解非线性方程组

证明收敛的2种方法、定区间内值域和定义域相同，验证L、可以给出误差估计、局部收敛性、一阶导的绝对值、利用递推格式在区间内收敛p20。

解非线性方程组

• 迭代法
  • 基础知识
    • 收敛阶
      • p=1时c<1才收敛
      • 定义式
        • 定义法，注意i趋于无穷时，xn趋于精确解
      • p次导数不为0
    • 迭代效率
      • 计算效率
  • 证明收敛的2种方法
    • 定区间内值域和定义域相同，验证L
      • 可以给出误差估计
    • 局部收敛性
      • 一阶导的绝对值
    • r重根的收敛：得到1-1/r的因子
    • 利用递推格式在区间内收敛p20
  • 求根的重数的方法
    • aitken
    • 在根的位置直到r-1阶导数为0，r重根
  • 单根
    • 单点
      • 反函数的talor展开
        • 通用式
          • 收敛阶p= m+2
      • 牛顿
        • m= 0
          • 几何意义是按着切线下降·
            • p=2
      • 简化
        • 简化不好算的一阶导数
          • p=1
      • 下山
        • 增加一个下山因子调整收敛速度
          • 放宽对初值的选择
            • lamda !=1时，p=1
    • 多点
      • 虚位法
        • 先得到有根区间
          • 对任何连续函数都收敛，非定常迭代
      • 切线法
        • p = 1.618 = EI
    • 选择
      • 效率指数
        • >0.44选择割线法
        • <0.44选牛顿法
  • 重根
    • r修正
      • 引入修正因子r
        • p=2 EI=牛顿的EI
    • ux换元
      • UX的单根是fx的任意重根
        • p=2 ，比牛顿效率低
          • 计算效率是1+cita1+ cita2
  • 加速方法
    • aitken方法
      • 用xi计算组成新的序列
    • 单点时成为steffensen方法
    • 作用
      • 得到重根的重数
      • 不收敛的变收敛
  • 根据函数phi
    • 定常迭代
    • 非定常迭代
• 方程组解法
  • 推理过程
    • 牛顿迭代法
      • 雅可比矩阵
        • 不好算所以用低秩的修正矩阵
          • 拟牛顿法
  • 秩1broyden
    • 修正矩阵为{yi-Ai ri}viT
      • 逆1broyden
• 二分法
  • 迭代次数的计算
  • 优缺点
    • 简单但是收敛速度慢，只能求单实根
• 求根的步骤
  • 根的存在性
    • 跟的隔离
      • 根的精确化