线性代数1、2章

这是一篇关于线性代数1、2章的思维导图，主要内容有1对角线法则(只用于2,3阶行列式)(略)、2全排列和对换、3n阶行列式定义等。

第一章 行列式

• 1对角线法则（只用于2,3阶行列式）(略)
• 2全排列和对换
  • 逆序数为奇数叫奇排列，偶数叫偶排列
  • 定理1：一个排列中任意两元素对换，排列改变奇偶性
  • 推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数；（偶）~偶
• 3n阶行列式定义
  • n阶行列式，记作det（aij）
  • 上三角行列式（主对角线往元素下全是0），对角行列式=对角线元素相乘
  • 反上三角行列式（副对角线往下全是0），反三角行列式计算：
• 4行列式性质
  • 行列式与它的转置行列式相等|A|T=|A|
  • 对换行列式的两行（两列），行列式变号（正负）
  • 如果行列式两行或两列完全相同或成比例，则此行列式=0
  • 行列式A的某行（列）乘以K等于K|A| 与矩阵区分
  • 把行列式的某行（列）乘以某个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变
• 5行列式展开
  • 注意区分Aij（代数余子式）和Mij（余子式）
  • 行列式展开法则计算：
  • 范德蒙德行列式：
    • 例题
  • 行列式计算技巧方法：
    • 化三角法
    • 降阶法
      • 例题
    • 赶鸭子法
    • 爪行法/三线形
    • 分块计算法
      • 例题
    • 递推法
      • 例题
    • 加边法
• 例题

第二章 矩阵及其运算

• 矩阵的定义
  • 行数等于列数等于n 叫n阶方阵
  • 行数和列数都相等的矩阵叫同型矩阵
  • 元素全为0的矩阵叫零矩阵
  • 对角矩阵：除了主对角线上，其余元素都是0的矩阵
• 矩阵运算
  • 加减法
    • A+B=B+A （只有同型矩阵才可以相加）
    • (A+B)+C=A+(B+C)
    • 负矩阵-A A+(-A)=0
    • A-B=A+(-B)
  • 数与矩阵乘法
    • （xy)A=x(yA）
    • (x+y)A=xA+yA
    • x(A+B)=xA+xB
  • 矩阵与矩阵乘法
    • 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时才可以相乘
      • 即一般情况AB≠BA
    • 两个n阶矩阵A、B，若AB=BA，则称A与B是可交换的
      • AB=0不能得出A=0或B=0
      • A≠0而A(X-Y)=0也不能得出X=Y
    • (AB)C=A(BC)
    • x(AB)=(xA)B=A(xB) x为数
    • A(B+C)=AB+AC , (B+C)A=BA+CA 注意左右顺序不能换
    • 纯量阵
    • 矩阵的幂：
  • 矩阵转置
    • 运算规律
    • 对称矩阵：元素以对角线为对称轴对应相等 aij=aji
  • 方阵行列式
    • 记作|A|或detA
      • |AT|=|A|
      • |xA|=x^n |A|
      • |AB|=|A||B|
      • 对于n阶矩阵A、B，一般AB≠BA但总有|AB|=|BA|
      • 伴随矩阵（按行求按列放）
• 逆矩阵
  • AB=BA=E 则称A是可逆的，B是A的逆矩阵
  • 若A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的 证：B,C都是A的逆矩阵，则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
  • 若A是可逆的则 |A|≠0
  • 当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵 即可逆矩阵就是非奇异矩阵
  • 逆矩阵运算规律
  • 逆矩阵的初步应用
    • 矩阵多项式
• 克拉默法则（求方程组未知数）
  • Aj（j=1，2...n)是把系数矩阵A中第j列用右端常数项代替所得的矩阵
  • 逆矩阵法求未知数
    • 例
• 矩阵分块
  • • 例
• 逆矩阵例题
  • 对角矩阵的逆矩阵为对角线元素的倒数
  • 求逆矩阵
  • 求逆矩阵