二次函数

这是一篇关于二次函数的思维导图，主要内容有定义、性质、平移、二次函数独有等。希望能对你有所帮助！

二次函数

• 定义
  • 形如 y  ax2  bx  c （ a ，b ，c 是常数， a  0 ）的函数，叫做二次函数.
• 性质
  • | a | 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
• 平移
  • （1）口诀平移法：上加下减，左加右减 （2）顶点平移法： y  ax2 的顶点为（0，0）， y  a  x  h 2  k 顶点坐标为h ，k  ；
• 二次函数独有
• 整式的乘法和因式分解
  • 整式的乘法
    • 幂之间的运算
      • 同底数幂相乘
        • aˣ·aʸ=aˣ⁺ʸ（x，y都是正整数）
        • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
      • 幂的乘方
        • （aˣ）ʸ=aˣʸ（x，y都是正整数）
        • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
      • 积的乘方
        • （ab）ʸ=aʸbʸ（y为正整数）
        • 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
    • 整式之间的运算
      • 单项式乘单项式
        • ac⁵·bc²=（a·b）·（c⁵·c²）=abc⁵⁺²=abc⁷
        • 一般的单项式与单项式相乘，把它们的系数同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同他的指数作为积的一个因式
      • 单项式乘多项式
        • P（a+b+c）=pa+pb+pc
        • 一般的单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项。再把所得的积相加
      • 多项式乘多项式
        • （a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq
        • 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项。再把所得的积相加
      • 整式的除法
        • 同底数幂相除
          • aˣ÷aʸ=aˣ⁻ʸ（a≠0，x,y都是正整数，并且m＞n）
          • 同底数幂相除，底数不变，指数相减
          • 任何不等于零的数的零次幂都等于一
            • a⁰=1（a≠0）
        • 单项式除单项式
          • ab（ab）⁵÷（ab）²=（ab）⁵⁻²=（ab）³=a³b³
          • 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因，式对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数作为商的一个因式
        • 多项式除单项式
          • （am+bm）÷m=am÷m+bm÷m
          • 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
    • 乘法公式
      • 平方差公式
        • （a+b）（a-b）=a²-b²
        • 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
      • 完全平方公式
        • （a+b）²=a²+2ab+b²
        • （a-b）²=a²-2ab+b²
        • 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的二倍
      • 添括号
        • a+b+c=a+（b+c）
        • a-b-c=a-（b+c）
        • 添括号时，如果括号前面是正号，填到括号里的各项都不变符号，如果括号前面是负号，填到括号里的各项都改变符号
  • 因式分解
    • 定义
      • 一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
    • 方法
      • 提公因式法
        • 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 。
      • 公式法
        • 可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法
          • 平方差公式
            • 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
          • 完全平方公式
            • 即两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的二倍，等于这两个数的和(或差）的平方
• 一次函数
  • 变量与函数
    • 我们称数值发生变化的量为变量
    • 数值始终不变的量为常量
    • 举例
      • 在这个一次函数“y=2x+10”中，10与2即为常量，x和y即为变量
    • 发现
      • 上面每一个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个知识，另一个变量就有唯一确定的值，与其对应
        • 例如当x取1时，y取12
    • 引出新知
      • 函数
        • 例如刚才的举例中Y就是X的函数1是自变量取得一个值而12就是当自变量的值为一时的函数值
        • 如果两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定的值Y都有唯一确定的值，与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。如果当X等于a，是Y等于B，那么，B叫做当自变量的值为a时的函数值
    • 函数解析式
      • 向Y等于2X加十，这样用关于自变量的数字式子表示函数与自变量之间的关系式描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式
      • 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义（考虑实际问题的解和数学问题的解
  • 函数的图像
    • 表达方式
      • 函数解析式
        • 解析式法
      • 函数图像
        • 用平滑的曲线连接各个点
        • 用空心圈表示，不在曲线的点。
        • 图像法
          • 描点法画函数图像的步骤第一步，列表表中给出一些自变量的值与。其对应的函数值。第二部描点。在直角坐标系中，以自变量的值为坐，横坐表应相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，第三部连线按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来
      • 函数图表
        • 列表法
    • 表示X与Y的对应关系的点，有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置
      • 一次函数定两点，正比例函数定一点和原点
  • 一次函数
    • 正比例函数
      • 一般地形如Y等于KX，（K是常数K不等于零）的函数叫做正比例函数，其中K叫做比例系数
    • 一般地形如Y等于KX加BKB是常数，K不等于零的函数叫做一次函数。当B等于零时，Y等于KX加B，即Y等于KX，所以正比例函数是一种特殊的一次函数
    • 增减性
    • 求解析式
      • 待定系数法
        • 先设出函数解析式，再根据条件确定函数解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法
    • 常值函数
      • y=10
  • 一次函数与方程，不等式
    • 注意一中的隐藏条件
      • 在春游时有可能说每辆车上一个老师
      • 可以买0个东西
      • 确定临界点
    • 解决含多个变量的问题是可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量值的变量作为自变量，然后根据问题的条件，寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决。问题的数学模型
    • 函数与不等式联立：去同存异（去掉相同的部分）
    • 考虑方程或函数的解是否是实际问题的解
    • 不等式
      • 当y大于0是，x大于与x轴交点横坐标
      • 当y等于0时，x等于与x轴交点横坐标
      • 当y小于0时，x小于x轴交点坐标