高等数学 第一章函数 极限 连续 思维导图

高数基础，第一章的思维导图，参考武忠祥的高数基础书做的。高等数学主要分为：极限、微积分、解析几何、级数和微分方程五大块。其中微积分为重中之重，可以称得上是近现代科学之基石。而极限则是微积分的基础，所以理解并掌握极限精髓的重要性不言而喻。

第一章 函数 极限 连续

函数

复合函数

概念

定义域、对应法则

复合函数

f[g(x)]

反函数

y=f(x) 反成x=

初等函数

幂/指数/对数/三角/反三角 函数

函数性态

单调性

奇偶性

奇（偶）土 奇（偶）= 奇（偶）

奇（偶）x 奇（偶）= 偶

奇 × 偶 = 奇

奇函数 积分 是偶函数 偶函数 积分 满足 F(0)+C=0,才是奇函数

f(x) - f(-x) 是 奇 f(x) + f(-x) 是 偶

周期性

最小正周期T

sinx,cosx 周期 2π sin2x,|sinx|,tanx, cotx 周期 π

f(x) 周期 T，则 f(ax+b) 周期 T ／ |a|

有界性

极限

极限的概念、性质及存在准则

慨念

数列的极限

函数的极限

自变量 趋于 ∞

自变量 趋于 有限值x。

左、右极限（3种）

分段函数的分界点

e的∞次方

arctan∞

性质

有界性

数列 收敛 → 有界 反之不成立 [Xn＝(-1)ⁿ]

f(x) 在 x → x。极限存在，则 f(x) 在 x。的 某去心邻域 有界（即局部有界）

保号性

数列

函数

极限值与无穷小的关系

存在准则

夹逼准则 用于n项和的极限

单调有界准则 用于xₐ₊₁＝f(xₐ)

求极限（8种）

基本极限

等价无穷小

有理运算法则

洛必达

泰勒公式

夹逼准则

单调有界准则

定积分定义

无穷小量阶的比较

无穷小量

慨念

比较

高阶 ＝0

低阶 =∞

同阶 ＝C≠0

等价 =1

无穷小的阶 比去K次= C≠0,K阶无穷小

性质

有限个 无穷小 的和 仍是 无穷小

有限个 无穷小 的积 仍是 无穷小

无穷小量 与 有界量 的积 仍是 无穷小

无穷大量

慨念

比较

x→∞， lnx的α次方 << x的β次方 << a的x次方 , 其中α>0, β>0, a>1

n→∞， ln n的α次方 << n的β次方 << a的n次方 << n! << n的n次方 , 其中α>0, β>0, a>1

性质

有限个 无穷大量 的积 仍为 无穷大量

无穷大量 与 有限变量 的和 仍为 无穷大量

无穷大量与无界变量的关系

无穷大量 必为 无界变量 无界变量 不一定是 无穷大量

无穷大量与无穷小的关系

同一极限过程，f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小 f(x)是无穷小，且f(x)≠0,则1/f(x)是无穷大

函数的连续性

讨论连续性及间断点类型

连续性概念

间断点及其分类

定义

分类

第一类间断点

可去

跳跃

第二类间断点

无穷

振荡

介值定理、最值定理 及零点定理的证明题

连续性的运算与性质(4个定理）

闭区间上连续函数的性质

最值定理

有界性定理

介值定理

零点定理

第一章 函数 极限 连续

函数

复合函数

概念

定义域、对应法则

复合函数

f[g(x)]

反函数

y=f(x) 反成x=

初等函数

幂/指数/对数/三角/反三角 函数

函数性态

单调性

奇偶性

奇（偶）土 奇（偶）= 奇（偶）

奇（偶）x 奇（偶）= 偶

奇 × 偶 = 奇

奇函数 积分 是偶函数 偶函数 积分 满足 F(0)+C=0,才是奇函数

f(x) - f(-x) 是 奇 f(x) + f(-x) 是 偶

周期性

最小正周期T

sinx,cosx 周期 2π sin2x,|sinx|,tanx, cotx 周期 π

f(x) 周期 T，则 f(ax+b) 周期 T ／ |a|

有界性

极限

极限的概念、性质及存在准则

慨念

数列的极限

函数的极限

自变量 趋于 ∞

自变量 趋于 有限值x。

左、右极限（3种）

分段函数的分界点

e的∞次方

arctan∞

性质

有界性

数列 收敛 → 有界 反之不成立 [Xn＝(-1)ⁿ]

f(x) 在 x → x。极限存在，则 f(x) 在 x。的 某去心邻域 有界（即局部有界）

保号性

数列

函数

极限值与无穷小的关系

存在准则

夹逼准则 用于n项和的极限

单调有界准则 用于xₐ₊₁＝f(xₐ)

求极限（8种）

基本极限

等价无穷小

有理运算法则

洛必达

泰勒公式

夹逼准则

单调有界准则

定积分定义

无穷小量阶的比较

无穷小量

慨念

比较

高阶 ＝0

低阶 =∞

同阶 ＝C≠0

等价 =1

无穷小的阶 比去K次= C≠0,K阶无穷小

性质

有限个 无穷小 的和 仍是 无穷小

有限个 无穷小 的积 仍是 无穷小

无穷小量 与 有界量 的积 仍是 无穷小

无穷大量

慨念

比较

x→∞， lnx的α次方 << x的β次方 << a的x次方 , 其中α>0, β>0, a>1

n→∞， ln n的α次方 << n的β次方 << a的n次方 << n! << n的n次方 , 其中α>0, β>0, a>1

性质

有限个 无穷大量 的积 仍为 无穷大量

无穷大量 与 有限变量 的和 仍为 无穷大量

无穷大量与无界变量的关系

无穷大量 必为 无界变量 无界变量 不一定是 无穷大量

无穷大量与无穷小的关系

同一极限过程，f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小 f(x)是无穷小，且f(x)≠0,则1/f(x)是无穷大

函数的连续性

讨论连续性及间断点类型

连续性概念

间断点及其分类

定义

分类

第一类间断点

可去

跳跃

第二类间断点

无穷

振荡

介值定理、最值定理 及零点定理的证明题

连续性的运算与性质(4个定理）

闭区间上连续函数的性质

最值定理

有界性定理

介值定理

零点定理