导图社区 线性代数3、4章
大学线性代数,同济大学数学系第六版,第三第四章知识梳理,部分例题。包括:矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解。
法律既可以保护人们的权益同时也约束着每个人,计分与罚款是小事,但当出现意外时就已为时已晚,学的驾照并不是万事大吉而应遵纪守法
这是一篇关于线性代数1、2章的思维导图,主要内容有1对角线法则(只用于2,3阶行列式)(略)、2全排列和对换、3n阶行列式定义等。
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
初等行变换
对换两行(对换i,j两行)记作ri←→rj)
行列式要变号:A→B;|A|=-|B|
以数K≠0乘以某行中的所有元(第i行乘以k,记作ri×k)
行列式:A→B ; K|A|=B
把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj
行列式不变
初等矩阵:对单位矩阵E作一次初等变换得到的矩阵,每一个初等变换都对应一个初等矩阵
初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
阶梯形矩阵、行最简形概念
行阶梯形判断
左乘E行变,右乘E列变 ,如:AE(2,(3))即矩阵A的第二列元素乘以3,其他不变; E(i,j)A即矩阵A第 i行和第j列调换; E(ij(k)A即矩阵A第j行成k加到第i行
矩阵的秩
A~B,则A与B中的非零子式的最高阶数相等;即R(A)=R(B)
秩即最高阶非零子式
例
若可逆矩阵P、Q使PAQ=B,则R(A)=R(B)
矩阵的秩的性质
P、Q可逆: R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)
max{R(A),R(B)}<=R(A,B)<=R(A)+R(B); 特别的,但B=b为非零列向量时,有:R(A)<=R(A,b)<=R(A)+1
R(A+B)<=R(A)+R(B)
R(AB)<=min{R(A),R(B)}
设AB=0,若A为列满秩矩阵,则B=0
线性方程组的解
n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n
线性方程组Ax=b有解的充分必要条件R(A)=R(A,b)
矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=(A,B)
设AB=C则R(C)<=min{R(A),R(B)}
第四章 向量组的线性相关性
1向量组及其线性组合(定理)
能互相表示说明秩相等
B能有A表示说明A的秩大
2向量组的线性相关性
1.线性相关的充分必要条件:构成的矩阵的秩小于列数 2.满秩线性无关
综合例
3向量组的秩
最大无关组的个数就是秩
矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩
5向量空间
基就是最大无关组,维数就是秩
4线性方程组的解的结构
(5)的解
基础解系的构造方法
求基础解系和通解