矩阵的秩

这是一篇关于矩阵的秩的思维导图，包括性质、计算、概念、非济次线性方程组、齐次线性方程组、求齐次方程组通解

矩阵的秩

• 性质
  • 0≤r（A）≤min{m，n}
  • 若A≠0，则r（A)≥1
  • r(A±B）≤r（A)+r（B)
  • 可逆
    • 若P可逆，则r（PA）=r（A)
    • 若Q可逆，则r（AQ）=r（A)
  • r（AB）≤min{r（A)，r（B)}
  • r（AB）≥r（A)+r（B)-n
  • 若AB=0，则r（A)+r（B)≤n
  • 同型矩阵A,B等价的充要条件是r(A)=r(B)
  • 设A*是n阶方阵A的伴随矩阵
    • 若r(A)=n,r(A*)=n
    • 若r(A)=n-1,r(A*)=1
    • 若r(A)<n-1,r(A*)=0
• 计算
  • 化行阶梯形矩阵
  • 初等变换不会改变秩
• 概念
  • 在一个m*n矩阵A中，任取k行k列（k≤m和n),位于交叉处的元素组成的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式
  • 设A中有一个非零的r阶子式D，且所有的r+1阶子式均为零，则称D为A的一个最高阶非零子式，r称为A的秩，简记为r（A），并规定r（O）=0
• 非齐次线性方程组
  • 构造增广矩阵，进行行初等变换
    • 检查行阶梯形矩阵的系数矩阵部分和增广矩阵部分的秩
• 齐次线性方程组
  • n实际上是变量的总个数 方程则是对变量的约束条件 秩代表了有效方程的个数 所以当秩小于n时，代表着有废方程无法约束变量
  • Ax=0
    • 若r（A)<n，非零解
      • 其通解中含有n-r个自由变量
    • 若r（A)=n，仅有零解
• 求齐次方程组通解
  • 写矩阵
  • 化行最简形矩阵
  • 化为方程组
  • 配出x
  • 找通解