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整合技术，数学问题解决框架及其应用。整合技术的数学流畅性。是指重组织的能力，创造性的、恰当的表达自己的能力以及产生和生成信息的能力。他需要一个终身学习的过程，在这个过程中，个人不断的应用他们所知道的知识来适应变化，并获得更多的知识，以便更有效地将技术应用到他们个人和工作生活中。

整合技术的数学问题解决框架及其应用

概念界定

整合技术的数学流畅性：“ 流畅性” 是指重组知识的能力，创造性地、恰当地表达自己的能力以及产生和生成信息的能力．它需要一个终身学习的过程，在这个过程中，个人不断地应用他们所知道的知识来适应变化，并获得更多的知识，以便更有效地将技术应用到他们的工作和个人生活中。

整合技术的数学问题解决框架：3 阶段 9 环节．

准备阶段

理解问题含义、抓住关键信息、思考技术功效

解答阶段

实现问题条件、探索可能结论、制定解题方案、实施解题方案、书写解题过程

反思阶段

分享解题思维、展示解题方案和用数学教育技术绘制图形，在交流中反思自己的解题过程

研究目的

分析一个中学生使用动态数学软件 GeoGebra 实现数学问题解决的过程，运用动态数学软件，发展学生整合技术的数学流畅性．

理论基础

符号中介理论

教师在分析人工制品的符号潜能后，根据教学周期组织特定的任务或活动，并特意选择一些相关的人工制品供学生使用，让学生在使用人工制品完成任务或活动的过程中，把他们的个人意义转化为特定的数学意义，以达到教师为学生制定的学习目标．在这个过程中，学生产生的手势、语言（包括口头语言和书面语言）或图画等都被称为“ 人工制品符号”

工具化理论

心理工具是一个个体的构念它具有心理特征，并且与它产生和发展的环境密切相关．心理工具的形成和演变过程命名为工具生成．．工具生成的两个过程说明人们的思维能塑造人工制品，人工制品也能塑造人们的思维。它被描述为两个过程

（1）工具内化，即关于人工制品的不同组成部分的出现和进化，人们逐步认识其潜力和限制，人们的知识指导着人工制品的使用方法，在某种意义上塑造人工制品

（2）工具外化，即关于使用方案的出现和发展，人工制品的潜力和限制影响着人们的问题解决策略和对应的新想法

研究方法

案例研究：测试调查、任务式访谈和文档收集等方法收集数据（三角互证，内容分析法）

结果

准备阶段

① 理解问题含义：学员能够正确理解问题，在这个环节中，L 同学的语言作为起中介作用的人工制品，让研究者知道他正在理解问题的含义

② 抓住关键信息：L 同学在一开始审题时就注意到了“ 同侧” 与“ △ ABC 和△ CDE 的顶点都按顺时针顺序排列”这个细节，所以他最后提交上来的 GeoGebra 文件里的图形完全正确．同时，他也注意到了∠ ACE<120°这个条件，意味着C点是一个动点，C点位置的不同可以导致整个几何图形发生改变，这有可能让△ CPM 的形状发生变化。L 同学在运用 GeoGebra 解决数学问题的过程中产生的人工制品符号，它是研究者了解 L 同学的心理图式的重要中介之一．它代表着学生在经过一系列的心理活动后，成功解决了该数学问题．

③ 思考技术功效：该环节L 同学早已认识了人工制品GeoGebra 的潜力和限制，他已经学过的有关 GeoGebra 的知识指导着他对 GeoGebra 的操作．这说明 L 同学在自己和人工制品 GeoGebra 之间建立了有意义的联系，此时的人工制品 GeoGebra 转变为心理工具，L 同学在经历工具内化的心理过程．

解答阶段

④ 实现问题条件：L 同学的数学知识与技术知识融合，指导着他对 GeoGebra 的操作.他使用GeoGebra 塑造出了新的人工制品，即与问题对应的几何图形．对研究者来说，该几何图形在解释学生的个人意义与数学意义之间的转化过程中起着中介作用．

⑤ 探索可能结论：该环节用GeoGebra 画出来的几何图形与 GeoGebra 的拖动功能作为人工制品，共同塑造了 L 同学的思维，让他产生了新的想法．这是工具外化的心理过程．

⑥ 制定解题方案：．在这个环节中，L 同学也出现了新想法．动态数学软件 GeoGebra 的功效和限制让几何图形在动态变化的过程中仍保留原有的数学性质，这才让 L 同学发现△ BCE 与△ ACD 的全等关系，进而影响了他下一步的问题解决策略．显然，该环节也凸显了 L 同学的工具外化过程．

⑦ 实施解题方案：该环节表明 L同学在工具外化的过程中感悟了数形结合的思想，同时创造了新的人工制品符号：以数学语言和数学符号为主要表现形式的解答文本．

⑧ 书写解题过程：在这个环节中，研究者以 L 同学的解答文本为中介物分析出了他想要表达的数学意义，该解答文本就是 L 同学新创造出的人工制品符号．

反思阶段

⑨ 分享解题思维．当 L 同学在草稿纸上写完证明过程后，研究者让他解释了他所写的每一个步骤的来源．这帮助他再次整理了解题思路，也锻炼了他的表达能力。L 同学具备的关于如何使用 GeoGebra的知识指导着他对 GeoGebra 的操作，这体现了他的工具内化的心理过程．以他的口头语言为中介符号，研究者知道他通过操作 GeoGebra发现了△ BCP与△ ACM始终全等的事实，而 L 同学发现这个事实的原因正是因为在 GeoGebra 软件中拖动点 C 时，几何图形原有的数学性质仍保持不变．GeoGebra 的潜力和限制促使他得出了“ △ CPM是等边三角形的证明方法与∠ ACE的度数是否小于120°没有太大关系，但点C位置的不同，会导致∠ PCM=60°的证明略有不同” 的结论，这在一定程度上影响了他的问题解决策略．这意味着 L 同学经历了将GeoGebra 进行工具外化的心理过程．

结论

学生在整合技术的数学问题解决过程中充分展示了整合技术的数学流畅性。

（2）在学生整合技术的数学问题解决过程中，数学教育技术对于学生是一种心理工具，对于作为研究者的教师是一种起中介作用的人工制品。

（3）整合技术的数学问题解决框架为信息技术与数学问题解决深度融合提供了行动指南。

研究启示

夯实数学基础知识，提高学生数学问题解决能力．

开展数学软件培训，提升学生数学教育技术素养．

运用动态数学软件，发展学生整合技术的数学流畅性．