数量关系思维导图

这是一篇关于数量关系思维导图的思维导图，主要内容有代入排除法、倍数特性法、方程法、工程问题、行程问题、经济利润问题等。

数量关系

• 代入排除法
  • 什么时候代
    • 题型
      • 年龄问题
        • 常识：年龄差不变、法定年龄
        • 多主体、多时间—列表分析
      • 余数问题
        • 剩、余
      • 多位数问题
        • “对调”是关键
      • 不定方程问题
        • 未知数个数>方程个数，无法求解
    • 选项信息充分——选项信息可以验证题目所有条件
      • 分别、各
    • 复杂难题—尝试带入
  • 怎么代
    • 先排除
      • 大小关系
      • 奇偶特性
      • 倍数特性
      • 尾数特性
    • 再带入
      • 最值原则
        • 为最大，先代最大
        • 问最小，先代最小
      • 从简原则
        • 简单条件
        • 好算选项
    • 代入逻辑
      • 遇到矛盾，就排除
      • 全部满足，就选择
• 倍数特性法
  • 整除型
    • 若A＝B✖️C，B、C均为整数，则A是B和C的整数倍 整数判定方法：①3、9看各数加和，4看数字末两位，8看数字末三位 ②拆分：常用于7、11、13（一个数=接近且明显能被整除的数＋/-小数字，看小数字） ③因式分解（复杂倍数，常用于6、12、18等）因式分解成两个互质的数，同时满足能被这两个数整除。
  • 余数型
    • 平均分配有剩余--多退少补：多几个，减掉，少几个，加上，转为整除特性
  • 比例型
    • 和差倍比问题
      • 给比例问比例----赋值法
      • 给比例问具体数---优先倍数特性，不行再列方程
    • A/B=M/N，则A为M的倍数，B为N的倍数，A±B为M±N的倍数 ①看问法--直接看问题的主体 ②化比例--找和其相关的比例 ③验选项--通过倍数验证选项
    • 比例转化的方法：谁比谁，就谁除以谁，分母不动 分子：多-加，少-减
• 方程法
  • 普通方程
    • 设未知数 未知数=方程个数
      • 设小不设大，避免分数
      • 设中间量，方便列式
      • 求谁设谁，避免陷阱
      • 出现比例，设分数
  • 不定方程
    • 一个不定方程
      • 代入排除 未知数>方程个数
        • 奇偶特性：系数一奇一偶，偶系数入手
        • 倍数特性：系数与常数有公因子
        • 尾数特性：系数尾数为0或5
        • 直接带入选项
    • 不定方程组
      • 根据未知数确定类型
        • 必须为整数
          • 消元 利用倍数特性
        • 不必须为整数
          • 赋其中一个未知数为0 计算出其他未知数
• 工程问题
  • 给完工时间型
    • ①先赋总量（公倍数） ②再算效率=总量÷时间 ③根据工作过程列式子或方程
      • 同时开始同时结束的工程问题：①先总体--t总=总量加和÷效率加和 ②再分开---帮谁分析谁
  • 给效率比例型
    • ①先赋效率（满足比例即可） ②再算总量=效率×时间 ③根据工作过程列式子或方程
      • 误工追赶：加速期工作量等于原本工作量＋误工期工作量
  • 给具体单位型
    • 设未知数，找等量关系列方程
  • 牛吃草
    • 识别：排比句式，有增长，有消耗
      • 方法：原草=（牛-草增）×时间 草=(牛1×天1-牛2×天2)/(天1-天2)
• 行程问题
  • 普通行程
    • 路程=速度×时间（s=v×t）
    • 火车过桥
      • 完全通过桥：路程=桥长＋车长 完全在桥上：路程=桥长-车长
    • 平均速度
      • 平均速度=总路程÷总时间 等距离平均速度=（2v1×v2）/(v1+v2)
  • 相对行程
    • 相遇、追及
      • 相遇：S和=v和×t遇 追及：s差=v差×t追
    • 多次运动
      • 环形两端出发第N次相遇：（2n-1）s=v和×t遇 线性一端出发第N次相遇：2ns=v和×t遇 环形相遇：s遇=（v1+v2）×t 相遇一次，s遇=一圈，相遇N次，s遇=N圈 环形追及：s追及=（v1-v2）×t 追及一次，s追及=一圈，追及N次，s追及=N圈
    • 流水行船
      • 顺水：s=(v船+v水)×t顺 逆水：s=（v船-v水)×t逆
        • v顺=v船+v水 v船=（v顺＋v逆）/2 v逆=v船-v水 v水=（v船-v水）/2 静水速度=船速 漂流速度=水速
  • 比例行程s=vt
    • 找到不变量，去看正反比 s不变，v与t成反比 v不变，s与t成正比 t不变，s与v成正比
• 经济利润问题
  • 基础经济
    • 常见公式
      • 利润=售价-进价=赚-亏 利润率＝利润÷进价 折扣=折后价÷折前价 总价=单价×数量 总利润=单个利润×数量=总售价-总进价 1吨=1000公斤=2000市斤 售价=成本×（1+利润率） 打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售。
      • 解题方法
        • 方程法、赋值法
  • 分段计费
    • 常见题型
      • 水电费、出租车费、税费等 不同标准收费不同，给出总用量求总花费
    • 解题方法
      • 分段计算、汇总求和
        • ①找分段点 ②按标准分开 ③加和汇总
  • 函数最值
    • 特征
      • 单价和数量此消彼长 求最大利润或总价
    • 方法
      • ①设提/降价次数为x，列式 ②两括号=0，求解 ③平均数时，x为最值
• 最值问题
  • 最不利构造（想想最倒霉）
    • 识别：至少......才能保证....
    • 方法：保证数=最不利数+1 最不利的理解：不够，全给你；够，少给一个
  • 构造数列（和定最值）
    • 识别：和一定，求某个主体的最大值、最小值
    • 方法：①定位--确定求谁的什么值 ②反向--若求最大，其他尽可能小，从最小的的开始构造；若求最小，其他尽可能大，从最大的开始构造 ③求解--若结果不为整数，反向取整 注意：看题干是否有“各不相同”，没说，可以默认相同
  • 多集合反向构造（求交集最小）
    • 识别：都....至少.... 常规方法：反向--求和--做差
    • 公式
      • （A∩B）最小=A+B-全部 （A∩B∩C）最小=A+B+C-2全部 （A∩B∩C∩D）最小=A+B+C+D-3全部
• 排列组合与概率问题
  • 排列组合
    • 基础概念
      • 分类用加法（要么....要么....） 分布用乘法（既......又......）
      • 有序用排列A（不可互换） 无序用组合C（可以互换）
    • 经典题型
      • 选项小--枚举法
      • 要相邻--捆绑法
        • 先捆，把相邻的捆绑起来，考虑内部顺序 后排，把捆后的“胖子”与其他排列
      • 不相邻--插空法
        • 先将可以相邻的进行排列，排列后形成若干个空位 再将不相邻的插入到形成的空位中去
      • 错位排列（结论）
    • 正难反易
      • 总情况数-反面情况数
  • 概率
    • 给情况求概率：概率＝满足/全部 注：正难则反，满足概率=1-不满足概率
    • 给概率求概率：分类相加，分步相乘
    • 跟屁虫原理：两个主体有相同的目标（目的），求概率 方法：任意固定一个，只求另外一个满足的概率即可
• 容斥原理问题 （几集合，啥方法）
  • 公式法 题目中所给所求，都是公式中的一部分
    • 两集合，总数=A+B-A∩B+都不
    • 三集合
      • 标准型（分别给出两两交集） 既......又...... 总数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不
      • 非标准型（统一给出满足两者） 参加两项，喜欢两种 总数=A+B+C-满足两项-2×满足三项+都不
  • 画图法 出现“只A”
    • ①画图 ②标数字（从交集标，不重不漏） ③加和求解