统计学刘扬毛炳寰

参数估计与假设检验方差分析非参数检验：方差分析中的假设条件与检验方法：可以通过观察数据的直方图、Q-Q图来判断，也有一些统计检验方法，例如K-S检验等。

《统计学》

• (1) 第四章 参数估计与假设检验
  • 一、 参数估计
    • 1. 参数估计的基本概念
      • 参数估计是指利用样本信息对总体数字特征做出的估计
      • 参数估计
        • 点估计
          • (1) 点估计是指根据样本数据对总体未知参数的一个估计值
          • (2) 对总体参数进行估计的方法有多种，如矩估计法和最大似然法，不同的方法得到的估计量（样本统计量）不是唯一的。（也就是说，参数是唯一的，但可以有多个不同的统计量。）
          • (3) 估计量的评价准则
            • 无偏性：估计量的数学期望与总体参数的真实值相等
            • 有效性：在两个估计量中方差较小的估计量较为有效，方差越小越有效。
            • 一致性：随着样本容量的增大，估计量的取值应该越来越接近总体参数
          • (4) 样本的随机性决定了估计结果的随机性
        • 区间估计
          • 区间估计的方法则以概率为基础，在点估计的基础上给出了一个置信区间，并给出了这一置信区间包含总体真值的概率，比点估计提供了更多的信息。
          • 区间估计中，置信度为100（1-α）%的含义是：根据不同样本得到的所有置信区间中，有100（1-α）%的区间包括总体参数的真实值。
    • 2. 抽样分布
      • 抽样分布是指统计量的概率分布，是区间估计和假设检验的基本依据
      • 抽样分布是统计量的分布而不是总体和样本的分布，其形状和参数可能完全不同于总体和样本分布。
      • 统计量的标准差被称为标准误
    • 3. 总体均值和比例的区间估计
      • 单个总体均值的区间估计（置信度为1-α）
      • 总体比例的区间估计（置信度为1-α）
      • 不重复抽样的情况下，
    • 4. 样本容量的计算
      • 关于抽样误差的几个概念
        • (1) 实际抽样误差：样本估计值与总体真实值之间的绝对离差，用公式表示为
          • 实际抽样误差是不可知的，是一个随机变量
        • (2) 抽样平均误差：反映了所有可能样本的估计值与相应总体参数的平均误差程度
          • "抽样调查中可以对抽样误差进行控制“指的是抽样平均误差 影响抽样平均误差的因素包括：总体内部的差异程度，样本容量的大小，以及抽样方法
        • (3) 最大允许误差
          • 最大允许误差也称抽样极限误差，用E来表示，
      • 样本容量的计算
        • (1) 必要样本容量的影响因素
          • 1| 总体标准差。总体变异程度越大，必要的样本容量越大。
          • 2| 最大允许误差。最大允许误差越大，需要的样本容量越小。
          • 3| 置信度1-α。要求的置信度越高，需要的样本容量越大。
          • 4| 抽样方式不同，必要样本容量也不同。
        • (2) 简单随机抽样，重复抽样：
        • (3) 简单随机抽样，不重复抽样：
          • 不重复抽样时的必要样本容量小于重复抽样的情况
  • 二、 假设检验
    • 1. 假设检验的基本原理
      • (1) 基本原理：小概率事件在一次实验中几乎不会发生。 假设检验采用反证法的思想
      • (2) 基本概念
        • 假设检验的步骤
          • 1| 提出原假设和备择假设
            • 双侧检验：
            • 左侧检验：
            • 右侧检验：
            • 原假设和备择假设互斥，等号必须放在原假设
          • 2| 构造检验统计量，确认其在零假设成立时的分布
          • 3| 根据样本计算检验统计量的值
            • 可以拒绝零假设的检验统计量的取值的合集称为拒绝域， 不能拒绝零假设的检验统计量的取值的合集称为接受域， 划分拒绝域与接受域的数值称为临界值。
          • 4| 计算p值，并与给定的显著性水平α比较
            • p值是在零假设成立的条件下，出现检验统计量样本观测值或更极端结果的概率，也称为观测到的显著性水平，是拒绝零假设的α的最小值
          • 5| 下结论
            • p<α，拒绝原假设
            • p≥α，不能拒绝原假设
        • 假设检验中的两类错误
          • 第一类错误（拒真错误）
          • 第二类错误（取伪错误）
          • 通常来说，要减小一种错误的概率，就要增大另一种错误的概率。 允许犯第一类错误的概率α称为显著性水平。
    • 2. 常用假设检验的方法
      • (1) 单样本t检验
        • 要求是大样本或者总体服从正态分布
      • (2) 匹配样本的t检验
        • 两个样本中的数据有一一对应的关系
          • 两个样本对应数据相减，得到新的变量d
      • (3) 两个独立样本t检验
        • 要求两个样本数据是大样本或者来自正态总体
          • 方差是否相等的Levene检验（F检验）
            • 等方差的t检验
            • 不等方差的t检验
• (2) 第五章 方差分析（ANOVA）
  • 一、 方差分析的基本概念与假设
    • 1. 基本概念
      • (1) 方差分析（ANOVA），一般用来分析一个定量因变量与一个或几个定性自变量（因素）之间的关系，它可以对多个总体的均值是否相等进行整体分析。
      • (2) 在方差分析中，自变量被称为因素；因素的不同表现，也就是自变量的不同取值称为因素的水平。只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分析；如果同时研究多个因素对因变量的影响，则称为多因素方差分析。
      • (3) 方差分析模型
        • 固定效应模型
          • 本章用固定效应模型
        • 随机效应模型
    • 2. 方差分析中的基本假设与检验
      • (1) 基本假设
        • 1| 在各个总体中的因变量都服从正态分布
        • 2| 在各个总体中的因变量的方差都相等
        • 3| 各个观测值之间是相互独立的
      • (2) 方差分析中的假设条件与检验方法
        • 1| 正态性检验
          • 可以通过观察数据的直方图、Q-Q图来判断，也有一些统计检验方法，例如K-S检验等。
            • Q-Q图：以实际值为横坐标，正态分布的分位数为纵坐标作散点图，如果图形中的点大致在一条线上则说明数据服从正态分布。
          • 正态性检验不是对数据整体分布的检验，而是对按因素水平分组后各组数据的检验。
        • 2| 方差齐性检验
          • 对总体方差是否相等的检验称为方差齐性检验
          • 各组数据的标准差，最大值与最小值的比例小于2:1
          • 各组数据的方差，最大值与最小值的比例小于4:1
          • Levene检验是一种更为正式的检测方法
        • 3| 如果数据严重偏离了前两个假设条件，使用方差分析时需要先对数据进行数学变换，例如取对数、开方等，也可以使用非参数的方法。
  • 二、 单因素方差分析
    • 1. 数据结构和模型
      • 假设：研究的因素为因素A，共有r个水平，每个水平的样本容量为m,共有n=rm个观测值
      • 任何一个样本数据都包括了三部分因素的影响：总体平均水平的影响、因素水平的影响、随机因素的影响。
    • 2. 方差分析的基本原理
      • 总离差平方和SST,也称总变异
      • 组间离差平方和SSA，也称解释的变异
      • 组内离差平方和SSE
      • SST=SSA+SSE n-1=(r-1)+(n-r)
    • 3. 方差分析的步骤
      • (1) 检验数据是否符合方差分析的条件
      • (2) 提出零假设和备择假设
      • (3) 根据样本计算F统计量的值和p值
      • (4) 根据决策规则得出结论
        • 不能拒绝原假设
        • 拒绝原假设
          • 至少有两个总体的均值有显著差异
            • 事后检验
              • Fisher最小显著差异（LSD)
                • 如果0包含在置信区间内，不能拒绝零假设。
• (3) 第六章 非参数检验
  • 一、 非参数检验概述
    • 1. 非参数检验也称为与总体分布无关的检验，检验中不需要对总体分布的具体形式做出严格假设，或者只需要很弱的假设
    • 2. 相对参数检验，非参数检验的特点
      • (1) 不需要严格的假设条件，使用范围广。
      • (2) 非参数检验可以处理包括定类数据和定序数据在内的所有类型数据， 而参数检验只能用于定量数据的分析。
      • (3) 在参数检验和非参数检验都适用的情况下，非参数检验的功效要小于参数检验。
    • 3. 主要使用场合
      • (1) 参数检验不适用时
      • (2) 涉及到定类或定序数据
      • (3) 检验对象不涉及参数
      • (4) 对各种资料初步分析
  • 二、 单样本的非参数检验
    • 1. x²拟合优度检验
      • 定性数据
      • (1)
      • (2) 观察频数与期望频数越接近，则x²值越小
    • 2. 单样本K-S检验
      • 定量数据
      • 基本原理：经验分布函数是理论分布函数的一致估计
      • 提出原假设和备择假设
        • :样本数据来自某个理论分布
        • :样本数据不来自某个理论分布
    • 如果是小样本，则需要求软件输出精确检验的p值
    • 3. 单样本中位数的符号检验
      • 在非正态、小样本的情况下，如果要对总体分布的位置进行推断，t检验不在使用，可以使用非参数方法对总体的中位数进行统计推断
      • 在数据呈（严重）偏态分布的情况下，应该使用总体中位数刻画总体分布的位置
      • 检验步骤
        • (1) 提出原假设和备择假设
        • (2) 做决策
          • 1|
          • 2|
        • (3) 下结论
  • 三、 匹配样本的非参数检验
    • 对应数据相减得到新的序列
      • 服从正态分布
        • 匹配样本t检验
      • 不服从正态分布
        • 匹配样本非参数检验
          • 符号检验
          • Wilcoxon符号秩检验
            • (1) 提出假设
              • :差值总体的中位数=0
              • ：差值总体的中位数≠0
            • (2) 做决策
              • 算出差值绝对值的秩
                • 将|z|从小到大排序，其位次就是|z|的秩，等于零的不参与排序。 数据中有相同的数值则称为结，结中数字的秩为排序后它们所占位置的平均值
              • 分别算出差值序列中正数的秩和及负数的秩和，分别记为
              • 建立统计量W，计算p值
                • 双侧检验中的p值=2P
                • 双侧检验：
                • 左侧检验
                • 右侧检验
            • (3) 下结论
• 注意：参数检验与非参数检验的零假设和备择假设是有区别的
• 既考虑了差值的符号，又考虑了差值的大小； 在所需条件（连续对称分布）满足时其功效比符号检验高
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