MATLAB矩阵

这是一篇关于MATLAB矩阵的思维导图，主要内容包括矩阵和数组的概念及其区别，矩阵，操作矩阵，变换矩阵，元素运算，矩阵运算以及矩阵分解。

MATLAB矩阵

• 矩阵和数组的概念及其区别
  • 矩阵的概念
    • 数表
    • 代表一种线性变换
      • 感兴趣的同学请在B站查看《线性代数的本质》课程
  • 数组的概念
    • 按序排列的同类数据元素的集合
  • 区别
    • 矩阵是数学上的概念，而数组是计算机程序设计领域的概念
    • 作为一种变换或者映射运算符的体现，矩阵运算有着明显而严格的数学规则；而数组运算是MATLAB软件定义规则，其目的是使数据管理简单，操作方便，命令形式自然，执行计算有效
    • 矩阵是数组的子集
• 矩阵操作
  • 矩阵的构造
    • 通过对变量直接赋值
      • 采用矩阵构造符号[]
        • matrixName = [element11,element12,element13;element21,element22,element23]
        • 同行元素之间用空格或逗号隔开，行与行之间用分号隔开
    • 使用构造特殊矩阵的函数
    • 用于专门学科的特殊矩阵
      • 魔方矩阵
      • 范德蒙矩阵
      • 希尔伯特矩阵
      • 伴随矩阵
      • 帕斯卡矩阵
  • 矩阵大小和结构的改变
    • 旋转矩阵
    • 改变矩阵维度
    • 删除矩阵元素
  • 矩阵下标引用
    • 双下标索引和单下标索引
      • 双下标索引
        • A(2,3)
          • A矩阵的第2行第3列
      • 单下标索引
        • 列元素优先原则，对矩阵进行重组，成为一维数组
      • 单下标索引值和双下标索引值通过内部函数进行转换
        • IND = sub2ind(siz, i, j)
          • 将双下标转换为单下标
        • [I J] = ind2sub(siz, ind)
          • 将单下标转换为双下标
    • 矩阵下标访问单个矩阵元素
  • 矩阵信息的获取
    • 矩阵结构
      • 指矩阵元素的排列方式
    • 矩阵大小
      • 矩阵的维数
        • n=ndims(X)
      • 矩阵各维(如最长维、用户指定的维)的长度
        • [m n] = size(X) 获取各维的长度
        • n = length(X) 获取矩阵最长维的长度
      • 矩阵元素的个数
        • n = numel(X)
    • 矩阵的数据类型
      • whos
  • 矩阵的保存和加载
    • 矩阵在MATLAB中的存储方式
      • 按列优先排列，组成一个长列向量
    • 矩阵元素的赋值
      • A(i,j) = value
      • 删除
        • A = []
    • 矩阵合并
      • 横向
        • C = [A B]
      • 纵向
        • C = [A;B]
• 矩阵变换
  • 对角阵
    • diag(A)
      • 若A存在，则提取矩阵A主对角元素，并产生一个列向量，否则则构造对角矩阵
    • diag(A,k)
      • 若A存在，则提取矩阵A第k条对角元素，并产生一个列向量，否则则构造对角矩阵
  • 三角阵
    • 上三角
      • triu(A)
      • triu(A,k)
    • 下三角
      • tril
  • 矩阵的转置
    • 转置
      • .'
    • 共轭转置
      • '
  • 矩阵的旋转
    • rot90(A,k)
  • 矩阵的翻转
    • 第一列与倒数第一列交换...
      • fliplr(A)
        • 对矩阵A实行左右翻转
      • flipud(A)
        • 对矩阵A实行上下翻转
  • 矩阵求逆
    • AB=E
      • A = E/B
    • inv(A)
• 矩阵元素运算（普通运算）
  • 加减法
  • 乘法
    • 数乘
    • 矩阵与矩阵相乘
  • 除法
  • 幂运算
  • 矩阵元素查找
    • find(A)
      • 查找矩阵A的非零元素，并返回相应单下标
    • [row,col]find(A)
      • 查找矩阵A的非零元素，并返回相应双下标
  • 矩阵元素排序
    • sort(A)
    • sort(A,dim)
    • sort(...,mode)
  • 矩阵元素求和
    • B = sum(A)
      • 矩阵各列求和，返回行向量
    • B = sum(A,dim)
      • dim=1时，矩阵各列求和；dim = 2时，矩阵各行求和
    • B = cumsum(A)
      • 矩阵各行求和，返回列向量
    • B = cunsum(A,dim)
    • sum(sum())
      • 矩阵所有元素的和
  • 矩阵元素求积
    • B = prod(A)
      • 矩阵各列求积，返回行向量
    • B = prod(A,dim)
      • dim=1时，矩阵各列求积；dim = 2时，矩阵各行求积
    • B = cumprod(A)
      • 矩阵各行求积，返回列向量
    • B = cunprod(A,dim)
    • prod(prod())
      • 矩阵所有元素的积
• 矩阵运算
  • 方阵行列式
    • det(A)
  • 矩阵的秩
    • rank(A)
  • 矩阵的迹
    • trace(A)
  • 矩阵的范数
    • 矩阵或向量是用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度
    • norm(V,i)
      • 计算向量V的i范式
  • 矩阵的条件数
    • 矩阵A的条件数等于矩阵A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积
    • 条件数越接近1，矩阵的性能越好；反之，性能越差
    • cond(A,i)
      • 计算i范数条件下的条件数
  • 矩阵的化零矩阵
    • 对于非满秩矩阵A，若存在矩阵B使A ∗ B = 0，且B ∗ B = E，即不等于0，则称矩阵B为矩阵A的化零矩阵
    • null(A)
  • 矩阵的约化行阶梯形式
    • R = rref(A)
  • 特征值和特征向量
    • 数学定义
    • 求解
      • [X D] = eig(A)
        • A的所有特征值构成对角矩阵D,X各列是相应的特征向量
    • 特征值的几何意义
      • 矩阵所代表的线性变换是一种伸缩变换
• 矩阵分解
  • 对称正定矩阵的Cholesky分解
    • [R,p] = chol(X)
      • 当X是正定矩阵时，返回上三角矩阵R 满足X=R'*R，且p = 0
      • 当X不是正定矩阵时，返回上三角矩阵R 其阶数为p-1
  • 一般方阵的高斯消去法分解
    • 将任意一个方阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积
    • A = L*U
    • [L U ]= lu(A)
      • A为一个方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，满足关系式A = L*U
    • [L U P ]= lu(A)
      • A为一个方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，满足关系式P*A = L*U
  • 矩形矩阵的正交分解
    • 又称QR分解，将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积
    • A = Q*R
    • [Q R] = qr(A)
      • Q为正交矩阵，R为上三角矩阵
  • 舒尔分解
    • A = U * S * U'
      • U为酉矩阵，S是一个块对角矩阵
    • [U S] = schur(A)
      • U为酉矩阵，S是一个块对角矩阵
• 稀疏矩阵
  • 矩阵的存储方式
    • 完全存储方式
      • 将所有元素按列存储
    • 稀疏存储方式
      • 只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号
  • 稀疏矩阵存储方式的产生
    • A = sparse(S)
      • 将矩阵S转化为稀疏矩阵A
    • S = full(A)
      • 将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S