区间的符号

最大值与最小值问题

[a,b]上连续函数f(x)的最值问题

求驻点和不可导点

算出f(x)在所有驻点、不可导点和端点a、b的函数值

比较上述各函数值

唯一的极值就是最值

若求解方程内未知量，对方程变形移除未知量，简化计算

渐近线

水平渐近线

最多两条

💔铅直渐近线

最多无数条

💔💔斜渐近线

斜渐近线存在时，水平渐近线也可能存在

当斜是趋向于正无穷，水平是趋向于负无穷

作图

求f(x)的定义域、间断点

考察函数f(x)的特性，如奇偶性、周期性等

求一阶导数f'(x)，并求出f'(x)=0和不存在的点

求二阶导数f''(x)，并求出f''(x)=0和不存在的点

列表，用第三步和第四步求出的点划分区间，表明各子区间的f'(x)，f''(x)符号

确定函数单调性与极值点、拐点及凹凸性

求出渐近线

确定曲线上的特殊点

绘图

概要

注意：能化简应先化简

平面曲线的曲率

曲率的计算公式

直角坐标

参数方程

曲率半径

圆的曲率半径就是圆的半径

导数题型总结

补充

一元函数乘积的可导性

一元函数复合的可导性

😁导数与微分的概念

利用导数定义 求极限

若有变量替换， 注意替换前后是否可导与连续

区别

设满足题目条件的f(x)，代入求解

利用导数定义 求导数

分段函数

做这一类题目，先证明函数在分界点连续，方便后面计算

分段函数分界点 处的导数

定义法（通法）

分段点连续

其他函数

💔💔👿利用导数定义 判定可导性

定义研究可导性 三个条件

保两侧

如1-cosx就不行

不能跨

除非题意指明导数存在

阶相同

设f(x)连续

若f(a)不等于0

|f(x)|在x=a处可导

充分必要条件

若f(a)=0

|f(x)|在x=a处可导

充分必要条件

|f(x)|在x=a处不可导

常用结论

😁导数与微分计算

初等函数的求导法

利用基本初等函数导数表、四则运算法则、复合函数求导法可求任意初等函数的导数

Tips

即使不是分段函数，有时也要用定义法求导

因为有些函数求导完会有间断点，在该点处应该用定义法算

乘积中某个因子在某点处不可导，但乘积在该点处也可能求导

复合函数求导

链式求导（内外存在）

复合后，定义求导

隐函数

两边同时对x求导

在求导过程中，始终把另一变量(如y)视为x的函数，等号两边对x求导

Tips

求导过程中尽量化简结果，特别是求二阶导数时

利用原方程化简

若题意是求一点处的导数

先代入x=a，求得y

算完一阶导数表达式后代入x和y的值，求得y'

反函数的求导法

参数方程

💔💔

极坐标转为参数形式计算

对数求导法

对于幂指函数，连乘、连除，开方、乘方等形式的函数

变限积分

💔

分解因式+换元u=(x,t)消除x

积分内x视为常数，积分外x视为函数变量

😁n阶导数

分解

通过恒等变形将要求n阶导数的函数分解成上述简单初等函数之和

分类

有理函数与无理函数的分解

三角函数的分解

利用三角函数恒等式及有关公式

降幂公式

归纳法

先依次求出y=f(x)的前几阶导数的表达式，由此观察出规律性 （有时还需适当变形）

适合未给出函数表达式的题目

要把题目给出的条件带回去！！！！！！！

公式法

公式

莱布尼兹法则

👿

拆分看待是重点

泰勒公式

😁函数的 形态

一元函数的最值问题

函数型的最值问题

应用型的最值问题

把实际问题提成最值问题

求导解最值问题

为简化计算考虑它的等价问题

如带根号的开个平方等

取分母单独计算，颠倒最小最大值问题

去除不涉及变量的子式

填空题技巧

画草图

利用函数奇偶性简化计算

设复合所有题意条件的函数

代特殊值

带有参数的方程根的问题，首先将参数分离出来，给求解带来方便

👌💔💔💔💔 相关变化率问题

建立被求量与因变量的关系式，然后等式两边对t求导

列写给定的条件的dx/dt,dy/dt,列写因变量z=f(x,y)，代值求dz/dt

常用泰勒公式

若x未知且题意要求绝对值

相加减，然后对比大小来分类讨论

若x已知

两个泰勒公式不相加减，直接按区间划分来分类讨论

🤡方程的根的存在性及个数

👿存在性

零点定理（左右异号则有零点）

导数不易求，用零点定理

罗尔定理

导数易求，用罗尔

方法

令被证明函数为f(x)≡F'(x)

证明F(x)有两个区间I两端值相等，则区间I内至少有一点f(ξ)=0

设问：证必有实根=至少存在一个实根

👿根的个数

单调性

🚑令f(x)

求f(x)导数为0根及不可导点，求出f(x)的极值点与极值

求出y=f(x)定义域两侧的变化趋势，从而求出零点个数

罗尔定理推论

方法

有驻点

求一阶导

找出所有驻点

根据驻点划分区间I1、I2、I3....，在区间内选⭐合适的点利用零点定理+单调性（左右异号，必有零点）

无驻点

一般还会有至少几个实根的条件（零点定理）

注意为区间I，而非定义域

罗尔定理

Tips:

当方程含有未知数时，移项前看看能不能弄好酸一点

💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限

💔边算边画个，避免落下条件

🤡不等式证明

定义域

单调性

🚑令F(x)

全移到一边，作差后求导判断

大减小；避免除法运算；指数——>ln对数；若有a,b将b——>x ⭐有时需要根据题目要求，做适当变形与简化便于求导和判断正负号

💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限

单增+左端点≥0⇨F(x)＞0 【一般f‘(x)≠0，f’‘(x)≠0】 ⭐若有部分参数＞0的条件，不等式一般需要可化简

最值

作差后函数不具有单调性（存在f‘(x)=0），且二阶导大于或小于0 ==>最值

证明最大值比M还大，证明最小值比m还小

中值定理

出现f，f'

不等式一边往往剩下常数，需要利用最值证明不等式

泰勒公式

在提供信息最多的点用泰勒

凹凸性

可得f(x)<0

有时候f''(x)>0要自己算出来

推广

证明

🤮微分中值定理证明

构造辅助函数使用罗尔定理

有三点

用积分中值定理（推广形式）

罗尔定理

待证结论中只有一个中值，不含其他字母

还原法

直接看出辅助函数

右端移到左边，若左端为某个函数的导数，则验证F(x)满足罗尔的条件

构造辅助函数

分组构造法

直接看出辅助函数

凑微法

双层级罗尔定理

由于缺少两点相等，结论可能无法直接一步求出

构造一个中间的辅助函数，其导数为下一层辅助函数的一部分！！！！！

关于a和b的式子不对等

凑微法

结论中含两个或两个以上中值的问题

找出三个点，两次使用L

先将复杂项取出

观察复杂项

若是某函数的导数，则使用L

若是两函数导数之商，则使用柯西

结论中有b-a，很可能是一次L一次柯西

结论中没有b-a，很可能是两次L，也可能是两次柯西

用到的公式

Notes

一般会使用泰勒公式展开，相加减然后使用导数定义求解

拉格朗日中值定理的两种惯性思维

出现f(b)-f(a)

出现三点

出现f(x)与f'(x)的关系式

也有可能使用牛顿莱布尼兹公式

泰勒公式的常规证明问题

判断依据

与一阶导数相关的点

题意条件在区间内部的特殊点

函数极值点

区间中点

其它

与函数值相关的点

区间的端点

其它

展开后常需要相加减，需根据题意条件判断

二阶导数保号性问题

题意条件

出现f(a)=bf(c)+df(e)

介值定理

原理是极限的保号性，对其中一个导数用定义展开就可以得到了

证明函数恒等于0

利用最大值M

找函数值为0的点，与a、b两点用拉格朗日，然后加绝对值取小于等于号，然后两式相加

两次L+一次L

结论中含有几阶导数，泰勒就开到几阶！！！！！！！！！！！！

确定使用泰勒公式，然后一定得看结论是几阶

没有出现一阶导数

高阶导数也有介值定理！

试着对泰勒公式两边积分，将原问题进行转化

证明函数有且只有一个零点或根的时候

求函数零点的两个很好的例子

断点为0 1，结论中含有a b，且是双中值问题

若题意出现一阶和二阶导数都等于0，这时候要有意识用泰勒公式

出现多个f(表达式)的加减不等式，且题意给出二阶导数大于0

用泰勒公式，视不等号的方向进行选择x和x0

两边同除以x，算微分方程，求出f(x)

一元函数积分

概念、性质与基本定理

不定积分

原函数与不定积分的定义

原函数与不定积分的关系

表明不定积分由所有原函数组成，原函数之间差一个积分常数C

原函数存在性

有原函数的条件是原函数的导数f(x)处处存在，即f(x)连续

变限积分虽然肯定是连续的，但不是原函数

原函数的有关问题

💔不定积分与变限定积分的关系

初等函数的原函数

初等函数在定义域区间上连续，则一定存在原函数，但原函数不一定是初等函数（积分不出来）

常见不可积函数

求不定积分与求微分(导数)的关系——互为逆运算

注意两者差别，先求导后积分是有C的

不定积分的简单性质

可积+不可积=不可积

定积分

定积分的定义

定义

图形表示

注意

定积分存在时，其值只与被积函数及积分区间有关，而与被积变量用什么字母无关

定积分的几何意义

💔表示介于x轴，曲线y=f(x)与直线x=a, x=b之间各部分面积的代数和（⭐即有正有负）

若f(x)＞0，积分=面积前提是a＞b，即由左向右积分

可积性

可积的必要条件

可积必然连续

可积的充分条件

改变有限个点的函数值不改变其可积性与积分值

基本性质

积分限对调

线性性质

对区间的可加性质

这里的c也可以在[a,b]外

比较定理

推论一

推论二

介值定理

柯西不等式

积分中值定理

基本形式

推广形式

广义形式

牛顿-莱布尼兹公式

推论一

推论二

推论三

利用定积分求某些n项和式数列的极限

取右端点高

取左端点高

基本积分表

额外补充

若为无穷区间上的反常积分，则发散

变上限积分

定理

F(x)连续性

💔F(x)可导性

F(x)变上限积分求导

💔

分解因式+换元u=(x,t)消除x 💔积分三大件都需要更换

积分内x视为常数，积分外x视为函数变量

反常积分的计算

无穷区间上的 反常积分

极限都存在才收敛

无穷区间上的 反常积分判别法

找g(x)的两个方向： (1)、等价无穷小直接化简为P积分 (2)、通过常用结论反向凑能使λ存在的P积分

无界函数的 反常积分

无界函数的 反常积分判别法

瑕点考察单边

伽马函数

特例

💔几个常见的反常积分

真题13-4

敛散性判别方法

法一：定义法，直接积分后极限是否存在

法二：p积分

属于p积分或变量代换化成p积分

法三：比较法的极限形式

和熟悉的p积分比较

仅通过被积函数 就可判断

备注：判别时要求每个积分有且仅有一个奇点——分段判别

1、容易积分的，直接积分，牛顿莱布尼茨看极限 2、属于P积分或能通过等价、配方转换为P积分的，用P积分直接判 3、以上两种情况以外，采用比较判别法的极限形式 4、形式复杂多个瑕点，通过瑕点分段挨个判断，选取合适方法

极限存在或换元消去

反常积分的牛顿莱布尼兹公式

反常积分的运算法则

⭐注意结论成立的条件！！！ F(x)需要收

积分学应用的基本方法——微元分析法

一元函数积分题型总结

不定积分的计算

三种方法

第一换元积分法（凑微分法）

常见的凑微分法

第二换元积分法

最终结果，需要还原回原变量

分部积分法（反对幂指三）

三类积分

💔💔有理函数不定积分的计算

假分式

化为多项式+真分式

真分式

能因式分解

待定系数法+赋值法，转为多个分式之和

不能因式分解

分子为常数

配方法+凑微分法

分子不为常数

分子拆成：分母的原函数+常数

分式分解的 基本原则

Tips

💔分子x的次幂只和次有关,重数不升幂

简单无理函数的积分

直接变量替换

根号下x为一次

三角换元

根号下x为二次

👿三角有理函数积分

一般方法

特殊方法（三角变形，换元，分部）

sin的奇函数凑dcosx cos的奇函数凑dsinx sin，cos的偶函数凑dtanx

基本积分表

额外补充

若为无穷区间上的反常积分，则发散

💔💔计算结果不要丢C

常用变量替换

💔三角替换

幂函数替换

指数函数替换

倒替换

技巧总结

💔

然后列出方程组，解出AB的值

只有cos或者sinx也可以用

当三角函数角度不统一时，一般先统一角度

利用定积分几何意义快速求解定积分

定积分的计算

牛顿-莱布尼兹公式 (凑微分法)

换元积分法

注意

直接计算，不用再还原到原变量计算

💔换元三大件，函数、微元、上下限

概要

凑微分不用改变积分上下限

凑微分+常数，不改变积分上下限

换元需要改变积分上下限

凑微分后再换元，不改变x与t的对应关系

👿保持区间的 变量代换

💔常用于被积函数不易求出的定积分的计算中

例

分部积分法

定积分的分部积分法

分部积分的优先次序

反对幂指三

谁先出现就作u(x)，后出现就做v'(x)

👿换元后就是天然的分部

凑微分后就是天然的分部

利用奇偶性、周期性

当a=∞或其他参数时，F(x)收敛，奇偶性才成立

利用三角积分公式

💔

分段函数求定积分

弄清积分限与分段函数的分界点之间的关键位置关系，以便对定积分进行正确分段

被积函数中有绝对值、平方根，要去掉绝对值化为不含绝对值的分段函数，进行计算

被积函数在积分限内有界但有不可取的点，分段，并取间断点的左右极限进行计算

被积函数在积分限内无界，则不可积

例

积分前要留意一下！！！！

🤡证明积分 不等式

函数比大小

单调性+比较定理

若函数区间均为正

定积分分段，变量替换至正区间

若函数有负积分区间

几何意义

估计积分值

常见的不等式

👿证明

变量代换

积分中值定理

能不能用，用了再说

变上限积分

🚑令F(x)

如，F(a)=0，F‘(x)单调增 ==> F(b)≥0

⭐有时需要根据题目条件，做适当变形与简化便于计算

柯西不等式

😁几何应用

合理利用几何意义

💔通过对被积函数图像拼接拆分、平移，简化计算

平面图形的面积

直角坐标

Y型用二重积分

参数坐标

💔上下限为t的

极坐标

旋转体体积

旋转体的体积

绕x轴旋转

绕y=a旋转，a＞y

绕y轴旋转

绕x=a旋转，a＞x

绕x、y轴旋转的简单曲线套公式，其余用二重积分 ⭐灵活使用，复杂单一曲线函数，使用平移特性，移动至x、y轴积分 ⭐简单函数拼接，使用二重积分

平面截面已知

弧微分和弧长

直角坐标

弧微分

弧长

参数方程

弧微分

弧长

极坐标

弧微分

弧长

💔绕x轴旋转 旋转面的侧面积

直角坐标

参数方程

极坐标

即函数y×2π，对弧长积分

圆周长×弧长

质心（形心）

均匀密度ρ=1的平面图形的质心（形心）

坐标轴乘面积，再除面积

均匀线密度ρ=1的平面曲线的质心(形心)

转动惯量

👌物理应用

利用定积分求液体静压力

以薄板面积S(x)微元

利用定积分求功

物体运动做功

以功W微元

液体全部抽出做功

注意两种坐标轴 的差异

以水的体积V(x)微元

图一

图二

物体提出水面

当切面是矩形时，以最上面的边设置坐标轴

当切面是圆时，以圆心的水平线设置坐标轴

球顶部碰水

拉漏斗问题

利用定积分求引力

质点与细杆间的引力

图

以杆的质量m2微元

细杆与细杆间的引力

图

圆环与质点之间的引力

图

圆盘与质点之间的引力

图

如果题意有关于引力分量被抵消，需要留意一下

题意条件

手法漂亮的一塔附图呀

这样做就不会错误地使用反常积分的分部积分法

通常是保留分母的根号

前半部分用凑微分法

后半部分用sinx换元

微分方程

基本概念

常微分方程

含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程

线性微分方程与非线性微分方程

未知函数和它的各阶导数都是一次方，就称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程

微分方程的阶

未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶

微分方程的解

若把某函数及其导数代入微分方程能够使该方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解

微分方程的通解和特解

通解

含有与微分方程阶数相同的独立任意常数的解

特解

不含任意常数或任意常数确定后的解

通解为所有解 特解为有初始条件的唯一解，若无初始条件特解为无穷个

微分方程的初始条件

能确定通解的任意常数的条件称为定解条件，其中初始条件是最常见的形式

微分方程的初值问题

n阶微分方程和它的初始条件组成一个定解问题，称为n阶微分方程的初值问题（带条件，解出结果即为特解）

积分曲线

方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线

😁n阶微分方程解的性质与结构

（2）的通解即为所有解

齐解+非齐解=非齐解

💔

非齐解-非齐解=齐解

部分解之和=所有解

💔💔

💔💔

线性无关与线性相关

线性相关

线性无关

😁一阶微分方程

💔💔

先换元，再分离变量

💔💔

只要不含无理常数因子，就可以不加绝对值

💔💔

谁的次数低就把谁放在分母

变量代换

复合函数，x、y均为非简单幂函数

注意

在变量可分离的方程和齐次方程（统称非线性）中，通解是部分解，因此不考虑分母为0的情况

在线性方程中，通解就是所有解，因此要分类讨论分母=0的情况

C的问题

若C取得到0，其实就不用考虑分母为0了，因为C取0就行

😁可降价的高阶 微分方程

n次积分

先换元，再分离变量

💔

含有y'^2

先换元，再分离变量

由自变量增量与因变量增量间的关系给出的一阶方程

求导定义

😁二阶和高阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程

通解的形式

通解看特征根 根据初值定任意数

n阶常系数齐次线性方程

通解的形式

通解的形式

一般是求不出三阶的，所以题意给出的通常是特殊形式

😁二阶常系数非齐次线性微分方程

特解看特征根与微分方程等号后区别 仅乘x需要判断，其余为照抄

😁综合题

含变限积分方程的求解

若是求特解，则将x=a获得的初始条件代入

两边求导，转化为求解相应的微分方程的通解或特解

部分步骤借鉴变限积分求导的三种类型

讲义P138例4、5

已知微分方程的解，求微分方程

根据解的结构

已知微分方程和他的部分解，求解中的未知函数

解代入微分方程

求齐次线性微分方程解的极限

不需要将C1、C2求出来，直接求极限

已知两个微分方程组求通解

联立求解

👌微分方程应用

2019、20220、2021均有出题

利用定积分列方程

利用定积分的几何意义或物理意义，常常得到⭐变限积分方程或微分方程，然后再求解（求导）

利用导数的几何意义列方程

💔利用法线和切线、曲率进行列方程

设切点为x和y就行

利用变化率满足的条件列方程

利用牛顿第二 定律列方程

两种情况

利用微元分析法或相应的 变限积分法列方程

例子

质点运动的轨迹方程

⭐标志：有初值，有变化量

题意条件

初值问题在计算完成后就代入求出C，尤其是高阶微分方程，因为有两步，第一步求出后就代入

解的性质的易错点

多元函数微分学

👿概念

概念

多元函数的定义

二元函数的几何意义

三维空间的曲面

一元函数与多元函数

一元函数是多元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自变量固定，二元函数就转化为一元函数

一元函数中，自变量x代表直线上的点，只有两个变动方向，而二元函数自变量(x,y)代表平面上的点，有无数个变动方向

极限

定义

定义

注意

极限与无穷小的关系

二元一元极限 存在性区别

一元函数

左右极限存在且相等

二元函数

在定义域内沿任何路径以任何方式（非直线）趋于P时，均有极限存在且相等

💔重极限运算方法

利用极限性质（基本不等式，四则运算法则，⭐取绝对值夹逼原理<左边常大于或等于0>）

消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）

无穷小量与有界变量之积为无穷小量

y=kx变量替换法转化为一元函数的极限

变量替换法

⭐一般，多元无穷小运算同一元，高次幂÷低次=0。 <———初步判断提供思路 ⭐分子分母同次用判断法，分子分母不同次数用重极限运算

证明极限不存在

用于存在判定， 需要多换几个路径

区别证明存在与求极限方法

做题步骤

首先使用带绝对值的放大缩小法看看能不能证明极限为0

若不能，则改用y=kx代入计算一下，看看有没有保留k

若保留k，则改用其它曲线的路径计算

连续性

定义

二元函数一点极限值存在且等于该点函数值，则在该点连续，若在定义域D上每一点连续，则称在D上连续

定义区域上连续

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍连续

基本初等函数、初等函数在定义区域上是连续的

二元连续函数的性质

局部保号

最大最小值

介值定理

有界定理

偏导数

定义

注意

由定义可以看出偏导数本质上是一元函数的导数（另一个变量视为常数）

偏导数的几何意义

图形

偏导数f'x(x0，y0)

偏导数f'y(x0，y0)

💔证明可偏导

左右导数是否存在且相等

高阶偏导数

全微分

定义

💔证明可微

即对求重极限和判断极限存在的应用

💔偏导数连续判断

连续性、可微性、 可偏导

判断题，可由连续——>偏导连续， 存在连续可导选项时，可先求偏导连续——>连续

抽象函数用特定函数法

😁求偏导与全微分

函数一点处

注意(先代后求)

高阶导在n-1阶， 才能先代后求

先代后求

已知具体表达式 (多元复合函数求导)

多元函数与一元函数的复合

多元函数与多元函数的复合

链式求导

全微分形式不变性

注意

若偏导结果中出现与原函数一致的部分，需化简

💔已知偏导或全微分 求原函数

偏积分，设φ(x)或φ(y)

抓住一个重点，其余函数作为条件

凑微分

二阶偏导数连续==>二阶混合偏导相等

求带抽象函数的复合函数

复合函数求导+数状图划分变量对应关系

注意区别

......由方程F(x，y，z)所确定

方程F(x，y，z)可确定.......

起到确定作用的是被求函数 ⭐不要怂，看懂题意先算为敬

💔看不出对谁求偏导情况

给定条件是谁，先对谁求导。一般最终能将给定条件代入

含变限积分方程的求解

换元或合并同类项，变限积分求导

隐函数

二元隐函数求导法 z=(x,y)

方法

示例

x以外的所有变量看作常数，包括含有x的因变量

x以外的因变量看作函数(如z)，自变量看作常数(如y), 含有x的因变量，链式求导

所有变量都看作自变量

⭐抽象函数用公式 简单函数两边直接求导

注意区分这三种方法中z分别被看作什么？

由方程组确定的隐函数求导法

由方程组确定的一元隐函数求导法（两个一元） u=u(x)，v=v(x)

由方程组确定的二元隐函数求导法（两个二元） u=u(x,y)，v=v(x,y)

克莱姆法则

数二不要求

多元函数为常数的条件

😁极值

极值及驻点

💔无条件极值

必要条件

偏导数的极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点

充分条件

双大为极小

注意

二元函数在区域D有唯一的极值点，若是极小(大)值点，不一定是最小(大)点，需进一步和边界上的点进行比较

边界上的点有无限多个，所以要选用特殊点进行比较，如有角度的点

求二元函数无条件极值

条件极值

拉格朗日乘数法

注意：拉格朗日乘数法是条件极值的必要条件

😁最值

连续函数在有界 闭区域最值

几何意义

特征

边界、被积函数都简单

本质是，在约束条件的范围内找目标函数的最大值

边界简单——> 无条件极值

特征

边界函数简单（如二元）

拉格朗日乘数法

💔

简化技巧

若约束条件是函数部分式子的解，可以直接代入

可先用驻点做基本判断

条件最值

拉格朗日乘数法

👌应用题 （最值问题）

分析出目标函数

目标函数简化

⭐标志：为两个函数，函数（1）在条件【函数(2)】下的最值

注意

判别条件极值时千万不能用无条件极值常用的方法来判别

求解条件极值的应用问题时，常可从问题的实际意义知道所求最大值或最小值存在，若只有一个驻点，则可断言所求的最大值或最小值就在这个驻点取到

题意条件

二重积分

概念与性质

定义

面——>体

和式极限

定积分存在时，其值只与被积函数及积分区间有关，而与被积变量用什么字母无关

定积分就是一个常数

几何意义

曲顶柱体

密度不均匀的薄片的重量

性质

被积函数可加性

对区域的可加性质

💔

比较定理

特别的

介值定理

积分中值定理

连续非负函数的积分性质

直角坐标系

x型

后积决定型

y型

特殊情形

积分区域固定（a,b,α,β为常数），积分次序可以交换

两边互不含对方的变量，分开计算

注意

定义域的写法：什么型就先写谁

直角坐标与极坐标选取

直角坐标系

利用对称性和奇偶性求二重积分

二重积分表达式中若含偏导数，则用分部积分

极坐标系

以被积函数为主要考虑

极坐标系

情形一

取θ上限到下限，积分上限或下限不能有第二种表达式，否者要分段

情形二

情形三

示例

💔

星形线

💔摆线

参数方程

双扭线

心形线

极坐标

💔

😁对称区域的二重积分

对称区域上奇偶函数 的二重积分

若积分区间D关于x轴对称

💔y=0也为偶函数

若积分区间D关于y轴对称

💔x=0也为偶函数

若积分区间D关于原点对称

若积分区间D关于x=a对称

先判D对称性，对称轴左右判（被积函数）奇偶 💔💔⭐关于y轴对称，判x奇偶，y视为常数；拆项判断，如x(x+y)=2x²，x+y=2y 💔⭐极坐标函数换至直角坐标，判断对称性

变量的轮换对称性

😁计算二重积分

奇偶性

轮换对称性

交换积分次序

合理利用几何关系

积分域拼接或分割

一种思路：红色字体

关于原点对称，补齐缺的那一小块，使得积分区域变为-1<x<1, 0<y<1

一种思路：蓝色字体

在同一被积函数下

平移变换

直角坐标平移

利用奇偶性和对称性

极坐标平移

💔

具体函数： 二重积分 + 交换积分次序

f(x)原函数易求，或g(y)为抽象： 分部积分法

二重积分表达式中若含偏导数，则用分部积分

质心形心

用于计算x或y的简单二重积分

全平面问题

被积函数的定义域构成了积分区域D

分段函数问题

被积函数分段

根据积分区域将被积函数分段去绝对值，不分段无法积分

被积函数对积分域分段，代值确定正负

积分域分段

根据被积函数将积分域分段去绝对值，不分段无法表达出积分上下限

最值函数问题

😁交换积分顺序计算累次积分

选择积分顺序

被积函数较复杂时，优先看被积函数决定

可观察积分区域，观察什么型计算方便

情形

单纯改变积分次序

积分次序不正确，导致无法计算，需要改变积分次序

积分方法不正确，需要改变积分法

解题步骤

由累次积分的上下限给出积分域所满足的不等式组

画出积分域的草图

给出新的累次积分的上下限

注意积分上下限改变是否会引入负号

极坐标交换 积分次序

💔参数方程交换积分次序

😁积分不等式

💔积分域相同，比较被积函数

被积函数想同，比较积分域

积分域大小结合函数增减性

😁综合题

带变限积分

变积分限的函数求导一般需要改变积分次序

因为一次积分后含有x（变限积分被积函数不能含有x）

极限题

求二重积分的极限，一般用积分中值定理

和式极限

积分区域D类别

直角坐标方程

题意条件

平移变换的精辟用法

平移变换也不一定是和极坐标法一起用，也可以用来利用对称性消除项

目录

常用公式

初等代数

💔

开方注意加绝对值，平方注意增值

💔

💔

💔

💔

椭圆面积=πab

常用不等式

💔常见奇函数

常见偶函数

常见不可积函数

常见反常积分

真题13-4

伽马函数

常用无穷大比较

基本极限

指数函数，对数函数

等价无穷小

1的无穷大次幂

常用麦克劳林

💔💔偶函数的泰勒展开式只有偶次，奇函数只有奇数

对于n！，e^x，sinx，cosx最乖； 对于-1，sinx，cosx很善变； ⭐展开式认为首项n=0，第二项n=1以此类推

微分表

背弦、切、割的导数，负号跟着函数的“余🐟”走 反正弦=-反余弦；反正切=-反余割

求导

💔反函数的求导法

看清x，y的位置

参数方程

💔💔💔

极坐标转为参数形式计算

n阶导

💔

👌💔💔💔💔 相关变化率问题

建立被求量与因变量的关系式，然后等式两边对t求导

列写给定的条件的dx/dt,dy/dt,列写因变量z=f(x,y)，代值求dz/dt

基本积分表

背弦、切、割积分，负号跟着结果的“余🐟”走 5.(5)(6) x²-a²，a²-x²前都有💔1/2a，前者分子为x-a，后者分母=a-x 结合5.（2）（7）（8）背（9）（10）（11） 5.(5)(6)是5.(4)的延伸 5.(7)(8)是5.(2)的延伸 💔ln不要忘记绝对值

额外补充

💔

若为无穷区间上的反常积分，则发散

奇1偶π

💔

👿三角有理函数积分

一般方法

💔特殊方法（三角变形，换元，分部）

sin的奇函数凑dcosx cos的奇函数凑dsinx sin，cos的偶函数凑dtanx

弧微分和弧长

曲率

定义

💔💔💔直角坐标

💔💔参数方程

曲率半径

圆的曲率半径就是圆的半径

推导

直角坐标

弧微分

弧长

参数方程

弧微分

弧长

极坐标

弧微分

💔弧长

💔证明可微

即对求重极限和判断极限存在的应用

微分方程

通解的形式 （二阶）

通解看特征根 根据初值定任意数

通解的形式 （高阶）💔

💔💔

特解看特征根与α与β区别 ⭐x的次数取决于特征根的重数 仅乘x需要判断，其余为照抄

泰勒中值定理

💔

💔💔👿利用导数定义 判定可导性

定义研究可导性 三个条件

保两侧

如1-cosx就不行

不能跨

除非题意指明导数存在

阶相同

设f(x)连续

若f(a)不等于0

|f(x)|在x=a处可导

充分必要条件

若f(a)=0

|f(x)|在x=a处可导

充分必要条件

|f(x)|在x=a处不可导

常用结论

F(x)变上限积分求导

💔

分解因式+换元u=(x,t)消除x 💔积分三大件都需要更换

积分内x视为常数，积分外x视为函数变量

分式分解的 基本原则

Tips

💔分子x的次幂只和次有关,重数不升幂

💔

然后列出方程组，解出AB的值

只有cos或者sinx也可以用

👿保持区间的 变量代换

💔常用于被积函数不易求出的定积分的计算中

例

😁一阶微分方程

💔💔💔💔

先换元，再分离变量

💔💔

只要不含无理常数因子，就可以不加绝对值

💔💔

谁的次数低就把谁放在分母

变量代换

复合函数，x、y均为非简单幂函数

标记使用规范

注意事项及归纳技巧

重点注意

进行中

没听过，看不懂

有易错易混点

👿难点

😁必须掌握的题型

⭐重点注意

💔瞎过！

※经典题型

👌应用题

总结

未知函数，可用特值/特殊函数法

多元函数的抽象函数用设特定函数法

一元函数善用几何关系

不容易积分的，试试保持区间的变量代换

积分求原函数最难，真正的难题很难凑，因此反而会在题目中留有蛛丝马迹

证明题的第二问会用第一问的结论

第二问先将所有已知条件写出来

不会的题写思路、过程和概念，不能空

会的题，必检查，不会的早放弃

证明题，先做差

极限

极限题型总结

导数

微分中值定理及其应用

导数题型总结

一元函数积分概念、计算及应用

一元函数积分题型总结

微分方程

多元函数微分学

二重积分

被积函数相当一元函数，积分区域D相当一元函数定义域

证明

😊数列极限

🤡递推关系

数列{Xn}具有 单调性

1、单调 2、有界就行 3、令极限

数列{Xn}不具有 单调性

💔

不断递推、放大 直至等于0

本质是夹逼准则，涉及不等式，压缩常数r的确定，往往需要用放缩法，需要储备常见的不等式

递推函数求导/作差判断单调性+归纳法求边界， 确定做题方法

单调有界数列 收敛定理

证明单调

基本方法 1、作差 2、作商

用Xn表示Xn+1，计算 作差和作商可相互转化

递推函数法

求导判断f(x)

f(x)视为坐标轴，Xn视为函数

拉格朗日中值定理法

递推式出现g(A)-g(B)时，可以用拉格朗日中值定理处理

证明有界

基本不等式

数学归纳法（主要）

⭐第一归纳法用于Dn和Dn-1的关系 第二归纳法用于Dn，Dn-1，Dn-2的关系

直接看出

根据题目条件，推出单调有界

🤡方程的根的存在性及个数

👿存在性

零点定理（左右异号则有零点）

积分不易求，用零点定理

罗尔定理

积分易求，用罗尔

方法

令被证明函数为f(x)≡F'(x)

证明F(x)有两个区间I两端值相等，则区间I内至少有一点f(ξ)=0

设问：证必有实根=至少存在一个实根

👿根的个数

单调性

🚑令f(x)

求f(x)导数为0根及不可导点，求出f(x)的极值点与极值

求出y=f(x)定义域两侧的变化趋势，从而求出零点个数

罗尔定理推论

方法

有驻点

求一阶导

找出所有驻点

根据驻点划分区间I1、I2、I3....，在区间内选⭐合适的点利用零点定理+单调性（左右异号，必有零点）

无驻点

一般还会有至少几个实根的条件（零点定理）

注意为区间I，而非定义域

罗尔定理

Tips:

当方程含有未知数时，移项前看看能不能弄好酸一点

💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限

💔边算边画个，避免落下条件

🤡不等式证明

定义域

单调性

🚑令F(x)

全移到一边，作差后求导判断

大减小；避免除法运算；指数——>ln对数；若有a,b将b——>x ⭐有时需要根据题目要求，做适当变形与简化便于求导和判断正负号

💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限

单增+左端点≥0⇨F(x)＞0 【一般f‘(x)≠0，f’‘(x)≠0】 ⭐若有部分参数＞0的条件，不等式一般需要可化简

最值

作差后函数不具有单调性（存在f‘(x)=0），且二阶导大于或小于0 ==>最值

证明最大值比M还大，证明最小值比m还小

中值定理

出现f，f'

不等式一边往往剩下常数，需要利用最值证明不等式

泰勒公式

在提供信息最多的点用泰勒

凹凸性

可得f(x)<0

有时候f''(x)>0要自己算出来

推广

证明

🤡证明积分 不等式

变量代换

积分中值定理

能不能用，用了再说

变上限积分

🚑令F(x)

如，F(a)=0，F‘(x)单调增 ==> F(b)≥0

⭐有时需要根据题目条件，做适当变形与简化便于计算

柯西不等式