矩阵及其运算

关于矩阵及其运算的思维导图，包含线性方程组和矩阵：m行n列→m*n矩阵 是一个表格，同型矩阵:两个矩阵行数相等，列数相等。

矩阵及其运算

• 线性方程组和矩阵
  • m行n列→m*n矩阵 是一个表格
  • 分类:
    • n阶方阵:行数等于列数
    • 行矩阵:只有一行
    • 列矩阵:只有一列
    • 同型矩阵:两个矩阵行数相等，列数相等
    • 零矩阵:元素都是0（零矩阵不一定相等
    • 系数矩阵
    • 未知数矩阵
    • 常数项矩阵
    • 增广矩阵
    • 对角矩阵:对角线以外的元素都是0 diag（x1,x2....）
      • 逆矩阵＝对角线各元素取倒数
      • n次方＝对角线各元素的n次方
      • 乘法:对应元素相乘，满足交换律
    • 单位阵E:对角线上的元素都是1，其他元素都是0
    • 对称矩阵:元素以对角线为对称轴对应相等
• 矩阵的运算
  • 加减法
    • 两个同型矩阵对应相加减（满足交换律，分配律，结合律）
  • 数乘
    • 公因数k是所有元素的（满足交换律，分配律 结合律）
  • 乘法
    • AB＝[aij]m*sX[bij]s*n＝C＝[cij]m*n
    • 注意
      • A矩阵的列＝B矩阵的行，才能相乘
      • 相乘再相加:第一行*第一列，各元素对应相乘相加
      • 乘法没有交换律，但对角矩阵可以满足
      • 两个非零矩阵相乘也可能等于0矩阵
      • 不能随意约分,AB＝AC不一定能推出B＝C和A＝0
      • 乘法满足结合律和分配律
        • AB（C）＝A（BC）
        • λ（AB）＝（λA）B＝A（λB）
        • A(B+C)＝AB+AC
  • 转置
    • 行列互换
    • (Aᵀ）ᵀ＝A
    • （A+B）ᵀ＝Aᵀ+Bᵀ
    • (λA)ᵀ＝λAᵀ
    • （AB)ᵀ＝BᵀAᵀ
  • α，β都是列向量
    • 列*行＝矩阵
    • 行*列＝数
  • 方阵的行列式
    • ｜Aᵀ｜＝｜A｜
    • ｜λA｜＝λⁿ｜A｜ 
    • ｜AB｜＝｜A｜｜B｜
  • 拉普拉斯法则｜AB｜＝｜A｜｜B｜
• 逆矩阵
  • 伴随矩阵
    • 由A的行列式的所有的代数余子式构成的矩阵，记作A*
    • AA*＝A*A＝｜A｜E
    • （A*)⁻¹=（A⁻¹）*
    • A*＝｜A｜A⁻¹
    • (kA）*＝kⁿ⁻¹A*
    • ｜A*｜=｜A｜ⁿ⁻¹
    • （A*）*=｜A｜ⁿ⁻²A
    • （A*）ᵀ=（Aᵀ）*
  • 可逆矩阵
    • 概念
      • A是n阶矩阵，使得AB=BA=E，则A是可逆的，B是A的逆矩阵
    • 重要定理
      • 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
      • A可逆⇔｜A｜≠0
      • 若A和B是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E或A⁻¹=B
    • 逆矩阵的运算规律
      • A可逆，则A⁻¹可逆
        • （A⁻¹）⁻¹=A
      • A可逆，数λ≠0，则λA可逆
        • （kA）⁻¹=1/K*A⁻¹
      • 若A，B同阶且可逆，则AB也可逆
        • （AB）⁻¹=B⁻¹A⁻¹
      • A可逆，则Aᵀ可逆
        • （Aᵀ）⁻¹=（A⁻¹）ᵀ
      • （A²）⁻¹=（A⁻¹）²
      • ｜A⁻¹｜=1/｜A｜
    • 求逆矩阵
      • 定义:AB=E
      • 公式:A⁻¹=A*/｜A｜
      • 初等行变换:（A｜E）→（E｜A⁻¹）
      • 分块矩阵
    • A的多项式
      • 如果A=PΛP⁻¹，则Aᴷ=PΛᴷP⁻¹
      • 如果Λ=diag（λ1，λ2...λn为对角矩阵，Aᴷ=（λ1ᴷ，λ2ᴷ...λnᴷ
• 克拉默法则
  • 若非齐次线性方程组系数行列式不为0，则方程组有唯一解
    • x₁=｜A₁｜/｜A｜....
  • 若齐次方程组系数行列式不为0，则方程有唯一零解
  • 若齐次方程组有非零解，充要条件为其系数行列式值为0