一元函数微分学的几何应用

这是一篇关于一元函数微分学的几何应用的思维导图，主要内容有极值和最值概念、单调性和极值的判别、凹凸性和拐点的概念、渐近线、最值或取值范围。

一元积分学的几何应用

• 极值和最值概念
  • ★极值存在的前提必须是双侧有定义定义
  • 极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点
    • y＝e的x次方在[0,+∞]有最值点，没有极值点
    • y＝3x-x的3次方
      • 有极值点但是没有最值点
  • 区间内部的最值点必是极值点
  • 区间内部的点不是极值点，那么必然也不是最值点
  • 间断点也可以是极值点
    • 四种间断点都可以去极值点，只要左右两侧有定义即可
• 单调性和极值的判别
  • 单调性的判别
  • 极值点
    • 极值点处不一定非得可导，只要是在这个点的邻域内可导即可
    • 必要条件(费马)
      • f(x)在x＝x0处可导且在点x0取得极值
        • 则必有f′(x0)＝0
    • 第一充分条件
      • 首先验证连续性才能求，前提是在这一点连续，f′（x0）在x0的去心邻域内变号
    • 第二充分条件
      • f(x)在x＝x0处二阶可导且f′(x0)＝0,f′′(x0)≠0
        • f′′(x0)＞0，f(x0)为极小值可以由极限定义和局部保号性证明
        • 反之，极大值
    • 第三充分条件
      • f(x0)的m阶导数＝0,f(x0)的n阶导数≠0
        • 当n为偶数时，n阶导＞0,在x＝x0,取极小值
        • 当n为偶数时，n阶导＜0,在x＝x0,取极大值
    • 还可以用定义判别
• 凹凸性和拐点的概念
  • 两点连线处的函数值＜曲线上两点中点的函数值
    • 凸的
  • 两点连线处的函数值＞曲线上两点中点的函数值
    • 凹的
  • 拐点定义
    • 拐点处只需要连续
      • 与可导不可导无关
    • 凹凸不分先后
    • 拐点是在曲线上的
      • 写(x0,f(x0))
        • 极值点是指的定义域上的点
        • 极值是函数值
  • 判别凹凸型
    • 二阶导数＞0,凹
    • 二阶导数＜0,凸
  • 拐点判别
    • 必要条件
      • f′′(x0)存在，且点(x0,f(x0))为曲线上的拐点
        • 则f′′（x0）＝0
    • 第一充分条件
      • 前提是连续在去心邻域内，二阶导数变号
    • 第二充分条件
      • f''（x0)＝0，f'''(x0)≠0，则(x0,f(x0))为拐点
    • 第三充分条件
      • f(x0)的m阶导数＝0
        • 当n为奇数时n阶导数≠0
          • (x0,f(x0))为拐点
    • 还可以用定义判别
  • 考题
    • 5.5证单调性
      • f'与f的关系
        • 想到拉格朗日中值定理
    • 在一个点附近二阶导数＞0
      • 在点附近的曲线是凹曲线
    • 根据极值定义来判别极值
• 渐近线
  • 铅垂渐近线
    • 无定义点
    • 定义区间的端点
    • 分段函数分段点
    • limx趋于x0+＝∞（或者limx趋于x0-＝∞），则x＝x0为一条铅垂渐近线
  • 水平渐近线
    • limx趋于+∞＝y1,则y＝y1为一条水平渐近线
    • limx趋于-∞＝y2,则y＝y2为一条水平渐近线
    • 如果＝同一条渐近线，y＝y0就为一条水平渐近线
  • 斜渐近线
    • limx趋于+∞，limf(x)/x＝a1（a不能＝0。）lim[f(x)-a1x]＝b1
    • 为y＝a1x+b1就是一条斜渐近线
    • 类似
  • 考题
    • 步骤
      • 1.找无定义点和端点
      • 2.趋于这个点有无铅垂渐近线
      • 3.趋于无穷，有无水平
      • 4.比x，有无斜渐进
  • 5.8和习题2.6
    • 同一种求极限的方法★★
    • x趋于无穷，1/x＝0
    • lne的x次方×(e的-x次方+1）＝x+ln（e的-x次方+1）
    • 1-（1-1/n）的k次方~k/n
• 最值或取值范围
  • 求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值（值域）
    • 一阶导数为零的点
    • 一阶导数不存在的点，不可导点
    • 端点
    • 大漏洞
      • 求分段函数的分段点的导数时，一定要用导数定义求导
  • 求开区间（a,b）内连续函数f(x)的最值或者取值范围
    • 驻点
    • 不可导点
    • 左端点的右极限，右端点的左极限
      • ±无穷也是一样
    • 如果遇到求最大值和最小值的实际问题，首先建立目标函数，在确定定义区间，转化为最值问题
    • 特别的，如果考虑的实际问题存在最大值或最小值。目标函数又有唯一的极值点，则必然是最值点求n次根号下n最大项
      • 区间内部的极值点必然是最值点
• 做函数图形
  • ①确定函数定义域，考察它是否有奇偶性
  • ②求出一阶导数和二阶导数
    • f(x)的无定义点
    • f'(x)＝0的点
    • f'(x)不存在的点
    • f′′(x)＝0的点
  • ③做表格
  • ④确定渐近线
  • ⑤作函数图形
• 凑导数定义和利用极限的局部保号性
  • 5.1
    • 值得多做几遍
  • 5.5
  • 4.11
• 考题可以用来练习计算
  • 5.3
    • 隐函数极值
      • 令一阶导数等于0
        • 求出y和x的关系
        • 求出x
        • 求出在这一点的二阶导数
  • 一阶导数不存在的点也可以是极值
    • 5.2
  • 5.8
    • 算数平均大于几何平均
      • 推广到五次
  • 5.9
    • 提公因式法
      • 对于很难算的一阶导数＝0
  • 5.10
    • 计算能力的考察
      • 取对数变加减
  • 相信自己的计算能力
  • 极值点
    • 一阶导数＝0
    • 一阶导数不存在
  • 拐点
    • 二阶导数＝0
    • 二阶导数不存在
  • 拐点最后别带错表达式
  • 凹凸区间用逗号隔开
  • 唯一极小值就是最小值
    • 注意约分