一元函数微分学概念与计算

这是一篇关于一元函数微分学概念与计算的思维导图，主要内容有概念、导数与微分的计算、考题、1000题。

一元函数微分学的概念与计算

• 概念
  • 引例
    • 瞬时变化率
      • dA/dB叫A对B的瞬时变化率
    • 莱姆尼值
      • 切线的斜率
  • 导数的概念
    • 重要导数的两种表达方式
      • 增量式
      • 函数差值形式
        • 4.1
  • 导数等价的三种说法
    • y＝f(x)在点x0处可导
    • y＝f(x)在点x0处导数存在
    • f'（x0)＝A(A为有限数)
  • 函数f（x）在x0处可导的充分必要条件
    • 左导数和右导数均存在且相等
    • f'-(x0)＝f'+(x0）＝A
  • 导数不存在
    • 研究y＝lxl在x＝0处的切线问题
      • 尖点，折点处导数不存在
    • 研究y＝x的1/3次方
      • 无穷导数。导数不存在
  • 法线
    • 导数的负倒数
  • 高阶导数的概念
    • 增量式的广义化
  • 考题
    • 凑导数定义
      • 能拆是因为说了可导4.1分式，能拆开是拆开看看，拆开后极限存在则成立
      • 4.2，先换元，变简单，再求极限
        • 极限运算中
          • 及时提出极限不是零的因式
      • 不能拆，因为只说了连续4.3连续条件下的题型
        • 没有条件创造条件
          • 除一项乘一项
            • 4.11
        • 重要定理4.3
          • 设f(x)在x＝x0处连续且满足x趋于x0时，limf(x)/x-x0＝A，则f(x0)＝0，f'（x0）＝A
    • 导偶数次，奇偶性不变。导奇数次，奇偶性互换
      • 4.6
    • 关于求导以后奇偶性互换和求导后周期性不变的证明
      • 4.4和4.5
  • 微分学的概念
    • △y＝A△x+o(x)
    • A△x又称线性主部，也叫y的微分
    • A△x＝dy＝f′(x)△x＝f′（x）dx
      • △x＝dx
    • A＝f′(x)
      • 4.7 4.8
    • 可微必可导，可导必可微
    • 可微的判别
      • 极限高阶比△x＝0
        • 与多元函数一样
• 导数与微分的计算
  • 四则运算
    • 写出四则运算右边，推左边
      • 商的导数也是如此
    • 超过3个的式子相乘
      • 4.9
        • 100项相乘，转化为两项
  • 分段函数的导数
    • 在分段点用导数定义求导
      • 难点
    • 在非分段点用导数公式求导
    • lnlxl求导＝1/x
    • lnlg(x)l求导＝g′(x)/g(x)
    • a的x次方求导
      • a的x次方lna
    • a的u（x）次方求导
      • a的u(x)次方×lna×u′(x)
        • 4.12
  • 复合函数求导
    • 一程一程
    • 微分形式不变性
      • • df口＝f'(口)d口
    • 注意求导符号的位置
    • 注意观察，并非非得求出导数再带值
      • 4.14
  • 反函数求导
    • 设y＝f(x)可导，且f′（x）≠0
      • 则f'(x)必恒正或恒负
    • 设y＝f(x)连续，且f'（x）≠0
      • 则f(x)必恒正或恒负
    • 反函数的一阶导数
      • 反函数的导数＝原来函数导数的倒数
    • 反函数的二阶导数
      • Y′′xx＝-X′′yy/(X′y)3
      • X′′yy＝-Y′′xx/(Y′x)3
      • 与变现积分综合考题
        • 4.17反函数给的是y的值，要求出x才能带进去
    • 一定要注意求导时带的值是x，还是y
  • 参数方程求导
    • 参数方程的一阶导
    • 参数方程求二阶导数
      • 这个二阶导数和反函数的二阶导数都掌握的不好
  • 隐函数求导
    • y是x的函数
      • 两边直接求导
  • 对数求导法
    • 多项相乘，相除，开方，乘方时
      • 一般先取对数再求导
      • 取对数后，把对数上的指数提到前边来。
      • 取对数时，如果未指名范围，需要加绝对值
  • 幂指函数求导法
    • 先化成指数函数然后求导
      • 取对数是两边求导，而取指数是只求一边
    • y＝x的x次方
      • 图像，与图像求法，导数求法
    • y＝x的1/x次方
      • 图像，图像求法，导数求法
  • 高阶导数
    • a的x次方求n阶导
      • a的x次方×（lna）的n次方
    • 用归纳法
      • 8个n阶导公式
        • (xe的x次方)的n阶导数＝(x+n)e的x次方
    • 用高阶导数求导公式
      • 杨辉三角形
      • 类似二项展开式
    • 用泰勒公式🐻
      • 首先写出y＝f(x)的泰勒公式或者麦克劳林公式，再通过比较系数来获得f的n阶导(X0)
      • 1.任何一个无穷阶可导的函数都可以写成泰勒展开式和麦克劳林展开式
      • 2.题目给出一个具体的无穷阶可导函数y＝f(x)，可以通过公式展开成幂级数。p61
      • 3.根据展开式的唯一性，比较1.2中的(x-x0)的n次方的系数，就可以获得f的n阶导（X0）
        • 4.27
        • 5！＝120
• 考题
  • 重要极限存在且≠0
    • 母为0，推子为0
      • 4.1
    • 子为0，推母为0
  • 凑极限+分子有理化，看到根号就要想起来分子有理化
  • 4.3泰勒公式证可导
    • 正常凑，凑不出来
  • 求证可导，连续，极限存在时
    • 直接找最强的，直接证可导
      • 习题4.2绝对值可以看成有界
  • g''(0)存在
    • g'(x)在0的某邻域内都存在
  • g(x)在x＝0处二阶可导 习4.4★★★
    • 不能用洛必达求二阶导数
      • 洛必达能用是函数在去心邻域能有定义
      • 只说在一个点有二阶导，不能在二阶导用洛必达。因为其他地方没说可导
      • g′′(0)存在，能推出g'(x)在其去心领域内都存在。
    • ⭐❤️故再用导数定义求
    • ❤️或则用带佩雅诺余项的泰勒公式的展开式求
    • 在分段点处用的导数定义求导
    • 在非分段点直接求的导
  • 分段函数，零左零右都是同一个表达式
    • 不用分左右讨论
  • 幂指函数求导
    • 结果需要最简
  • 求高阶导数
    • 没规律，化难为易
      • 先分解
      • 再降幂
      • 再用高阶导数公式
        • 比如(xe的x次方)的n阶导
          • (x+n)e的X次方
  • 求dy/d(x2）
    • 直接看成相除的形式
  • 比如y＝arcsinx这样的函数的导数是利用先写出反函数。再利用反函数求导法则求出来的。
  • y＝1-x/1+x简化运算＝-1+2/1+x
  • 含有e多的式子，先去对数再求导4.7
• 1000题
  • 泰勒只能求在0点的高阶导数
  • (x-a)的n次方的高阶导数，第n阶导＝n!，其余的都＝ni(x-a)
  • 5.求分段函数高阶导时，分段点处也是直接求导，不用导数定义求导
    • 求两阶导数后，发现式子中有arctan1/x，故用导数定义再求导得出结果
  • 6.函数增量式与微分画图理解，二阶导大于零小于零情况不同
  • 12.13对于复杂函数求导，先取对数。对于对数函数求导，把次方提到前边去再求导
  • 15.对于这个题的展开公式，不需要负号
  • 高阶导数求导
    • 莱姆尼茨
      • 对于求f(1)n阶导
    • 泰勒公式
      • 对于求f(0)的n阶导
    • 归纳法
      • 对于f(x)的n阶导
  • 16.换元后求出值，要注意与题目的字母是否一样
    • 用莱姆尼茨时，谁求导变成零，谁写在前边
    • 归纳法也行
  • 根下2/2的倒数＝ 根号2
  • 关于参数方程的二阶导公式
    • 若一阶导复杂，可以借助公式求二阶导
    • 公式：y"t×x′t-y′t×x"t/(x′t)3
  • 微分dy＝导数×dx
  • 24.求f(0)处的n阶导数
    • ＝g′(x)推出其为n+1阶
      • 求导时n+1要往前乘
    • g(x)又＝e的x次方-1/x推出e的x次方展开到n+2次方/x才＝n+1次方