考研高数二常用知识点、题型（超详细）

考研高数二常用知识点、题型（超详细）思维导图：包含函数性态，任意自变量，有唯一确定因变量，坐标变换，极坐标变直角坐标/参数方程(θ为自变量)，极限的概念与性质，极限基本性质等等

极限

• 函数性态
  • 反函数
    • 任意自变量，有唯一确定因变量
  • 单调性
  • 奇偶性
    • 💔
    • Tips
    • 💔常见奇函数
    • 常见偶函数
  • 周期性
  • 有界性
  • 坐标变换
    • 极坐标变直角坐标/参数方程(θ为自变量)
• 极限的概念与性质
  • 极限的定义
    • 数列极限
    • 函数极限
    • 函数极限(x趋近无穷)
  • 极限基本性质
    • 极限的唯一性
      • • 充分必要条件是左右极限存在且相等
    • 极限局部有界性
      • 可延伸到无穷的情况
        • 具体表达参考
      • • 无界且连续则为无穷大
    • 极限的保号性
      • 极限符号保函数符号
      • 可延伸到无穷的情况
        • • 注意：存在X > b
      • 函数符号保极限符号 （非严格保号）
    • 极限的保序性
• 无穷小及其比较
  • 无穷小，极限，无穷大及其联系
    • 定义
      • 无穷小（函数）
      • 无穷大量
        • 左右都需趋近于无穷大
    • 无穷小与极限的关系
    • 无穷小与无穷大的关系
      • 倒数关系，且f(x)≠0
    • 无穷小的运算性质
      • 有限个无穷小代数和仍为无穷小
      • 有限个无穷小的积仍为无穷小
      • 有界变量与无穷小的乘积为无穷小
    • Tips：无穷大不具有无穷小的运算性质，通常化为无穷小来进行运算
  • 无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法
    • 无穷小阶的比较
    • 等价无穷小性质
      • 传递性
      • 积、商可用无穷小因子替换
  • 常用无穷大比较
• 函数的连续性及其判断
  • 连续性及其相关概念
    • 连续性定义
      • 极限值等于函数值
    • 注意
      • 若函数在区间内任一点连续，则称函数在该区间内连续
      • 函数在(a,b)内连续，在a处右连续，b处左连续，则称函数在[a,b]上连续
    • 定理
      • 函数在一点连续等价于左连续且右连续
  • 间断点的定义和分类
    • 间断点的定义
      • 函数在去心领域有定义，在x=x0处无定义
      • 极限不存在（左右极限不等或极限为无穷大）
      • 极限值不等于函数值
    • 间断点分类
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点
          • 左右极限至少一个不存在
        • 振荡间断点
          • x——>0，y=sin(1/x)
  • 判断函数的连续性
    • 判断连续性的方法
      • 若是初等函数，定义域区间上处处连续
      • 用连续运算法则
      • 按定义判断
      • 分别判断左右极限
    • 连续性运算法则
      • 连续性的四则运算法则
      • 复合函数的连续性
        • 外部函数连续极限向里走
      • 反函数的连续性
    • tips：按定义判断连续性或间断点是求极限的问题
  • 两个函数存在不连续项时 的连续性
    • f(x)连续，g(x)不连续
      • 乘除
        • 连续性不确定
      • 复合
        • 连续性不确定
      • 加减
        • 一定不连续
    • f(x),g(x)均不连续
      • 乘除
        • 连续性不确定
      • 复合
        • 连续性不确定
      • 加减
        • 连续性不确定
  • 需要区分左右极限三种情况
• 连续函数 的性质
  • 连续函数的局部保号性质
  • 有界闭区间上 连续函数的性质
    • 有界闭区间上连续函数的有界性
    • 有界闭区间上连续函数存在最大、最小值
    • 介值定理（闭区间）
      • 有界闭区间才能有最大最小值
    • 零点定理（开区间）
    • 做题判别标志
      • • 零点定理
      • • 介值定理
    • 推论
      • 含第一类间断点的连续函数依然连续且有界

极限题型总结

• 😊极限存在性的判别
  • 极限存在的两个准则
    • 夹逼定理
      • 数列情形
      • 函数情形
    • 单调有界数列必收敛
      • 单调上升有上界，则收敛
        • 数列可放大
      • 单调下降有下界，则收敛
        • 数列可缩小
  • 极限存在充要条件
    • 函数极限
    • 数列极限
      • 同理可延伸到3n, 3n+1, 3n+2
    • Tips：极限值与该点函数值无关（即使该点处无定义）
    • A≠∞
  • 证明函数f(x)的极限不存在常用方法
    • 左右极限不相等，则函数极限不存在
    • 两个子列极限存在但不相等
    • 利用结论
  • 💔需要区分左右极限 三种情况
• 求极限常用方法
  • 极限运算法则
    • 四则运算法则 及其推广
      • 四则
        • 极限非零的因子的极限才可以先求出来
        • 💔💔不可将⭐极限不存在的和差极限分解因式拆项，等价无穷小再合并
      • 推广
      • 推广形式
        • 振荡极限加减A 还是为振荡极限
          • 两个振荡极限的加减乘除问题要具体分析
    • 幂指数函数运算法则
      • 幂指数运算法则
      • 推广形式
    • 复合运算
  • 基本极限
    • • • 指数函数，对数函数
  • 等价无穷小
    • 等价无穷小
      • • 1的无穷大次幂
    • 等价无穷小的 变限积分应用
    • 等价无穷小代换原则
      • • ⭐同阶且⭐加减后不为零（不等价）
  • 洛必达法则
    • 定义
    • 注意要点
      • 分子极限不为无穷，也可以用洛必达
      • 数列极限不能直接用洛必达，要先转换为函数极限
      • 应用法则时要注意
        • 不是0比0型和无穷比无穷型不可直接使用洛必达
        • 洛必达后极限不存在，不代表原极限不存在，要另谋他法
        • 其他类型的未定式，先化成0比0型和无穷比无穷型再用
        • 用的时候要综合运用变量替换法、等价无穷小等方法
  • 泰勒公式法
    • 定义
      • 展开为几次泰勒取决于题意
        • 在提供信息最多的点用泰勒
      • 偶函数的泰勒展开式只有偶次，奇函数只有奇数
    • 常用泰勒公式
  • 夹逼准则
    • 1、简单的放大缩小
    • 2、利用极限的不等式性质进行放大缩小
    • 不动高阶老大，动1,2,3..k这些老二
  • 定积分定义
  • 8、单调有界准则
    • 单调上升有上界，则收敛
      • 数列可放大
    • 单调下降有下界，则收敛
      • 数列可缩小
  • 9、中值定理
    • 微分中值定理
    • 积分中值定理
  • 利用函数的连续性求极限
    • 若函数在该点连续，则该点极限值等于函数值
    • 一切初等函数在其定义域区间上连续
  • • • 例题
• 常用化简
  • 部分极限先求出来
    • 1、极限为常数非零因子项
    • 2、对幂指的无穷大函数极限，除公因子
  • 通过四则运算，对各部分极限分别讨论
  • 先观察能化简应先化简
  • 提无穷因子
  • 除
  • 有理化
    • 通分化
    • 根式有理化
      • 看到根号
  • 指数化
    • 部分指数化
    • 整体指数化
  • 配凑法
    • 加减1，凑基本极限和等价无穷小
    • 三角函数加减kπ，凑化简式
    • 加减x，凑等价无穷小
    • 加减x，构造目标函数
  • 变量代换去
    • 倒代换：令t=1/x
    • 令t=arcsint
• 😊函数极限
  • • 1、洛必达法则
      • 需判断类型再使用
    • 2、等价无穷小【标志：常用等价无穷小】
    • 3、泰勒公式【标志：常用泰勒公式】
    • 洛等泰拉
    • 4、拉格朗日【标志：f(a)-f(b)】
    • 5、变上限积分等价
      • 或直接求积分
  • • 1、转换为
      • 💔上下同除以分子分母各项中最高阶的无穷大
        • 倒代换：令t=1/x
    • 2、洛必达法则
      • 分子极限不为无穷也可用
  • • • 通分后，拆项变为A×B
    • • 倒代换：令t=1/x
    • 💔4、拉格朗日【标志：f(a)-f(b)】
  • • • 一个题目可多重指数化
  • • • 倒代换：令t=1/x
  • n项积极限
    • 拆项，分别计算
  • 求含变限积分的未定式的极限
    • 洛必达
    • 恒等变换
    • 无穷小量替换
    • 积分中值定理
  • 求含定积分的极限
    • 💔先积分再求极限
  • 利用导数定义求极限
• 😊数列极限
  • 数列不定式
    • 数列极限中的n是离散的，不能用求极限的方法，所以要转化为x（连续的）
  • n项和数列求极限
    • 夹逼定理
      • 【标志：分子分母不同量级】
      • 不动高阶老大，动1,2,3..k这些老二
        • 比大的大，比小的小，可进一步放大或缩小
    • 定积分定义
      • 【标志：分子分母同量级】
  • n项连乘的数列极限
    • 整体取对数化为n项和
    • 夹逼定理
  • 🤡递推关系
    • 数列{Xn}具有 单调性
      • • 1、单调 2、有界就行 3、令极限
    • 数列{Xn}不具有 单调性
      • 💔
        • 不断递推、放大 直至等于0
      • 本质是夹逼准则，涉及不等式，压缩常数r的确定，往往需要用放缩法，需要储备常见的不等式
    • 递推函数求导/作差判断单调性+归纳法求边界， 确定做题方法
  • 单调有界数列 收敛定理
    • 证明单调
      • 基本方法 1、作差 2、作商
        • • 用Xn表示Xn+1，计算 作差和作商可相互转化
      • 递推函数法
        • • 求导判断f(x)
          • f(x)视为坐标轴，Xn视为函数
      • 拉格朗日中值定理法
        • 递推式出现g(A)-g(B)时，可以用拉格朗日中值定理处理
    • 证明有界
      • 基本不等式
      • 数学归纳法（主要）
        • ⭐第一归纳法用于Dn和Dn-1的关系 第二归纳法用于Dn，Dn-1，Dn-2的关系
      • 直接看出
    • 根据题目条件，推出单调有界
• 😊由极限值确定 函数中的参数
  • 若极限存在，分子极限为0(∞)，则分母极限一定是0(∞)
  • 各个击破
    • 方法：将参数a/b分离至等式一边
  • 例
  • 常用
• 😊无穷小的比较与阶确定
  • 无穷小阶的比较
  • 利用无穷小阶的运算性质
    • n阶无穷小乘以常数，仍然为n阶无穷小
    • n阶无穷小乘以m阶无穷小，为m+n阶无穷小
      • n阶无穷小除以m阶无穷小，为n-m阶无穷小
    • n＞m，两个无穷小的和为m阶（取决于小阶的那个）
      • 若n=m，两个无穷小和的阶大于等于m
      • 而无穷大则取决于大阶的那个
    • 两个同阶无穷小的和是高于或等于n阶的（有些被省略了，泰勒公式）
  • 1、洛必达法则(求导定阶)
  • 2、利用等价无穷小
    • 0-0型
      • 提公因式
  • 3、泰勒公式
  • 4、待定阶数法
  • 5、变上限积分的阶
    • 若上下极限均为函数，从0分段
• 😊连续
  • 函数的连续性与 间断点类型
    • 💔先找出可能 间断点
      • 带有绝对值
      • 分段函数
      • 💔分子、分母为0或∞的点
      • 💔若极限中有x以外的参数，需要先计算出来
    • 讨论间断点的 极限值
      • 若能够约分，则不用计算两边极限
      • 若是分段函数或不能约分(如e)，则分左右极限计算
      • 若计算完一边是无穷，则不用算另一边，直接判断该点为无穷间断点
      • 分段函数，注意表达式中有隐藏的间断点
    • 注意tanx，sinx做分母的时候
      • tanx的情况
        • • 若分子带有x
            • x=0要单独讨论
      • sinx的情况
        • • 若分子带有x
            • x=0要单独讨论
• 👿介值定理、最值定理及零点定理的证明题
• 综合题
  • 被求函数未知
• 题意条件联系
  • • 没有关于导数的信息在里面，作用只能是在所求式子洛必达的时候，把f(x)换掉（可能因为f(x)不可导）
  • • e一定大于0，所以a的取值范围为大于或等于0
  • • 外面如果还有一层x，那就是错的，不满足极限运算法则
  • 递推函数求极限中，若左边的系数等于右边的分母幂指数
    • 则要联想到算术平均数不小于几何平均数
  • x趋向于无穷时，要想使用保号性
    • 得使用极限定义来说明
  • 分子分母都有绝对值符号，分子且为变限积分
    • 可利用分子，把分母绝对值去掉（通常为除）
      • 然后分子利用变限积分性质，去掉分子绝对值
        • 就可以不用分两边算极限
  • 分子分母都带有f(x)，明确是要用导数定义求极限
    • 分子分母同除x^n
  • 看到向上或向下取整，联系到夹逼

导数

• 一元函数的导数与微分
  • 导数概念
    • 导数的定义
      • • 常以定义法的形式做题
      • 导数是曲线在一点处切线的斜率（tanα）
    • 导函数定义
    • 左右导数
      • 左导数
      • 右导数
    • 可导
      • • 左右导数存在且相等
    • 几何意义
      • 斜率
    • 力学意义
      • 一阶导数是质点作直线运动的速度
      • 二阶导数是质点直线运动的加速度
    • Tips
      • 一点邻域内函数相等，则该点导数相等
  • 微分概念
    • 可微的定义
      • 微分是曲线在一点处切线相对应自变量增量的纵坐标的增量
    • 微分的几何意义
      • 以直代曲
  • 可微、可导及连续
    • 总结
      • 区别
    • Tips
      • f(x)可导与f(x)连续可导是不同的概念
        • f(x)可导即f(x)处处有导数
        • f(x)连续可导即f'(x)为连续函数
  • 二阶导数及其高阶导数
    • f(x)的导数f'(x)仍是x的函数
  • 奇偶函数与周期函数的导数性质
    • 求导后奇偶性发生改变（奇函数变偶函数，偶函数变奇函数）
    • 求导后周期性不变
• 导数的几何意义
  • 切线和法线
    • 显函数或隐函数
      • 切线方程
      • 💔💔法线方程
      • 当导数无穷时，切线方程为x=x0
    • 参数方程
      • 直接求导
        • 切线方程
        • 法线方程
    • 极坐标方程
      • 💔转换为参数方程求导
  • 用导数描述某些物理量
• 导数表与导数 四则运算
  • 导数表
  • 导数、微分四则运算法则
  • 复合函数的微分法则
• 综合题
  • 真题15-21

微分中值定理及其应用

• 微分中值定理及其作用
  • 微分中值定理及其几何意义
    • 费马定理及其几何意义
      • 注意
      • 几何意义
    • 罗尔定理及其几何意义
      • 几何意义
        • 曲线在A，B间至少存在一点使得曲线在P处的切线平行于x轴
    • 拉格朗日中值定理及其几何意义
      • 等价形式
      • 几何意义
      • 证明函数
    • 柯西中值定理
      • 证明函数
    • 泰勒中值定理
      • 💔
    • 中值定理的几个推广形式
      • 导数零点定理
      • 导数介值定理
    • 四大中值定理关系
  • 微分中值定理的重要作用
    • 建立了函数增量、自变量增量、导数之间联系，是研究函数性质的重要工具
      • 尤其是拉格朗日中值定理，联系了泰勒公式及微分定理、凹凸性定义等
• 利用导数研究函数的性态
  • 函数为常数的条件与 函数恒等式的证明
    • 函数为常数的充要条件
    • 两个函数差为常数的条件
    • 两个函数恒等的条件
  • 函数单调性 充要判别法
    • 函数单调性判别定理 及其几何意义
    • 单调区间求法
      • 写出f(x)的定义域范围
      • 求出f(x)的驻点及不可导点(导数为0和不存在)
      • 由小到大将定义域分成若干互不相交的子区间
      • 讨论f'(x)在每个子区间内的符号
  • 极值点
    • 极值的定义
      • 端点处不可能取极值
    • 极值点的必要条件
      • 由必要性可知，导数为0或不存在的点，不一定就是极值点！！！
        • 举例：对于无穷的情况，函数有尖角
        • 举例：对于导数为0的情况，函数始终递增（某一点邻域为0而已，总体上升）
    • 极值点的 充分条件
      • 第一充分判别
      • 第二充分判别
      • 泰勒公式判别法
        • • 佩亚诺余项证明
      • 奇次导为零，偶次导判
    • 函数f(x)的极值一般求法
      • 写出f(x)的定义域范围
      • 求出f(x)的驻点及不可导点(导数为0和不存在)
      • 考察这些点两侧附件f‘(x)的符号
        • 由极限第一充分判别定理得出结论
      • 当二阶导数好求时
        • 用极值第二充分判别定理得出结论
      • 扩展：隐函数的情况
        • 两边同时求导
        • 令导数=0，求出x与y的关系式，代入原函数得出x和y的值
        • 因为导函数带有y，无法观察x=0的点左右正负号，因此求二阶导数，代入x y y‘的值，看正负
        • 用极限第二充分判别定理得出结论
  • 拐点
    • 凹向的定义
      • 定义一
      • 定义二
      • 几何意义
    • 拐点的定义
    • 拐点的必要条件
    • 拐点的 充分条件
      • • 证明
      • 泰勒公式判别法
      • 偶次导为零，奇次导判
    • 曲线y=f(x)的拐点的求法
      • 求出f''(x)=0的点及f''(x)不存在的f(x)的连续点
      • 考察这些点两侧近处f''(x)的符号来判断
      • 当f'''(x)好求，且f'''(x)在这些点不为0时也可以判断
    • 函数f(x)的凹凸性区间的求法
      • 写出f(x)的定义域范围
      • 求出f''(x)=0的根及f''(x)不存在的f(x)的连续点
      • 用上述各点由小到大划分定义域
      • 讨论f''(x)在每个子区间的符号
  • 最大值与最小值问题
    • [a,b]上连续函数f(x)的最值问题
      • 求驻点和不可导点
      • 算出f(x)在所有驻点、不可导点和端点a、b的函数值
      • 比较上述各函数值
    • 唯一的极值就是最值
    • 若求解方程内未知量，对方程变形移除未知量，简化计算
  • 渐近线
    • 水平渐近线
      • • 最多两条
    • 💔铅直渐近线
      • • 最多无数条
    • 💔💔斜渐近线
    • 斜渐近线存在时，水平渐近线也可能存在
      • 当斜是趋向于正无穷，水平是趋向于负无穷
  • 作图
    • 求f(x)的定义域、间断点
    • 考察函数f(x)的特性，如奇偶性、周期性等
    • 求一阶导数f'(x)，并求出f'(x)=0和不存在的点
    • 求二阶导数f''(x)，并求出f''(x)=0和不存在的点
    • 列表，用第三步和第四步求出的点划分区间，表明各子区间的f'(x)，f''(x)符号
    • 确定函数单调性与极值点、拐点及凹凸性
    • 求出渐近线
    • 确定曲线上的特殊点
    • 绘图
    • 概要
      • 注意：能化简应先化简
  • 平面曲线的曲率
    • 曲率的计算公式
      • 直角坐标
      • 参数方程
    • 曲率半径
      • • 圆的曲率半径就是圆的半径

导数题型总结

• 补充
  • 一元函数乘积的可导性
  • 一元函数复合的可导性
• 😁导数与微分的概念
  • 利用导数定义 求极限
    • • 若有变量替换， 注意替换前后是否可导与连续
        • 区别
      • 设满足题目条件的f(x)，代入求解
  • 利用导数定义 求导数
    • 分段函数
      • 做这一类题目，先证明函数在分界点连续，方便后面计算
      • 分段函数分界点 处的导数
        • 定义法（通法）
        • 分段点连续
    • 其他函数
  • 💔💔👿利用导数定义 判定可导性
    • 定义研究可导性 三个条件
      • 保两侧
        • • 如1-cosx就不行
      • 不能跨
        • • 除非题意指明导数存在
      • 阶相同
    • • 设f(x)连续
        • 若f(a)不等于0
          • • |f(x)|在x=a处可导
          • 充分必要条件
        • 若f(a)=0
          • • |f(x)|在x=a处可导
            • 充分必要条件
          • • |f(x)|在x=a处不可导
    • 常用结论
• 😁导数与微分计算
  • 初等函数的求导法
    • 利用基本初等函数导数表、四则运算法则、复合函数求导法可求任意初等函数的导数
    • Tips
      • 即使不是分段函数，有时也要用定义法求导
        • 因为有些函数求导完会有间断点，在该点处应该用定义法算
      • 乘积中某个因子在某点处不可导，但乘积在该点处也可能求导
  • 复合函数求导
    • 链式求导（内外存在）
    • 复合后，定义求导
  • 隐函数
    • 两边同时对x求导
      • 在求导过程中，始终把另一变量(如y)视为x的函数，等号两边对x求导
    • Tips
      • 求导过程中尽量化简结果，特别是求二阶导数时
        • 利用原方程化简
      • 若题意是求一点处的导数
        • 先代入x=a，求得y
        • 算完一阶导数表达式后代入x和y的值，求得y'
  • 反函数的求导法
  • 参数方程
    • • 💔💔
    • 极坐标转为参数形式计算
  • 对数求导法
    • 对于幂指函数，连乘、连除，开方、乘方等形式的函数
  • 变限积分
    • 💔
    • • 分解因式+换元u=(x,t)消除x
    • • • 积分内x视为常数，积分外x视为函数变量
• 😁n阶导数
  • 分解
    • 通过恒等变形将要求n阶导数的函数分解成上述简单初等函数之和
    • 分类
      • 有理函数与无理函数的分解
      • 三角函数的分解
        • 利用三角函数恒等式及有关公式
          • 降幂公式
  • 归纳法
    • 先依次求出y=f(x)的前几阶导数的表达式，由此观察出规律性 （有时还需适当变形）
      • 适合未给出函数表达式的题目
      • 要把题目给出的条件带回去！！！！！！！
  • 公式法
    • 公式
    • 莱布尼兹法则
      • 👿
      • 拆分看待是重点
  • 泰勒公式
• 😁函数的 形态
  • 一元函数的最值问题
    • 函数型的最值问题
    • 应用型的最值问题
      • 把实际问题提成最值问题
      • 求导解最值问题
  • 为简化计算考虑它的等价问题
    • 如带根号的开个平方等
    • 取分母单独计算，颠倒最小最大值问题
    • 去除不涉及变量的子式
  • 填空题技巧
    • 画草图
    • 利用函数奇偶性简化计算
    • 设复合所有题意条件的函数
    • 代特殊值
  • 带有参数的方程根的问题，首先将参数分离出来，给求解带来方便
• 👌💔💔💔💔 相关变化率问题
  • 建立被求量与因变量的关系式，然后等式两边对t求导
    • 列写给定的条件的dx/dt,dy/dt,列写因变量z=f(x,y)，代值求dz/dt
• • 常用泰勒公式
  • 若x未知且题意要求绝对值
    • 相加减，然后对比大小来分类讨论
  • 若x已知
    • 两个泰勒公式不相加减，直接按区间划分来分类讨论
• 🤡方程的根的存在性及个数
  • 👿存在性
    • 零点定理（左右异号则有零点）
      • 导数不易求，用零点定理
    • 罗尔定理
      • 导数易求，用罗尔
      • 方法
        • 令被证明函数为f(x)≡F'(x)
        • 证明F(x)有两个区间I两端值相等，则区间I内至少有一点f(ξ)=0
    • 设问：证必有实根=至少存在一个实根
  • 👿根的个数
    • 单调性
      • 🚑令f(x)
        • 求f(x)导数为0根及不可导点，求出f(x)的极值点与极值
      • 求出y=f(x)定义域两侧的变化趋势，从而求出零点个数
    • 罗尔定理推论
      • 方法
        • 有驻点
          • 求一阶导
          • 找出所有驻点
          • 根据驻点划分区间I1、I2、I3....，在区间内选⭐合适的点利用零点定理+单调性（左右异号，必有零点）
        • 无驻点
          • 一般还会有至少几个实根的条件（零点定理）
          • 注意为区间I，而非定义域
      • • 罗尔定理
    • Tips:
      • 当方程含有未知数时，移项前看看能不能弄好酸一点
      • 💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限
      • 💔边算边画个，避免落下条件
• 🤡不等式证明
  • 定义域
  • 单调性
    • 🚑令F(x)
      • 全移到一边，作差后求导判断
        • 大减小；避免除法运算；指数——>ln对数；若有a,b将b——>x ⭐有时需要根据题目要求，做适当变形与简化便于求导和判断正负号
    • 💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限
    • 单增+左端点≥0⇨F(x)＞0 【一般f‘(x)≠0，f’‘(x)≠0】 ⭐若有部分参数＞0的条件，不等式一般需要可化简
  • 最值
    • 作差后函数不具有单调性（存在f‘(x)=0），且二阶导大于或小于0 ==>最值
    • 证明最大值比M还大，证明最小值比m还小
  • 中值定理
    • 出现f，f'
    • 不等式一边往往剩下常数，需要利用最值证明不等式
  • 泰勒公式
    • 在提供信息最多的点用泰勒
  • 凹凸性
    • • 可得f(x)<0
    • 有时候f''(x)>0要自己算出来
    • 推广
      • • 证明
• 🤮微分中值定理证明
  • • 构造辅助函数使用罗尔定理
  • • 有三点
    • • 用积分中值定理（推广形式）
      • 罗尔定理
  • 待证结论中只有一个中值，不含其他字母
    • 还原法
      • 直接看出辅助函数
        • • 右端移到左边，若左端为某个函数的导数，则验证F(x)满足罗尔的条件
      • 构造辅助函数
    • 分组构造法
      • 直接看出辅助函数
    • 凑微法
    • 双层级罗尔定理
      • 由于缺少两点相等，结论可能无法直接一步求出
      • 构造一个中间的辅助函数，其导数为下一层辅助函数的一部分！！！！！
  • • • • 关于a和b的式子不对等
    • • 凑微法
  • 结论中含两个或两个以上中值的问题
    • • 找出三个点，两次使用L
    • • 先将复杂项取出
      • 观察复杂项
        • 若是某函数的导数，则使用L
        • 若是两函数导数之商，则使用柯西
    • 结论中有b-a，很可能是一次L一次柯西
    • 结论中没有b-a，很可能是两次L，也可能是两次柯西
  • • 用到的公式
    • Notes
      • • 一般会使用泰勒公式展开，相加减然后使用导数定义求解
  • 拉格朗日中值定理的两种惯性思维
    • 出现f(b)-f(a)
    • 出现三点
    • 出现f(x)与f'(x)的关系式
      • 也有可能使用牛顿莱布尼兹公式
  • 泰勒公式的常规证明问题
    • 判断依据
    • • 与一阶导数相关的点
      • 题意条件在区间内部的特殊点
      • 函数极值点
      • 区间中点
      • 其它
    • • 与函数值相关的点
      • 区间的端点
      • 其它
    • 展开后常需要相加减，需根据题意条件判断
  • 二阶导数保号性问题
• 题意条件
  • 出现f(a)=bf(c)+df(e)
    • 介值定理
  • • 原理是极限的保号性，对其中一个导数用定义展开就可以得到了
  • 证明函数恒等于0
    • 利用最大值M
  • • 找函数值为0的点，与a、b两点用拉格朗日，然后加绝对值取小于等于号，然后两式相加
  • • 两次L+一次L
  • 结论中含有几阶导数，泰勒就开到几阶！！！！！！！！！！！！
    • 确定使用泰勒公式，然后一定得看结论是几阶
  • 没有出现一阶导数
  • • 高阶导数也有介值定理！
  • • 试着对泰勒公式两边积分，将原问题进行转化
  • 证明函数有且只有一个零点或根的时候
  • 求函数零点的两个很好的例子
  • 断点为0 1，结论中含有a b，且是双中值问题
  • 若题意出现一阶和二阶导数都等于0，这时候要有意识用泰勒公式
  • 出现多个f(表达式)的加减不等式，且题意给出二阶导数大于0
    • 用泰勒公式，视不等号的方向进行选择x和x0
  • • 两边同除以x，算微分方程，求出f(x)

一元函数积分

• 概念、性质与基本定理
  • 不定积分
    • 原函数与不定积分的定义
    • 原函数与不定积分的关系
      • • 表明不定积分由所有原函数组成，原函数之间差一个积分常数C
    • 原函数存在性
      • • 有原函数的条件是原函数的导数f(x)处处存在，即f(x)连续
      • 变限积分虽然肯定是连续的，但不是原函数
    • 原函数的有关问题
      • 💔不定积分与变限定积分的关系
      • 初等函数的原函数
        • 初等函数在定义域区间上连续，则一定存在原函数，但原函数不一定是初等函数（积分不出来）
      • 常见不可积函数
    • 求不定积分与求微分(导数)的关系——互为逆运算
      • • 注意两者差别，先求导后积分是有C的
    • 不定积分的简单性质
      • • 可积+不可积=不可积
  • 定积分
    • 定积分的定义
      • 定义
      • 图形表示
      • 注意
        • 定积分存在时，其值只与被积函数及积分区间有关，而与被积变量用什么字母无关
    • 定积分的几何意义
      • 💔表示介于x轴，曲线y=f(x)与直线x=a, x=b之间各部分面积的代数和（⭐即有正有负）
        • 若f(x)＞0，积分=面积前提是a＞b，即由左向右积分
    • 可积性
      • 可积的必要条件
        • • 可积必然连续
      • 可积的充分条件
      • 改变有限个点的函数值不改变其可积性与积分值
    • 基本性质
      • 积分限对调
      • 线性性质
      • 对区间的可加性质
        • • 这里的c也可以在[a,b]外
      • 比较定理
        • 推论一
        • 推论二
        • 介值定理
        • 柯西不等式
      • 积分中值定理
        • 基本形式
        • 推广形式
        • 广义形式
      • 牛顿-莱布尼兹公式
        • 推论一
        • 推论二
        • 推论三
  • 利用定积分求某些n项和式数列的极限
    • • 取右端点高
    • • 取左端点高
• 基本积分表
  • 额外补充
    • • • 若为无穷区间上的反常积分，则发散
• 变上限积分
  • 定理
  • F(x)连续性
  • 💔F(x)可导性
  • F(x)变上限积分求导
    • 💔
    • • 分解因式+换元u=(x,t)消除x 💔积分三大件都需要更换
    • • • 积分内x视为常数，积分外x视为函数变量
• 反常积分的计算
  • 无穷区间上的 反常积分
    • 极限都存在才收敛
  • 无穷区间上的 反常积分判别法
    • 找g(x)的两个方向： (1)、等价无穷小直接化简为P积分 (2)、通过常用结论反向凑能使λ存在的P积分
  • 无界函数的 反常积分
  • 无界函数的 反常积分判别法
    • • 瑕点考察单边
  • 伽马函数
    • 特例
  • 💔几个常见的反常积分
    • • 真题13-4
  • 敛散性判别方法
    • 法一：定义法，直接积分后极限是否存在
    • 法二：p积分
      • 属于p积分或变量代换化成p积分
    • 法三：比较法的极限形式
      • 和熟悉的p积分比较
    • 仅通过被积函数 就可判断
    • 备注：判别时要求每个积分有且仅有一个奇点——分段判别
    • 1、容易积分的，直接积分，牛顿莱布尼茨看极限 2、属于P积分或能通过等价、配方转换为P积分的，用P积分直接判 3、以上两种情况以外，采用比较判别法的极限形式 4、形式复杂多个瑕点，通过瑕点分段挨个判断，选取合适方法
  • 极限存在或换元消去
  • 反常积分的牛顿莱布尼兹公式
  • 反常积分的运算法则
    • ⭐注意结论成立的条件！！！ F(x)需要收
• 积分学应用的基本方法——微元分析法

一元函数积分题型总结

• 不定积分的计算
  • 三种方法
    • 第一换元积分法（凑微分法）
      • 常见的凑微分法
    • 第二换元积分法
      • 最终结果，需要还原回原变量
    • 分部积分法（反对幂指三）
  • 三类积分
    • 💔💔有理函数不定积分的计算
      • 假分式
        • 化为多项式+真分式
      • 真分式
        • 能因式分解
          • 待定系数法+赋值法，转为多个分式之和
        • 不能因式分解
          • 分子为常数
            • 配方法+凑微分法
          • 分子不为常数
            • 分子拆成：分母的原函数+常数
      • 分式分解的 基本原则
        • Tips
        • 💔分子x的次幂只和次有关,重数不升幂
    • 简单无理函数的积分
      • • 直接变量替换
        • 根号下x为一次
      • • 三角换元
          • 根号下x为二次
    • 👿三角有理函数积分
      • 一般方法
      • 特殊方法（三角变形，换元，分部）
        • • sin的奇函数凑dcosx cos的奇函数凑dsinx sin，cos的偶函数凑dtanx
  • 基本积分表
    • 额外补充
      • • • 若为无穷区间上的反常积分，则发散
  • 💔💔计算结果不要丢C
• 常用变量替换
  • 💔三角替换
  • 幂函数替换
  • 指数函数替换
  • 倒替换
• 技巧总结
  • 💔
    • 然后列出方程组，解出AB的值
    • 只有cos或者sinx也可以用
  • 当三角函数角度不统一时，一般先统一角度
  • 利用定积分几何意义快速求解定积分
• 定积分的计算
  • 牛顿-莱布尼兹公式 (凑微分法)
  • 换元积分法
    • 注意
      • 直接计算，不用再还原到原变量计算
        • 💔换元三大件，函数、微元、上下限
  • 概要
    • 凑微分不用改变积分上下限
      • 凑微分+常数，不改变积分上下限
    • 换元需要改变积分上下限
      • 凑微分后再换元，不改变x与t的对应关系
  • 👿保持区间的 变量代换
    • • 💔常用于被积函数不易求出的定积分的计算中
    • 例
  • 分部积分法
    • 定积分的分部积分法
    • 分部积分的优先次序
      • 反对幂指三
        • 谁先出现就作u(x)，后出现就做v'(x)
    • 👿换元后就是天然的分部
      • 凑微分后就是天然的分部
  • 利用奇偶性、周期性
    • • 当a=∞或其他参数时，F(x)收敛，奇偶性才成立
  • 利用三角积分公式
    • 💔
  • 分段函数求定积分
    • • 弄清积分限与分段函数的分界点之间的关键位置关系，以便对定积分进行正确分段
      • 被积函数中有绝对值、平方根，要去掉绝对值化为不含绝对值的分段函数，进行计算
      • 被积函数在积分限内有界但有不可取的点，分段，并取间断点的左右极限进行计算
      • 被积函数在积分限内无界，则不可积
      • 例
      • 积分前要留意一下！！！！
• 🤡证明积分 不等式
  • 函数比大小
    • 单调性+比较定理
      • 若函数区间均为正
    • 定积分分段，变量替换至正区间
      • 若函数有负积分区间
    • 几何意义
  • 估计积分值
    • 常见的不等式
  • 👿证明
    • 变量代换
    • 积分中值定理
      • 能不能用，用了再说
    • 变上限积分
      • 🚑令F(x)
        • • 如，F(a)=0，F‘(x)单调增 ==> F(b)≥0
        • ⭐有时需要根据题目条件，做适当变形与简化便于计算
    • 柯西不等式
• 😁几何应用
  • 合理利用几何意义
    • 💔通过对被积函数图像拼接拆分、平移，简化计算
  • 平面图形的面积
    • 直角坐标
      • • Y型用二重积分
    • 参数坐标
      • • 💔上下限为t的
    • 极坐标
  • 旋转体体积
    • 旋转体的体积
      • 绕x轴旋转
        • • 绕y=a旋转，a＞y
      • 绕y轴旋转
        • • 绕x=a旋转，a＞x
      • 绕x、y轴旋转的简单曲线套公式，其余用二重积分 ⭐灵活使用，复杂单一曲线函数，使用平移特性，移动至x、y轴积分 ⭐简单函数拼接，使用二重积分
    • 平面截面已知
  • 弧微分和弧长
    • 直角坐标
      • 弧微分
      • 弧长
    • 参数方程
      • 弧微分
      • 弧长
    • 极坐标
      • 弧微分
      • 弧长
  • 💔绕x轴旋转 旋转面的侧面积
    • 直角坐标
    • 参数方程
    • 极坐标
    • 即函数y×2π，对弧长积分
      • 圆周长×弧长
  • 质心（形心）
    • 均匀密度ρ=1的平面图形的质心（形心）
      • 坐标轴乘面积，再除面积
    • 均匀线密度ρ=1的平面曲线的质心(形心)
    • 转动惯量
• 👌物理应用
  • 利用定积分求液体静压力
    • 以薄板面积S(x)微元
  • 利用定积分求功
    • 物体运动做功
      • 以功W微元
    • 液体全部抽出做功
      • • 注意两种坐标轴 的差异
      • 以水的体积V(x)微元
        • 图一
          • 图二
    • 物体提出水面
      • 当切面是矩形时，以最上面的边设置坐标轴
      • 当切面是圆时，以圆心的水平线设置坐标轴
        • • 球顶部碰水
    • 拉漏斗问题
  • 利用定积分求引力
    • 质点与细杆间的引力
      • 图
      • 以杆的质量m2微元
    • 细杆与细杆间的引力
      • 图
    • 圆环与质点之间的引力
      • 图
    • 圆盘与质点之间的引力
      • 图
    • 如果题意有关于引力分量被抵消，需要留意一下
• 题意条件
  • • 手法漂亮的一塔附图呀
    • 这样做就不会错误地使用反常积分的分部积分法
  • • 通常是保留分母的根号
  • • 前半部分用凑微分法
    • 后半部分用sinx换元

微分方程

• 基本概念
  • 常微分方程
    • 含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程
  • 线性微分方程与非线性微分方程
    • 未知函数和它的各阶导数都是一次方，就称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程
  • 微分方程的阶
    • 未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶
  • 微分方程的解
    • 若把某函数及其导数代入微分方程能够使该方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解
  • 微分方程的通解和特解
    • 通解
      • 含有与微分方程阶数相同的独立任意常数的解
    • 特解
      • 不含任意常数或任意常数确定后的解
    • 通解为所有解 特解为有初始条件的唯一解，若无初始条件特解为无穷个
  • 微分方程的初始条件
    • 能确定通解的任意常数的条件称为定解条件，其中初始条件是最常见的形式
  • 微分方程的初值问题
    • n阶微分方程和它的初始条件组成一个定解问题，称为n阶微分方程的初值问题（带条件，解出结果即为特解）
  • 积分曲线
    • 方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线
• 😁n阶微分方程解的性质与结构
  • • （2）的通解即为所有解
  • • 齐解+非齐解=非齐解
  • 💔
    • 非齐解-非齐解=齐解
  • • 部分解之和=所有解
  • 💔💔
  • 💔💔
  • 线性无关与线性相关
    • 线性相关
    • 线性无关
• 😁一阶微分方程
  • 💔💔
    • • 先换元，再分离变量
  • 💔💔
    • • 只要不含无理常数因子，就可以不加绝对值
  • 💔💔
  • • • 谁的次数低就把谁放在分母
  • 变量代换
    • 复合函数，x、y均为非简单幂函数
  • 注意
    • 在变量可分离的方程和齐次方程（统称非线性）中，通解是部分解，因此不考虑分母为0的情况
    • 在线性方程中，通解就是所有解，因此要分类讨论分母=0的情况
    • C的问题
      • 若C取得到0，其实就不用考虑分母为0了，因为C取0就行
• 😁可降价的高阶 微分方程
  • • n次积分
  • • • 先换元，再分离变量
  • 💔
    • • 含有y'^2
      • 先换元，再分离变量
• 由自变量增量与因变量增量间的关系给出的一阶方程
• • 求导定义
• 😁二阶和高阶常系数齐次线性微分方程
  • 二阶常系数齐次线性方程
    • 通解的形式
      • 通解看特征根 根据初值定任意数
  • n阶常系数齐次线性方程
    • 通解的形式
    • 通解的形式
    • 一般是求不出三阶的，所以题意给出的通常是特殊形式
• 😁二阶常系数非齐次线性微分方程
  • 特解看特征根与微分方程等号后区别 仅乘x需要判断，其余为照抄
• 😁综合题
  • 含变限积分方程的求解
    • • 若是求特解，则将x=a获得的初始条件代入
      • 两边求导，转化为求解相应的微分方程的通解或特解
    • 部分步骤借鉴变限积分求导的三种类型
  • 讲义P138例4、5
  • 已知微分方程的解，求微分方程
    • 根据解的结构
  • 已知微分方程和他的部分解，求解中的未知函数
    • 解代入微分方程
  • 求齐次线性微分方程解的极限
    • 不需要将C1、C2求出来，直接求极限
  • 已知两个微分方程组求通解
    • 联立求解
• 👌微分方程应用
  • 2019、20220、2021均有出题
  • 利用定积分列方程
    • 利用定积分的几何意义或物理意义，常常得到⭐变限积分方程或微分方程，然后再求解（求导）
  • 利用导数的几何意义列方程
    • 💔利用法线和切线、曲率进行列方程
    • 设切点为x和y就行
  • 利用变化率满足的条件列方程
  • 利用牛顿第二 定律列方程
    • 两种情况
  • 利用微元分析法或相应的 变限积分法列方程
    • 例子
  • 质点运动的轨迹方程
  • ⭐标志：有初值，有变化量
• 题意条件
  • 初值问题在计算完成后就代入求出C，尤其是高阶微分方程，因为有两步，第一步求出后就代入
  • 解的性质的易错点

多元函数微分学

• 👿概念
  • 概念
    • 多元函数的定义
    • 二元函数的几何意义
      • 三维空间的曲面
    • 一元函数与多元函数
      • 一元函数是多元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自变量固定，二元函数就转化为一元函数
      • 一元函数中，自变量x代表直线上的点，只有两个变动方向，而二元函数自变量(x,y)代表平面上的点，有无数个变动方向
  • 极限
    • 定义
      • 定义
      • 注意
      • 极限与无穷小的关系
    • 二元一元极限 存在性区别
      • 一元函数
        • 左右极限存在且相等
      • 二元函数
        • 在定义域内沿任何路径以任何方式（非直线）趋于P时，均有极限存在且相等
    • 💔重极限运算方法
      • 利用极限性质（基本不等式，四则运算法则，⭐取绝对值夹逼原理<左边常大于或等于0>）
      • 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）
      • 无穷小量与有界变量之积为无穷小量
      • y=kx变量替换法转化为一元函数的极限
        • 变量替换法
      • ⭐一般，多元无穷小运算同一元，高次幂÷低次=0。 <———初步判断提供思路 ⭐分子分母同次用判断法，分子分母不同次数用重极限运算
    • 证明极限不存在
      • 用于存在判定， 需要多换几个路径
    • 区别证明存在与求极限方法
    • 做题步骤
      • 首先使用带绝对值的放大缩小法看看能不能证明极限为0
      • 若不能，则改用y=kx代入计算一下，看看有没有保留k
      • 若保留k，则改用其它曲线的路径计算
  • 连续性
    • 定义
      • 二元函数一点极限值存在且等于该点函数值，则在该点连续，若在定义域D上每一点连续，则称在D上连续
    • 定义区域上连续
      • 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍连续
      • 基本初等函数、初等函数在定义区域上是连续的
    • 二元连续函数的性质
      • 局部保号
        • 最大最小值
          • 介值定理
            • 有界定理
  • 偏导数
    • 定义
      • 注意
        • 由定义可以看出偏导数本质上是一元函数的导数（另一个变量视为常数）
    • 偏导数的几何意义
      • 图形
        • 偏导数f'x(x0，y0)
          • 偏导数f'y(x0，y0)
    • 💔证明可偏导
      • • 左右导数是否存在且相等
    • 高阶偏导数
  • 全微分
    • 定义
    • 💔证明可微
      • 即对求重极限和判断极限存在的应用
  • 💔偏导数连续判断
  • 连续性、可微性、 可偏导
    • • 判断题，可由连续——>偏导连续， 存在连续可导选项时，可先求偏导连续——>连续
  • 抽象函数用特定函数法
• 😁求偏导与全微分
  • 函数一点处
    • 注意(先代后求)
      • • 高阶导在n-1阶， 才能先代后求
    • 先代后求
  • 已知具体表达式 (多元复合函数求导)
    • 多元函数与一元函数的复合
    • 多元函数与多元函数的复合
    • 链式求导
    • 全微分形式不变性
    • 注意
      • 若偏导结果中出现与原函数一致的部分，需化简
  • 💔已知偏导或全微分 求原函数
    • 偏积分，设φ(x)或φ(y)
      • 抓住一个重点，其余函数作为条件
    • 凑微分
    • 二阶偏导数连续==>二阶混合偏导相等
  • 求带抽象函数的复合函数
    • 复合函数求导+数状图划分变量对应关系
      • 注意区别
        • ......由方程F(x，y，z)所确定
        • 方程F(x，y，z)可确定.......
        • 起到确定作用的是被求函数 ⭐不要怂，看懂题意先算为敬
    • 💔看不出对谁求偏导情况
      • 给定条件是谁，先对谁求导。一般最终能将给定条件代入
    • 含变限积分方程的求解
      • 换元或合并同类项，变限积分求导
  • 隐函数
    • 二元隐函数求导法 z=(x,y)
      • 方法
      • 示例
        • • x以外的所有变量看作常数，包括含有x的因变量
        • • x以外的因变量看作函数(如z)，自变量看作常数(如y), 含有x的因变量，链式求导
        • • 所有变量都看作自变量
        • ⭐抽象函数用公式 简单函数两边直接求导
          • 注意区分这三种方法中z分别被看作什么？
    • 由方程组确定的隐函数求导法
      • 由方程组确定的一元隐函数求导法（两个一元） u=u(x)，v=v(x)
      • 由方程组确定的二元隐函数求导法（两个二元） u=u(x,y)，v=v(x,y)
        • 克莱姆法则
      • 数二不要求
• 多元函数为常数的条件
• 😁极值
  • 极值及驻点
  • 💔无条件极值
    • 必要条件
      • 偏导数的极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
    • 充分条件
      • • 双大为极小
    • 注意
      • 二元函数在区域D有唯一的极值点，若是极小(大)值点，不一定是最小(大)点，需进一步和边界上的点进行比较
      • 边界上的点有无限多个，所以要选用特殊点进行比较，如有角度的点
  • 求二元函数无条件极值
  • 条件极值
    • 拉格朗日乘数法
    • 注意：拉格朗日乘数法是条件极值的必要条件
• 😁最值
  • 连续函数在有界 闭区域最值
    • 几何意义
      • 特征
        • 边界、被积函数都简单
          • 本质是，在约束条件的范围内找目标函数的最大值
    • 边界简单——> 无条件极值
      • 特征
        • 边界函数简单（如二元）
    • 拉格朗日乘数法
      • 💔
      • 简化技巧
        • 若约束条件是函数部分式子的解，可以直接代入
      • 可先用驻点做基本判断
  • 条件最值
    • 拉格朗日乘数法
  • 👌应用题 （最值问题）
    • 分析出目标函数
    • 目标函数简化
    • ⭐标志：为两个函数，函数（1）在条件【函数(2)】下的最值
  • • 注意
      • 判别条件极值时千万不能用无条件极值常用的方法来判别
      • 求解条件极值的应用问题时，常可从问题的实际意义知道所求最大值或最小值存在，若只有一个驻点，则可断言所求的最大值或最小值就在这个驻点取到
• 题意条件

二重积分

• 概念与性质
  • 定义
    • 面——>体
    • 和式极限
    • 定积分存在时，其值只与被积函数及积分区间有关，而与被积变量用什么字母无关
      • 定积分就是一个常数
  • 几何意义
    • 曲顶柱体
    • 密度不均匀的薄片的重量
  • 性质
    • 被积函数可加性
    • 对区域的可加性质
      • 💔
    • 比较定理
      • 特别的
        • 介值定理
    • 积分中值定理
    • 连续非负函数的积分性质
• 直角坐标系
  • x型
    • 后积决定型
  • y型
  • 特殊情形
    • 积分区域固定（a,b,α,β为常数），积分次序可以交换
    • 两边互不含对方的变量，分开计算
  • 注意
    • 定义域的写法：什么型就先写谁
• 直角坐标与极坐标选取
  • 直角坐标系
    • 利用对称性和奇偶性求二重积分
    • 二重积分表达式中若含偏导数，则用分部积分
  • 极坐标系
  • 以被积函数为主要考虑
• 极坐标系
  • 情形一
    • 取θ上限到下限，积分上限或下限不能有第二种表达式，否者要分段
  • 情形二
  • 情形三
  • 示例
    • 💔
    • 星形线
    • 💔摆线
    • 参数方程
    • 双扭线
    • 心形线
    • 极坐标
  • 💔
• 😁对称区域的二重积分
  • 对称区域上奇偶函数 的二重积分
    • 若积分区间D关于x轴对称
      • • 💔y=0也为偶函数
    • 若积分区间D关于y轴对称
      • • 💔x=0也为偶函数
    • 若积分区间D关于原点对称
    • 若积分区间D关于x=a对称
    • 先判D对称性，对称轴左右判（被积函数）奇偶 💔💔⭐关于y轴对称，判x奇偶，y视为常数；拆项判断，如x(x+y)=2x²，x+y=2y 💔⭐极坐标函数换至直角坐标，判断对称性
  • 变量的轮换对称性
• 😁计算二重积分
  • 奇偶性
  • 轮换对称性
  • 交换积分次序
  • 合理利用几何关系
    • 积分域拼接或分割
      • • 一种思路：红色字体
          • 关于原点对称，补齐缺的那一小块，使得积分区域变为-1<x<1, 0<y<1
        • 一种思路：蓝色字体
      • 在同一被积函数下
  • 平移变换
    • 直角坐标平移
      • 利用奇偶性和对称性
    • 极坐标平移
  • 💔
    • 具体函数： 二重积分 + 交换积分次序
    • f(x)原函数易求，或g(y)为抽象： 分部积分法
      • 二重积分表达式中若含偏导数，则用分部积分
  • 质心形心
    • 用于计算x或y的简单二重积分
  • 全平面问题
    • 被积函数的定义域构成了积分区域D
  • 分段函数问题
    • 被积函数分段
      • 根据积分区域将被积函数分段去绝对值，不分段无法积分
      • 被积函数对积分域分段，代值确定正负
    • 积分域分段
      • 根据被积函数将积分域分段去绝对值，不分段无法表达出积分上下限
  • 最值函数问题
• 😁交换积分顺序计算累次积分
  • 选择积分顺序
    • 被积函数较复杂时，优先看被积函数决定
    • 可观察积分区域，观察什么型计算方便
  • 情形
    • 单纯改变积分次序
    • 积分次序不正确，导致无法计算，需要改变积分次序
    • 积分方法不正确，需要改变积分法
  • 解题步骤
    • 由累次积分的上下限给出积分域所满足的不等式组
    • 画出积分域的草图
    • 给出新的累次积分的上下限
    • 注意积分上下限改变是否会引入负号
  • 极坐标交换 积分次序
  • 💔参数方程交换积分次序
• 😁积分不等式
  • 💔积分域相同，比较被积函数
    • 被积函数想同，比较积分域
      • 积分域大小结合函数增减性
• 😁综合题
  • 带变限积分
    • 变积分限的函数求导一般需要改变积分次序
      • 因为一次积分后含有x（变限积分被积函数不能含有x）
  • 极限题
    • 求二重积分的极限，一般用积分中值定理
    • 和式极限
• 积分区域D类别
  • 直角坐标方程
• 题意条件
  • 平移变换的精辟用法
  • 平移变换也不一定是和极坐标法一起用，也可以用来利用对称性消除项

目录

• 常用公式
  • 初等代数
    • 💔
      • • 开方注意加绝对值，平方注意增值
    • 💔
    • 💔
    • 💔
    • 💔
    • • 椭圆面积=πab
  • 常用不等式
  • 💔常见奇函数
  • 常见偶函数
  • 常见不可积函数
  • 常见反常积分
    • • 真题13-4
    • 伽马函数
  • 常用无穷大比较
  • 基本极限
    • • • 指数函数，对数函数
  • 等价无穷小
    • • 1的无穷大次幂
  • 常用麦克劳林
    • 💔💔偶函数的泰勒展开式只有偶次，奇函数只有奇数
    • 对于n！，e^x，sinx，cosx最乖； 对于-1，sinx，cosx很善变； ⭐展开式认为首项n=0，第二项n=1以此类推
  • 微分表
    • • 背弦、切、割的导数，负号跟着函数的“余🐟”走 反正弦=-反余弦；反正切=-反余割
  • 求导
    • 💔反函数的求导法
      • 看清x，y的位置
    • 参数方程
      • • 💔💔💔
      • 极坐标转为参数形式计算
  • n阶导
    • 💔
  • 👌💔💔💔💔 相关变化率问题
    • 建立被求量与因变量的关系式，然后等式两边对t求导
      • 列写给定的条件的dx/dt,dy/dt,列写因变量z=f(x,y)，代值求dz/dt
  • 基本积分表
    • • 背弦、切、割积分，负号跟着结果的“余🐟”走 5.(5)(6) x²-a²，a²-x²前都有💔1/2a，前者分子为x-a，后者分母=a-x 结合5.（2）（7）（8）背（9）（10）（11） 5.(5)(6)是5.(4)的延伸 5.(7)(8)是5.(2)的延伸 💔ln不要忘记绝对值
    • 额外补充
      • • 💔
      • • • 若为无穷区间上的反常积分，则发散
      • • 奇1偶π
      • 💔
    • 👿三角有理函数积分
      • 一般方法
      • 💔特殊方法（三角变形，换元，分部）
        • • sin的奇函数凑dcosx cos的奇函数凑dsinx sin，cos的偶函数凑dtanx
  • 弧微分和弧长
    • 曲率
      • 定义
      • 💔💔💔直角坐标
      • 💔💔参数方程
      • 曲率半径
        • • 圆的曲率半径就是圆的半径
      • 推导
    • 直角坐标
      • 弧微分
      • 弧长
    • 参数方程
      • 弧微分
      • 弧长
    • 极坐标
      • 弧微分
      • 💔弧长
  • 💔证明可微
    • 即对求重极限和判断极限存在的应用
  • 微分方程
    • 通解的形式 （二阶）
      • 通解看特征根 根据初值定任意数
    • 通解的形式 （高阶）💔
    • 💔💔
      • 特解看特征根与α与β区别 ⭐x的次数取决于特征根的重数 仅乘x需要判断，其余为照抄
  • 泰勒中值定理
    • 💔
  • 💔💔👿利用导数定义 判定可导性
    • 定义研究可导性 三个条件
      • 保两侧
        • • 如1-cosx就不行
      • 不能跨
        • • 除非题意指明导数存在
      • 阶相同
    • • 设f(x)连续
        • 若f(a)不等于0
          • • |f(x)|在x=a处可导
          • 充分必要条件
        • 若f(a)=0
          • • |f(x)|在x=a处可导
            • 充分必要条件
          • • |f(x)|在x=a处不可导
    • 常用结论
  • F(x)变上限积分求导
    • 💔
    • • 分解因式+换元u=(x,t)消除x 💔积分三大件都需要更换
    • • • 积分内x视为常数，积分外x视为函数变量
  • 分式分解的 基本原则
    • Tips
    • 💔分子x的次幂只和次有关,重数不升幂
  • 💔
    • 然后列出方程组，解出AB的值
    • 只有cos或者sinx也可以用
  • 👿保持区间的 变量代换
    • • 💔常用于被积函数不易求出的定积分的计算中
    • 例
  • 😁一阶微分方程
    • 💔💔💔💔
      • • 先换元，再分离变量
    • 💔💔
      • • 只要不含无理常数因子，就可以不加绝对值
    • 💔💔
    • • • 谁的次数低就把谁放在分母
    • 变量代换
      • 复合函数，x、y均为非简单幂函数
• 标记使用规范
  • 注意事项及归纳技巧
  • 重点注意
  • 进行中
  • 没听过，看不懂
  • 有易错易混点
  • 👿难点
  • 😁必须掌握的题型
  • ⭐重点注意
  • 💔瞎过！
  • ※经典题型
  • 👌应用题
• 总结
  • 未知函数，可用特值/特殊函数法
    • 多元函数的抽象函数用设特定函数法
  • 一元函数善用几何关系
  • 不容易积分的，试试保持区间的变量代换
  • 积分求原函数最难，真正的难题很难凑，因此反而会在题目中留有蛛丝马迹
  • 证明题的第二问会用第一问的结论
    • 第二问先将所有已知条件写出来
  • 不会的题写思路、过程和概念，不能空
    • 会的题，必检查，不会的早放弃
  • 证明题，先做差
• 极限
• 极限题型总结
• 导数
• 微分中值定理及其应用
• 导数题型总结
• 一元函数积分概念、计算及应用
• 一元函数积分题型总结
• 微分方程
• 多元函数微分学
• 二重积分
  • 被积函数相当一元函数，积分区域D相当一元函数定义域

证明

• 😊数列极限
  • 🤡递推关系
    • 数列{Xn}具有 单调性
      • • 1、单调 2、有界就行 3、令极限
    • 数列{Xn}不具有 单调性
      • 💔
        • 不断递推、放大 直至等于0
      • 本质是夹逼准则，涉及不等式，压缩常数r的确定，往往需要用放缩法，需要储备常见的不等式
    • 递推函数求导/作差判断单调性+归纳法求边界， 确定做题方法
  • 单调有界数列 收敛定理
    • 证明单调
      • 基本方法 1、作差 2、作商
        • • 用Xn表示Xn+1，计算 作差和作商可相互转化
      • 递推函数法
        • • 求导判断f(x)
          • f(x)视为坐标轴，Xn视为函数
      • 拉格朗日中值定理法
        • 递推式出现g(A)-g(B)时，可以用拉格朗日中值定理处理
    • 证明有界
      • 基本不等式
      • 数学归纳法（主要）
        • ⭐第一归纳法用于Dn和Dn-1的关系 第二归纳法用于Dn，Dn-1，Dn-2的关系
      • 直接看出
    • 根据题目条件，推出单调有界
• 🤡方程的根的存在性及个数
  • 👿存在性
    • 零点定理（左右异号则有零点）
      • 积分不易求，用零点定理
    • 罗尔定理
      • 积分易求，用罗尔
      • 方法
        • 令被证明函数为f(x)≡F'(x)
        • 证明F(x)有两个区间I两端值相等，则区间I内至少有一点f(ξ)=0
    • 设问：证必有实根=至少存在一个实根
  • 👿根的个数
    • 单调性
      • 🚑令f(x)
        • 求f(x)导数为0根及不可导点，求出f(x)的极值点与极值
      • 求出y=f(x)定义域两侧的变化趋势，从而求出零点个数
    • 罗尔定理推论
      • 方法
        • 有驻点
          • 求一阶导
          • 找出所有驻点
          • 根据驻点划分区间I1、I2、I3....，在区间内选⭐合适的点利用零点定理+单调性（左右异号，必有零点）
        • 无驻点
          • 一般还会有至少几个实根的条件（零点定理）
          • 注意为区间I，而非定义域
      • • 罗尔定理
    • Tips:
      • 当方程含有未知数时，移项前看看能不能弄好酸一点
      • 💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限
      • 💔边算边画个，避免落下条件
• 🤡不等式证明
  • 定义域
  • 单调性
    • 🚑令F(x)
      • 全移到一边，作差后求导判断
        • 大减小；避免除法运算；指数——>ln对数；若有a,b将b——>x ⭐有时需要根据题目要求，做适当变形与简化便于求导和判断正负号
    • 💔求出所有f(x)=0，f’(x)=0，f’‘(x)=0......，有时需要求极限
    • 单增+左端点≥0⇨F(x)＞0 【一般f‘(x)≠0，f’‘(x)≠0】 ⭐若有部分参数＞0的条件，不等式一般需要可化简
  • 最值
    • 作差后函数不具有单调性（存在f‘(x)=0），且二阶导大于或小于0 ==>最值
    • 证明最大值比M还大，证明最小值比m还小
  • 中值定理
    • 出现f，f'
    • 不等式一边往往剩下常数，需要利用最值证明不等式
  • 泰勒公式
    • 在提供信息最多的点用泰勒
  • 凹凸性
    • • 可得f(x)<0
    • 有时候f''(x)>0要自己算出来
    • 推广
      • • 证明
• 🤡证明积分 不等式
  • 变量代换
  • 积分中值定理
    • 能不能用，用了再说
  • 变上限积分
    • 🚑令F(x)
      • • 如，F(a)=0，F‘(x)单调增 ==> F(b)≥0
      • ⭐有时需要根据题目条件，做适当变形与简化便于计算
  • 柯西不等式