矩阵思维导图1

这是一篇关于矩阵思维导图1的思维导图。，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

矩阵

• 矩阵的概念和特殊矩阵
  • • A＝Am×n＝（aij）m×n
  • 零矩阵
  • 行矩阵
  • 列矩阵
  • 方阵
    • 三角形矩阵
      • 上三角形矩阵
        • 当i＞j时，aij=0
      • 下三角形矩阵
        • 当i＜j时，aij=0
    • 对角阵（也是三角形矩阵）
      • 数量矩阵
        • 单位矩阵（相当于1的作用）
  • 阶梯形矩阵
    • 非零行全在零行上面
    • 零元素的个数随行数增多而增大
    • 下一非零首元在上一非零首元右边
    • a21=0
  • 与线性方程组有关的矩阵
    • 系数矩阵A
    • 未知量矩阵X
    • 常数列矩阵B
    • 增广矩阵
  • 同型矩阵
  • 矩阵相等
    • 记作A=B
• 矩阵的初等变换
  • 行
    • 对换变换
      • 记为rij
    • 倍法变换
      • 记为crij(c为非零常数）
    • 消法变换
      • 记为ri+krj
  • 列
    • 对换变换
      • 记为cij
    • 倍法变换
      • 记为cci
    • 消法变换
      • 记为ci+kcj
• 最简阶梯形
  • 阶梯形
  • 每个非零首元为1
    • 主元：最简阶梯形中非零首元1
  • 非零首元所在列的其他元素为0
  • 非零行个数与主元1的个数一致
  • 非零行个数是唯一的，最简阶梯形不是唯一的
• 矩阵的标准形
  • 元素只有1和0
  • 左上角为单位矩阵
• 矩阵的秩
  • 矩阵的阶梯形中非零行的个数
    • 记为r(A)
  • 规定零矩阵的秩为0，即r(0)=0
  • r(A)≤min(m,n）
• 高斯消元法
  • 一般结论
    • • 若dr+1≠0，即r（A）≠r（Ā）时，即无解
    • 若dr+1=0，即r（A）=r（Ā）时，即有解
      • 当 r＝n时，有唯一解
      • 当 r＜n时，有无穷解
  • 齐次线性方程组
    • 适用一般结论
    • 常数项为0
    • 必然存在零解
      • r(A)≤min(m,n)=m＜n
        • m为方程的个数，n为未知量的个数
      • 当r(A)=n时，仅有零解
      • 当r(A)＜n时，有非零解
• 只能用箭头符号连接