积分等式与积分不等式

此篇导图主要与积分等式、积分不等式有关，其内容主要从函数、公式、积分法讲述每一部分，同时列举一些练习题供朋友们参考

积分等式与积分不等式

• 积分等式
  • 用中值定理
    • 推广的积分中值定理
      • 前提，f(x),g(x)在[a,b]上连续且g(x)不变号
      • 则∫a到bf(x)g(x)dx＝f(∮)∫a到bg(x)dx
        • 证明
          • 柯西中值定理
          • 介值定理和零点定理
  • 用夹逼准则
    • 积分保号性，只要不恒等，写严格小于号
    • 第一问与第二问综合考虑取极限
  • 用积分法
    • 先证明一个课本上没有的积分等式
    • 这就和绕着y轴转一样lsinxl
    • f(x)是连续的偶函数，且是以T为周期的周期函数
      • ∫0到nT xf(x)dx＝n2T/2∫0到Tf(x)dx
• 积分不等式
  • 用函数单调性
    • 当所给条件f(x)在[a,b]上连续时
      • 通常将某一积分限变量化，然后构造辅助函数
      • 再由辅助函数的单调性来证明不等式
  • 用拉格朗日中值定理
    • 条件：f(x)一阶可导且某一端点值较简单（甚至为零）
    • 闭区间连续函数必有界
  • 用泰勒公式
    • 条件：f(x)二阶可导且某一端点值较简单
  • 用积分法
    • 逆向思维
    • maxf(x)就是闭区间连续函数必然有界，界就是最大值
• 习题
  • 10.1
    • 遇到两个积分相加，两个积分都能用分部积分，可以只对一个用分部积分，另一个可能直接消去
  • 10.2
    • 遇到变限积分，看成一个整体
      • 用分部积分法，就可以实现求导
  • 10.3
    • 前后不统一，化成同一个
      • 积分中值定理
      • 常量积分
  • 积分等式，前后区间没变。用积分再现公式
  • 积分0到π xf(sinx)dx＝π/2积分0到π f(sinx)dx
  • 10.2定积分是一个数，把他看成A
  • 被积函数带导数或者带变限积分时，考虑分部积分
  • 10.4积分想到积分中值定理
    • 积分中值取值不写端点，写开区间。因为有的题闭区间不能做
  • 三个点。两两之前用拉格朗日中值定理
  • 10.6构造辅助函数时，定积分确定了的不用变，他是一个数
  • 10.7有一阶导，有端点为零
    • 拉
    • 牛莱
    • 分部积分
  • 10.8用牛莱公式
  • 10.9分布积分凑微分，凑变限积分的微分