导图社区 考研高数
这是一篇关于考研高数的思维导图,帮助考生梳理了考试的知识点,形成了清晰的知识体系。同时,通过对每个知识点的详细解释和关联,思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此,考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图,提高备考效率,取得更好的成绩。
编辑于2024-07-21 08:12:10这是一篇关于考研高数的思维导图,帮助考生梳理了考试的知识点,形成了清晰的知识体系。同时,通过对每个知识点的详细解释和关联,思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此,考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图,提高备考效率,取得更好的成绩。
傅里叶分析的思维导图,内容有傅里叶级数(针对周期信号)、傅里叶变换、傅里叶变换的性质、典型函数的傅里叶变换、卷积定理、频率特性,感兴趣的小伙伴快来看。
围绕着交换信息这四个字通信系统可以划分成五部分,信息源,发送设备,信道,噪声源,接收设备,信宿,这五部分很好理解,信息源可以理解为大脑的思想,发送设备可以理解为声带,信道可以理解为传播声音的空气,接收设备可以理解为另一个人的耳朵,信宿可以理解为另外一个人的大脑。
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这是一篇关于考研高数的思维导图,帮助考生梳理了考试的知识点,形成了清晰的知识体系。同时,通过对每个知识点的详细解释和关联,思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此,考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图,提高备考效率,取得更好的成绩。
傅里叶分析的思维导图,内容有傅里叶级数(针对周期信号)、傅里叶变换、傅里叶变换的性质、典型函数的傅里叶变换、卷积定理、频率特性,感兴趣的小伙伴快来看。
围绕着交换信息这四个字通信系统可以划分成五部分,信息源,发送设备,信道,噪声源,接收设备,信宿,这五部分很好理解,信息源可以理解为大脑的思想,发送设备可以理解为声带,信道可以理解为传播声音的空气,接收设备可以理解为另一个人的耳朵,信宿可以理解为另外一个人的大脑。
考研高数
一元微分学
函数
函数概念及常见函数
函数的概念
概念
符号函数
取整函数
不等式:
复合函数
概念
两个函数能复合的条件是a函数的值域与b函数的定义域的交集不为空
反函数
概念
不是每个函数都有反函数,有没有反函数关键在于:对任意一个y都有唯一的一个x与之对应,如y=x^3有反函数,而y=x^2没有反函数
单调函数一定有反函数,反之不一定
初等函数
定义1
将幂函数、指数、对数、三角、反三角统称为基本初等函数
定义2
由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数,称为初等函数
函数的性质
单调性
判断方法
定义
一阶导数
奇偶性
定义
奇函数关于原点对称(f(0)=0),偶函数关于y轴对称
奇+奇=奇;偶+偶=偶;奇*奇=偶;偶*偶=偶;奇*偶=奇
周期性
有界性
定义
极限
极限的概念
数列的极限
定义
几何意义
数列的极限与前有限项无关
部分数列与整体数列之间的关系
整体数列收敛,部分数列收敛,反之不然
函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限
需要分左、右极限求极限的问题主要有三种
分段函数在分界点处的极限(在该分界点两侧函数表达式不同)
极限的性质
有界性
数列
如果数列收敛,那么数列一定有界(收敛必有界)
函数
保号性
数列
极限值保数列值
注意不能改为A>=0(A<=0) -> xn>=0(xn<=0)
数列值保极限值
注意不能改为xn>0(xn<0) -> A>0(A<0)
函数
极限值保函数值
函数值保极限值
极限值与无穷小之间的关系
极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
单调有界数列必有极限
单调增、有上界的数列必有极限
单调减、有下界的数列必有极限
无穷小量
概念
无穷小量是一个极限,并且极限为0,无穷小量不是一个很小的数,它描述的是一个过程
无穷小的比较
高阶
低阶
同阶
等价
无穷小的阶
无穷小的性质
有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
无穷小量与有界量的积仍是无穷小量
无穷大量
概念
无穷大量是一个极限,并且极限为无穷,无穷大量不是一个很大的数,它描述的是一个过程
常用无穷大量比较
无穷大量的性质
两个(有限个)无穷大量的积仍为无穷大量
无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
无穷大量与无界变量的关系
无穷大量->无界变量,反之不成立
无穷小量与无穷大量的关系
求极限
常用求极限8种方法
利用基本极限求极限
常用基本极限
利用等价无穷小求极限
代换原则
乘除关系可以换
加减关系在一定条件下可以换
利用有理运算法则求极限
该结论适用于极限、导数、积分以及级数
常用结论
利用洛必达法则求极限
使用条件
利用泰勒公式求极限
利用夹逼原理求极限
利用单调有界准则求极限
利用定积分定义求极限
函数的连续性
连续性的概念
定义
f(x)连续等价于f(x)左连续且右连续
间断点及其分类
定义
分类
第一类间断点
左右极限均存在的间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
左右极限中至少有一个不存在
连续性的运算与性质
连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数
连续函数的复合仍为连续函数
基本初等函数在其定义域内是连续的
初等函数在其定义区间内是连续的
闭区间上连续函数的性质
有界性定理
若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界
最值定理
若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值
界值定理
零点定理
导数与微分
导数与微分的概念
导数的概念
微分的概念
定义
可微与可导的关系
导数与微分的几何意义
导数的几何意义
简单来说就是表示某点切线的斜率
微分的几何意义
简单来说就是某点切线上的增量
图示
连续、可导、可微之间的关系
反例,|x|
导数公式与求导法则
基本初等函数的导数公式
求导法则
有理运算法则
复合函数求导法
隐函数求导法
反函数的导数
参数方程求导法
对数求导法
高阶导数
定义
常用高阶导数公式
微分中值定理与导数应用
微分中值定理建立了原函数与导数之间的关系
微分中值定理
费马引理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
皮亚诺余项泰勒公式
拉格朗日型泰勒公式
异同
共同点
多项式逼近
描述的是f(x)和f(x)的n阶导数的关系
不同点
条件不同,皮是n阶可导,拉是n+1阶可导
余项不同
使用
皮主要用于解决局部
极限
极值
拉主要用于解决全局
最值
不等式
导数的应用
函数单调性
函数的极值
定义
定理1
定理2
定理3
函数的最值
求连续函数f(x)在[a,b]上的最值
第一步:求出f(x)在(a,b)上的驻点和不可导点
第二步:求出函数值
第三步:比较以上各点函数值
曲线的凹凸性
定义
若在区间I上
拐点
拐点是曲线上的一点,代表的是凹凸的变化
拐点的判定是在极值判定上再提升一阶
曲线的渐近线
曲线的弧微分和曲率
曲率
曲率半径
积分
不定积分
不定积分的概念与性质
原函数
不定积分
不定积分的几何意义
原函数存在定理(满足其一即可)
1、若f(x)在区间上连续,则f(x)在区间I上一定存在原函数
2、若f(x)在区间I上有第一类间断点,则f(x)在区间I上没有原函数
不定积分性质
不定积分基本公式
三种主要积分法
不定积分计算
第一类换元法(凑微分法)
第二类换元法
分部积分法
适用两类不同函数相乘
三类常见可积函数的积分
有理函数积分
一般法
特殊方法(加项减项拆或凑微分降幂)
三角有理式积分
一般方法(万能代换)
特殊方法(三角代换)
简单无理函数积分
注意,根号下是一次的
定积分
定积分的概念
定义:简单来说定积分就是一个合式的极限,其几何意义为曲线与x轴围成的面积(x轴上方为正,下方为负)
定积分存在的充分条件(满足其中一个即可)
f(x)在[a,b]上连续——连续能推出可积,可积推不出连续
f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点——可积可推出有界,有界推不出可积
f(x)在[a,b]仅有有限个第一类间断点
定积分的性质
不等式
中值定理
积分上限的函数
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
换元法
分部积分法
利用奇偶性、周期性
定积分应用
几何应用
平面图形的面积
二重积分被积函数为1
旋转体体积
曲线弧长
旋转体侧面积
物理应用
压力
变力做功
引力
反常积分
无穷区间上的反常积分
定义
比较判别法
大的收敛->小的收敛
小的发散->大的发散
极限判别法的极限形式
常用结论
无界函数的反常积分
定义
比较判别法
极限判别法的极限形式
常用结论
常微分方程
常微分方程的基本概念
一阶微分方程
可分离变量的方程
齐次方程
线性方程
通解
伯努利方程
转化为线性方程
全微分方程
判定
可降价的高阶方程
高阶线性微分方程
线性方程解的结构
齐次方程
非齐次方程
判断线性无关
两个特解相除不恒等于一个常数
常系数齐次线性微分方程
特征方程
通解
常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程
多元积分学及其应用
三重积分
定义
性质
计算
直角坐标
先一后二
先二后一
柱坐标
球坐标
奇偶性
变量对称性
曲线积分
对弧长的线积分(第一类线积分)
定义
性质
与方向无关
计算
直接法
奇偶性
对称性
对坐标的线积分(第二类线积分)
定义
性质
与方向有关
计算(平面)
直接法(代入)
格林公式
补线用格林
利用线积分与路径无关
判定
计算
更换路径
利用原函数
计算(空间)
直接法
斯托克斯公式
曲面积分
对面积的面积分
定义
性质
与积分曲面方向无关
计算方法
直接法
奇偶性
对称性
对坐标的面积分
定义
性质
与积分曲面方向有关
计算方法
直接法(代入)
高斯公式
多元积分应用
场论初步
方向导数(数量)
梯度(向量)
最大的方向导数的方向
散度
旋度
向量代数与空间解析几何及 多元微分学在几何上的应用
向量代数
数量积(点乘)
垂直
向量积(叉乘)
平行
混合积(先叉乘后点乘)
平行六面体体积
空间平面与直线
平面方程
直线方程
平面与直线的关系
利用平面的法向量和直线的方向向量
点到面的距离
曲面与空间曲线
曲面方程
空间曲线
常见曲面
旋转面
柱面
二次曲面
圆锥面
椭球面
球面
旋转抛物面
投影
实际上是直线所在平面与投影平面的交线
步骤
求投影平面的法向量
求直线方向向量与投影平面法向量的叉乘
点法式求出直线所在平面
两平面方程联立求出交线即为投影
多元微分在几何上的应用
曲面的切平面与法线
曲线的切线与法平面
无穷级数
常数项级数
概念与性质
概念
部分和取极限
性质
在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性
收敛级数加括号仍收敛且和不变
级数的敛散准则
正项级数
基本定理
比较判别法
大的收敛->小的收敛
小的发散->大的发散
比较判别法的极限形式
比值法
根值法
积分判别法
交错级数
任意项级数
绝对收敛和条件收敛概念
基本结论
幂级数
幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域
定义
定理1(阿贝尔定理)
定理2
定理3
定理4
幂级数的性质
有理运算性质
分析性质
函数的幂级数展开
傅里叶级数
傅里叶系数与傅里叶级数
收敛定理(狄利克雷)
周期为2l的函数展开
二重积分
概念及性质
概念
性质
不等式
中值定理
计算
直角坐标
极坐标
利用对称性和奇偶性计算
利用变量对称性计算
多元函数微分学
多元函数的基本概念
多元函数的极限
概念
多元函数极限仍满足以下性质
局部有限性
保号性
有理运算
极限与无穷小的关系
夹逼性
不能使用洛必达
,一般情况下
A的次方高于B的次方,极限为零
A的次方高于B的次方,极限不存在
A的次方高于B的次方,极限为无穷
多元函数的连续性
概念
连续函数的性质
多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零),仍为连续函数
多元连续函数的复合函数也是连续函数
多元初等函数在其定义区域内连续
最大值定理
有界闭区域D上的连续函数在区域D上必定能取得最大值与最小值
介值定理
有界闭区域D上的连续函数在区域D上必定取得介于最大值与最小值之间的任何值
偏导数
定义
全微分
定义
可微的必要条件
说明可微可以推出可导,但可导推不出可微
如何判定可微性
1、判定偏导数是否都存在
可微的充分条件
偏导数存在且连续则可微
连续、可偏导与可微之间的联系
多元函数微分法
复合函数微分法
隐函数微分法
公式法
两边同时求导
全微分
多元函数的极值与最值
无约束极值
定义
极值的必要条件
两个前提:在某点处偏导数存在,且取得极值,结论:偏导数的值为零(对x,对y都为0)
极值的充分条件
条件极值与拉格朗日乘数法
最大最小值