概统第三章 二维随机变量思维导图

这是一篇关于概统第三章 二维随机变量思维导图，包含随机向量与联合分布、边缘分布函数、边缘分布律与条件分布律等。

概统第三章 二维随机变量

• 3.1 随机向量与联合分布
  • 二维随机变量的定义与分布函数的性质
    • 定义1：设试验E的样本空间为S={e},而X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量(X,Y)，为二维随机变量或二维随机向量。
    • 定义2:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数x, y, 二元函数 称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量X与Y的联合分布函数.
    • 定义3:设试验E的样本空间为S={e},而Xi=Xi(e)是定义在S上的随机变量, i=1,2,…,n，由这n个随机变量构成的有序随机变量组 称为n维随机变量或随机向量。设 为n维随机变量,对任意实数 , n元函数 称为n维随机变量 的分布函数或n个随机变量 的联合分布函数.
    • 分布函数F(x,y)的性质：
      • 定义域：
      • 分布函数的取值范围：
      • 特殊值
      • F(x,y)对x或对y单调不减，即：
      • F(x,y)对x或对y右连续，即：
      • 对任意实数x1<x2, y1<y2 有
      • 反之: 凡满足上述性质的二元函数F(x,y) 必定是某个二维随机变量的分布函数。
  • 二维离散型随机变量
    • 定义：若二维随机变量(X,Y)的取值为有限对或可列对 则称(X,Y)是离散型随机变量.
    • 称为二维离散型随机变量(X,Y)的(概率)分布律, 或称为X和Y的联合(概率)分布律。
      • 分布律的表示法:(1)公式法；(2)列表法。
    • 二维离散型随机变量(X,Y) 分布律的基本性质:
    • 定理：设(X,Y) 的分布律为 则随机点(X,Y)落在平面上任一区域D内的概率 其中和式是对所有使(xi,yj)D的i,j求和。
    • 特别有
  • 二维连续型随机变量
    • 定义：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若有非负可积函数f(x,y),使得对任意实数x,y, 恒有 则称(X,Y)是二维连续型随机变量,函数f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.
    • (X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列基本性质:
    • 反之, 若二元函数f(x,y)满足上面两条基本性质,则它一定是某个二维随机变量(X,Y)的概率密度.
    • 如果概率密度f(x,y)在点(x,y)处连续, 则有
    • 利用概率密度计算概率
      • 定理：设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则有：(1)设D为平面上任一区域,则： ， 。（2）
    • 常用的二维连续型随机变量
      • 均匀分布：若随机变量(X,Y)概率密度 其中A为有界区域D的面积. 则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布.记为
      • 二维正态分布：若随机变量(X,Y)概率密度为 其中 ，则称随机变量(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,记作
• 3.2 边缘分布函数
  • 定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数 （分量X与Y的联合分布函数）
    • 分量X的分布函数： 称FX( x )为(X,Y)关于X的边沿分布函数;
    • 分量Y的分布函数： 称FY( y )为(X,Y)关于Y的边沿分布函数.
  • 已知联合分布函数F(x,y),可以计算出边沿分布函数FX(x),FY(y);但由X,Y各自的分布函数FX(x),FY(y), 一般无法确定联合分布函数F(x,y) .
• 3.3 边缘分布律与条件分布律
  • 定义:二维离散型随机变量(X,Y)，分量X和分量Y都是离散型随机变量,X的分布律称为(X,Y)关于X的边沿分布律; Y的分布律称为(X,Y)关于Y的边沿分布律.
  • 边沿分布律的计算公式
    • 定理：二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为 ，则(X,Y)关于X的边沿分布律 (X,Y)关于Y的边沿分布律为
    • (X,Y)关于X的边沿分布律：联合分布律表中各行概率相加. (X,Y)关于Y的边沿分布律：联合分布律表中各列概率相加.
  • 条件分布律及计算公式
    • 在已知一个分量取某一定值的条件下,另一个分量的分布律称为条件分布律.
    • 定义：
• 3.4 边缘概率密度与条件概率密度
  • 边沿概率密度
    • 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则分量X的概率密度记为fX(x)，称为(X,Y)关于X的边沿概率密度;分量Y的概率密度记为fY(y)，称为(X,Y)关于Y的边沿概率密度.
    • 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则
      • 这表明： （1）分量X是连续型随机变量, （2）分量X的概率密度，即(X,Y)关于X的边沿概率密度为
      • 这表明： （1）分量Y是连续型随机变量, （2）分量Y的概率密度，即(X,Y)关于Y的边沿概率密度为
  • 条件分布函数
    • 定义：
  • 条件概率密度
    • 计算公式
• 3.5 相互独立的随机变量
  • 定义：设X,Y为两个随机变量,若对任意实数x,y,有 则称X与Y相互独立,简称独立.
  • X,Y相互独立判别定理:
  • 离散型随机变量相互独立判别定理
    • 定理
  • 连续型随机变量相互独立
    • 判别定理
  • 有限多个或可列个随机变量的相互独立性
    • 定义