几何法解空间角（一）

几何法解空间角（一）思维导图：包含已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).等等

几何法解空间角一

• 线线角
  • 定义
    • 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
  • 范围
    • 设θ为异面直线a与b所成的角，则θ的取值范围是(0°，90°]
  • 步骤
    • 平移
      • 选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
        • 直接平移法
        • 中位线平移法
        • 补形平移法
    • 证明
      • 证明所作的角是异面直线所成的角．
    • 寻找
      • 在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
    • 取舍
      • 因为异面直线所成角的取值范围是(0°，90°]
• 线面角
  • 有关概念
    • 图形
    • 射影
      • 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
    • 斜足
      • 斜线和平面的交点A叫做斜足
    • 斜线
      • 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
  • 线面角
    • 定义
      • 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
    • 图形
    • 规定
      • 一条直线垂直于平面，所成的角是90°；
      • 一条直线和平面平行，或在平面内，所成的角是0°
    • 范围
      • 0°≤θ≤90°
    • 求解
      • 垂线法求线面角（也称直接法）
        • 先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O
        • 连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角
        • 把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）
      • 图示
      • 公式法求线面角（也称等体积法）
        • 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。