线性代数3、4章

大学线性代数，同济大学数学系第六版，第三第四章知识梳理，部分例题。包括：矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

• 矩阵的初等变换
  • 初等行变换
    • 对换两行（对换i，j两行）记作ri←→rj）
      • 行列式要变号：A→B；|A|=-|B|
    • 以数K≠0乘以某行中的所有元（第i行乘以k，记作ri×k）
      • 行列式：A→B ； K|A|=B
    • 把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj
      • 行列式不变
  • 初等矩阵：对单位矩阵E作一次初等变换得到的矩阵，每一个初等变换都对应一个初等矩阵
    • 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
  • 阶梯形矩阵、行最简形概念
    • 行阶梯形判断
  • 左乘E行变，右乘E列变 ，如：AE(2,(3))即矩阵A的第二列元素乘以3，其他不变； E(i，j)A即矩阵A第 i行和第j列调换； E(ij(k)A即矩阵A第j行成k加到第i行
• 矩阵的秩
  • A~B，则A与B中的非零子式的最高阶数相等；即R(A)=R(B)
  • 秩即最高阶非零子式
    • 例
  • 若可逆矩阵P、Q使PAQ=B，则R(A)=R(B)
  • 矩阵的秩的性质
    • P、Q可逆： R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)
    • max{R(A),R(B)}<=R(A,B)<=R(A)+R(B); 特别的，但B=b为非零列向量时，有：R(A)<=R(A,b)<=R(A)+1
    • R(A+B)<=R(A)+R(B)
    • R(AB)<=min{R(A),R(B)}
    • 设AB=0，若A为列满秩矩阵，则B=0
• 线性方程组的解
  • n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n
  • 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件R(A)=R(A,b)
    • 例
  • 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=(A,B)
  • 设AB=C则R(C)<=min{R(A),R(B)}

第四章 向量组的线性相关性

• 1向量组及其线性组合（定理）
  • • 例
  • • • 例
  • 能互相表示说明秩相等
    • 例
  • B能有A表示说明A的秩大
• 2向量组的线性相关性
  • 1.线性相关的充分必要条件:构成的矩阵的秩小于列数 2.满秩线性无关
    • 例
  • 综合例
• 3向量组的秩
  • 最大无关组的个数就是秩
  • 矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩
• 5向量空间
  • 基就是最大无关组，维数就是秩
• 4线性方程组的解的结构
  • • 例
  • （5）的解
  • 基础解系的构造方法
  • 求基础解系和通解