图形的运动与变化--考点全析

初中数学压轴题常考点，结合函数考察，经常难倒大片学生。常见的图形运动有三种:旋转、平移和翻折。运动变化问题正是利用它们变化图形的位置，引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题。这类问题注重培养学生用动态的观点去看待阅题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力及推理能力的锤炼。

图形的运动与变化

• 图形的平移
  • 图形的平移
    • 平移的概念
    • 平移的性质
      • 对应线段平行或共线，且相等
      • 对应角相等
      • 对应点所连线段平行或共线，且相等
      • 新图形与原图形是一对全等图形.
    • 平移作图
  • 平移变换综合
• 图形的对称
  • 轴对称
    • 轴对称图形
    • 成轴对称
    • 【注意】成轴对称图形是两个图形之间的关系。
    • 轴对称的性质
      • 成轴对称的两个图形全等
      • 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
    • 轴对称作图
      • ①一找：找对称轴
      • ②二画：画对称点
      • ③三连：连线得到成轴对称的图形
    • 镜面对称
    • 剪纸问题
  • 垂直平分线
    • 概念
      • 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
    • 性质
      • 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
    • 判定
      • （1）定义法：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
      • （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
        • 书写格式：∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上
  • 中心对称
    • 中心对称图形
    • 成中心对称
    • 中心对称指两个全等图形之间的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称
    • 中心对称的性质
      • ①关于中心对称的两个图形是全等形。
      • ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
      • ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
    • 中心对称作图
  • 将军饮马问题
    • 一次、两次对称，线段最短，或三角形、四边形周长最小
    • 多条折线和最小
      • 【解题诀窍】将定点分别关于两边对称，最后连接两个对称点，折线共线时，此时多条折线和最小【注意】两定点要选择离它们最近的边对称
    • 逆等线最值问题
      • 核心方法利用等线段构全等（利用SAS构造），从而将三角形的两条边拼接。
  • 对称变换综合
    • 【解题诀窍】 ①对称前后对应边相等，对应角相等； ②利用勾股定理，相似，锐角三角函数进行计算。
    • 【注意】对称之后产生的特殊角和线段之间数量关系的应用
• 图形的旋转
  • 图形的旋转
    • 旋转的概念
      • 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向
    • 旋转对称图形
      • 把图形绕着一个定点旋转一定角度（旋转角0°＜α＜360°）后，能与初始图形重合即为旋转对称图形。当只有旋转180°后能与自身重合的，称之为中心对称图形。
      • 常见示例： 长方形、正方形、圆、平行四边形
      • 中心对称与中心对称图形
        • 成中心对称的，是描述两个图形的关系；中心对称图形是描述一个图形自身的特性。
    • 旋转的性质
      • 图形与原图形是全等
      • 前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等
      • 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角
      • 【注意】计算线段过程中遇到特殊角，既需要倒线段，同时也要注意倒角
    • 旋转作图
      • ①连：连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：把连线按要求绕旋转中心转过一定角度；③截：在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④连：连接所得到的各点．
      • 【注意】旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点。 （可用于知道新图原图，找旋转中心）
    • 利用性质求解问题
      • 求旋转角度
        • 方法要点：对应点与对称中心连线的夹角
      • 求线段长
        • 方法要点：①直接比较计算对应边②利用勾股定理计算③利用三角形全等证明，结合勾股定理计算
      • 证明线段相等问题
        • 方法要点：①通过旋转将分散线段合一起证明②通过旋转性质利用三角形全等证明
      • 求图形的面积
        • 方法要点：①通过旋转将分散面积合在一起②将不规则图形利用对称、分割添补变为规则图形
      • 利用中心对称的性质
  • 旋转模型
    • 旋转变换综合
      • 本质上是全等变换，根据全等的性质去归纳理解
      • 将某一图形（或图形一部分）绕定点旋转一个定角（45°、60°、90°等），使得某些元素相对集中（构造新的规则图形），以利于解决问题。
    • 手拉手模型
    • 丫型图
    • 爪型图
    • 半角模型
    • 对角互补模型
    • 最值问题
• 投影与视图
  • 投影
    • 平行投影
    • 中心投影
  • 三视图
    • 由几何体确定三视图
    • 由三视图确定几何体
    • 由三视图确定正方体个数
    • 由三视图求几何体的表面积
    • 由三视图求几何体的体积
• 锐角三角函数
  • 锐角三角函数
    • 概念
    • 特殊三角函数
  • 解直角三角形
    • 解直角三角形
    • 实际应用
  • 胡不归问题
• 图形的相似
  • 图形的相似
    • 比例的基本性质
    • 成比例线段
    • 黄金分割
    • 相似图形的概念
      • 【常见考法】 ①识别相似图形：形状相同可以理解为等比例地放大或缩小 ②利用相似图形的性质进行计算：找准对应边，对应角
    • 相似多边形的性质
      • 对应角相等
      • 相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
      • 相似多边形的周长的比等于它们]的相似比，面积的比等于相似比的平方。
  • 相似三角形
    • 有关概念
    • 相似三角形的判定
    • 相似三角形的实际应用
      • 【解题技巧】 ①构造出A字、8字相似三角形 ②通过相似三角形对应边成比例，设元列方程解方程。 【注意】 ①相似三角形找准对应边
    • 相似三角形存在性问题
    • 相似三角形与动点问题（非存在性）
      • 【解题步骤】 ①先用未知数表示线段长度； ②分类讨论，通过顶点的对应关系，找到全部情况； ③利用对应边成比例求出结果。 【注意】对计算结果进行合理取舍
  • 位似
    • 注意事项
      • 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有两个位似中心。）； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
  • 相似三角形模型
  • 瓜豆原理
    • 直线型
    • 圆弧型
• 图新的全等
  • 全等三角形
  • 全等三角形的性质与判定
  • 角的平分线
  • 角平分线模型
  • 全等三角形模型
  • 概要