导图社区 高考数学思维导图
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高考数学思维导图
高考数学全内容思维导图，适合打印出来贴在墙上看。包含所有必考点和扩展技巧，干货满满，有需要的朋友赶紧收藏吧！
编辑于2024-03-10 18:04:04- 做题技巧
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高考数学 思维导图
基本运算
集合
集合性质：互异性、无序性、确定性
属于和不属于
子集，真子集的判断和个数
空集是所有集合的子集
常见数集
自然数集： N ，正整数集： * N 或+ N ， 整数集： Z ，有理数集： Q ，实数集： R
交集，并集，补集运算
要求
数学语言翻译
比如：
求参数
集合关系求参数
两集合相等求参数
点集
韦恩图
逻辑
命题
两个命题互为逆否命题，其真假性相同 两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系
充分必要
逻辑词语
或
且
非
全称量词，存在量词
要求： 逻辑的知识点在高考中会涉入任何阶段的内容，几乎不可能出现单个逻辑题
指数对数运算
要求
基本运算
比较大小
简单比较
辅助数比较
函数图比较
除，减比较
构造函数比较
糖水不等式
常见数值：
泰勒展开（外挂）
不等式
一元二次不等式
二次函数图像
十字相乘
配方法
韦达定理
换元十字相乘
基本不等式
最大值，最小值
1的代换
线性规划
确定区域
直线函数的最值
圆的最值
其他扩展条件
复数
纯实数，纯虚数
多次方
i 的多次方
自己寻找多次方规律
数学语言翻译
比如
复平面
简单判断象限
函数图像扩展
向量
带入无穷小点或者无穷大点排除
要求
模，数量积，平行，垂直等基本运算
坐标计算
直角坐标系
自己基地坐标
几何分析
排列组合
单个事件
可重复
不可重复
考虑顺序用A
不考虑顺序用C
多个事件
独立事件相乘
互斥事件相加
思路
来源不同，先C后A
特殊要求优先解决
相邻问题-捆绑法
不相邻问题-插空法
排数字问题
染色问题
二项式展开
求所有系数之和，变量写为1
二项式系数三角形对称关系（杨辉三角）
考法
基础的二项式求系数
单个展开
两项乘积展开
两项加法展开
括号里面有三个元素
换元展开
比如
求n
二项式系数之和，所有系数之和
系数最大值
创新题
程序框图
基本运算题库： 2023 全国 1 （1，2，3，9，10，13，） 2023 全国 2（1，2，3，13） 2023 甲（1，2，3，4，5，9，14） 2023 乙（1，2，5，7，14） 2022 全国 1（1，2，3，5，7，13） 2022全国 2（1，2，4，5，12） 2022 甲（1，3，12，13） 2022 乙（1，2，3，6，13） 2021 全国 1（1，2，10） 2021 全国 2（1，2，3，7，15） 2021 甲 （1，3，4，10，14） 2021 乙（1，2，3，6，8，12，14） 2020全国1（1，2，8，12，13，14） 2020全国2（1，11，13，14，15，16） 2020全国3（1，2，4，6，12，13，14，16） 2019全国1（1，2，3，6，7，8） 2019全国2（1，2，3，4，6，7） 2019全国3（1，2，3，4，9，13）
函数和导数
概念与性质
定义域
多个定义域限制要一个个求出来取并集
求函数解析式
代入法
换元法
待定系数法
配凑法（观察法）
方程组法
赋值法
单调性
增+增=增，减+减=减
复合函数,f和g同增异减
导函数大于零则原函数增，导函数小于零则原函数减
奇偶性
复合函数f(g(x))中有一个偶就全部偶，两个奇才是全部奇
判断方法
画图
带入f(-x)
扩展
周期性
双对称可以推出周期
零点
零点判定问题
零点的定义
零点区间判断
零点个数问题
单个零点，先确定函数单调性
若单调递增或递减函数，那只有一个零点，可以用区间方法判断
若没有单调性，用f(x)max,min=0确定唯一零点
多个零点
零点问题变为两个函数图像交点问题，比如
导数
概念
运算
复合函数的导数
应用
判断增减性
导函数正原函数增，导函数负原函数减
导函数等于0的点是极值点
判断极值，最值
无参数函数的极值，最值
一次导
一次导函数是原函数的斜率
二次导
二次导函数是一次导函数的斜率
有参数函数的极值，最值
导函数无零点
导函数有零点
单个零点
多个零点
不等式证明
基本思路
把不等式构造为函数
确定函数形式和判断条件，比如f(x)>2,看成f(x)min>2
求导分析函数图像
带
看见ln 先说明定义域，求值的时候倾向于把ln变没的值 比如lne,ln1等等 看见e 倾向于把e变没的值 比如e的零次方
含参数不等式证明
有几个整数解问题
零点问题
讨论最值高于或低于x轴
求切线方程
某点处的切线
过某点的切线
公切线
高难度扩展
函数构造法
同构法
放缩法
极值点偏移
函数图像
基本函数
幂函数
指数函数
对数函数
对勾函数
双撇函数
函数加工
平移（左加右减，上加下减）
缩小扩大
x轴变换
左右翻转
y轴变换
上下翻转
复合函数
内函数g的y是外函数f的x
分段函数
每个单个分段单独画，只取相应区间部分
判断函数图像问题
判断奇偶性排除
带入点排除
判断增减性排除
求导排除
函数和导数题库： 2023全国1（4，11，19） 2023全国2（4，6，11，22） 2023甲（13，21） 2023乙（4，16，21） 2022全国1（7，10，12，15，22） 2022全国2（8，14，22） 2022甲（5，6，12，21） 2022乙（12，16，21） 2021全国1（7，13，15，22） 2021全国2（8，14，16，22） 2021甲（12，13，21） 2021乙（4，10，12，20） 2020全国1（5，6，21） 2020全国2(9,21) 2020全国3(10,16,21) 2019全国1(5，11，13，20) 2019全国2（12，14，20） 2019全国3（6，7，11，20） 2018全国1（5，9，16，21） 2018全国2（3，11，13，21） 2018全国3（7，14，21） 2017全国1（5，21） 2017全国2（11，21） 2017全国3（11，15，21） 2016全国1（7，21） 2016全国2（12，16，21） 2016全国3（15，21）
三角函数
概念
基本公式
诱导
两角合差
二倍角
降次
完全平方
辅助角
积变合差
和差变积
万用公式
构造tan
比如
画直角三角形（某个角的sin cos tan转化）
比如，要看象限取正负
三角函数图像
原图
画图方法：将原图的远点平移的位置画出来（最初位置），然后以四分之一的周期左右扩展
对称轴一定去最值，两个对称轴之间的距离是二分之一周期
单调区间的长度不超过半个周期
解三角形
常规公式考法
比例问题
角化边，边化角
多个三角形
向量法
2023全国1（8，15，17） 2023全国2（7，16，17） 2023甲（7，10，16） 2023乙（6，9，10，18） 2022全国1（6，18） 2022全国2（6，9，18） 2022甲（5，8，11，16） 2022乙（15，17） 2021全国1（4，6，10，19） 2021全国2（4，18） 2021甲（8，9，16） 2021乙（7，9） 2020全国1（7，9） 2020全国2（2，10，17） 2020全国3（7，9） 2019全国1（11，17） 2019全国2（9，10） 2019全国3（12，18） 2018全国1（16，17） 2018全国2（6，10，15） 2018全国3（4，9，15） 2017全国1（9，17） 2017全国2（14，17） 2017全国3（6，17）
数列
数列通用性质
按照顺序排列的一列数——数列 注意：等差和等比只是数列的某种特殊形式
数列的表达
通项表达
示数表达
递进表达
方程组表达
比如
前n项之和
前n项之积
等差数列
扩展
等差数列通项公式是直线函数形式
等差数列前n项和是二次函数形式 问最值问题的时候分析二次函数
偶项之和，奇项之和
等比数列
扩展
等比数列通项公式是指数函数模型 前n项和的模型为
求通项公式
等差，等比数列套公式
累加法
累乘法
构造数列
周期数列
数列求和
等差，等比数列套公式
分组求和
错位相减
用在等差和等比数列相乘或相除问题上
正规步骤
第一步：列出Sn
第二步：全线乘等比部分的q后写出新方差，组成方程组
第三步：两方程互减
第四步：整理求Sn
作弊公式
用法：让n=1,2分别写出两个方程组成方程组求A,B后带回，不可以写在答题卡上，要再正规步骤第三步后写结果
倒序求和
并项求和
比如
裂项求和
主要用第一第二个公式，先把通项公式裂出来再求和，跨项相反数相互约掉整理剩下的
数列证明题
数列应用题/创新题
题库： 2023全国1（7，20） 2023全国2（8，18） 2023甲（5，17） 2023乙（10，15） 2022全国1（17） 2022全国2（17） 2022甲（17） 2022乙（4，8） 2021全国1（17） 2021全国2（12，17） 2021甲（18） 2021乙（19） 2020全国1（17） 2020全国2（6，12） 2020全国3（17） 2019全国1（9，14） 2019全国2（19） 2019全国3（5，14） 2018全国1（4，14） 2018全国2（17） 2018全国3（17） 2017全国1（4） 2017全国2（15） 2017全国3（9，14）
平面解析几何
直线
直线的表达
找直线
点斜式
两点式
截距式
直线距离
计算距离
两点距离
点线距离
两线距离
对称问题
点对某直线对称问题
圆对某直线对称问题
圆
表达形式
求圆
圆有三个未知量，可以用三个点列方程组求
按照圆心到圆上的点的距离是半径来求，一般结合画图分析
利用弦长跟圆的关系来求
圆和直线的关系
相离
相切
相交
圆和圆的关系
圆的弦关系
圆相关的切线方程
圆上某点处的切线
过圆外某一点的切线（两条）
圆与相离直线最近距离和最远距离
椭圆
基本
焦距2c，长轴长2a，短轴长2b
几何性质
焦点三角形求离心率
几何性质
二级结论
双曲线
基本
焦点到准线的垂直距离等于b
几何性质
二级结论
抛物线
基本
轨迹问题
翻译图像性质求轨迹方程
设动点带入条件求轨迹方程
立体几何
图形的体积和面积
类型
柱体
圆柱
棱柱
直棱柱：高垂直于底面
正棱柱：底面为正多边形
锥体
圆锥
棱锥
台体
球
考法
三视图
外接球
长方体（长宽高a,b,c）外接球半径
正方体（边长a）外接球半径
上下对称的几何体高为h,底面外接圆半径为r,则外接球半径
正四面体外接球半径
内切球
正四面体内切球半径
球内距离，和球的截面
空间几何证明
线面平行证明
线平行面上的一个直线
也就是把线面平行问题转化为线线平行问题，线线平行主要有三角形中位线方法和平行四边形方法
线面垂直证明
线垂直面上的两个相交直线
当已知两个平面垂直，一个平面上的线垂直与这两个面的交线的话，那这个直线垂直于另一个面
面面平行证明
一个面上的两个相交直线平行于另一个面
面面垂直证明
一个面上的某个直线垂直于另一个面
线线垂直证明
同面直线:找角，向量法
异面直线：
共面证明
两个直线相交
两个直线相平行
空间直角坐标系
基本方法
建立坐标系
保证三个轴两两垂直
保证三个轴的顺序正确（右手四指从x往y轴握拳后拇指为z轴）
尽量让图像的边平行或垂直与三个轴
算出需要的长度
确定需要各点的坐标并表达需要向量
线线角
取正数
线面角
求法向量（在坐标法求空间角时，求面的法向量是必走步骤）
设该平面法向量为
由于法向量垂直于该平面，所以法向量垂直于该平面上的所有直线，只需要取平面上的两个直线就行，比如
正规求法
快算技巧
该方法对高考来说超纲，所以不能把该步骤写在答题卡上，只能快速求结果用
求线和法向量的夹角（取正数）
把线和法向量的夹角转换成线和面的夹角
二面角
点线距离
点面距离
两个异面直线距离
两个平行面距离
按照点面距离来算
概率统计
统计
收集数据
抽样调查
随机抽样（对象少，随机抽）
系统抽样（对象多，有序，等距抽，符合等差数列规律）
分层抽样 （对象多，按某类别有较大差别，就按此类别分层抽，总数里面每个个体被抽到的概率等于各个分层每个个体被抽到的概率）
整理数据
制作图表
频率分布直方图
比如这个图，组距为2（横坐标单个柱的长度），纵坐标是频率/组距。 所以频率是单个柱子的横坐标乘于其纵坐标（单个柱子的面积） 平均值是每个柱子的频率（面积）乘于该柱子横坐标中间值，依次全部相加 方差是每个柱子中间值减去平均值后平方，然后乘于这个柱子的概率（面积），依次全部相加 中位数是以平均值的方法算到0.5的面积后停止（如果取80% 那就算到0.8的面积）
散点图（折线图）
茎叶图
比如12，13，14等数字的十位写在茎，把个位数写在叶上
方面一眼就能判断两组数字的平均值和方差大小比较，方便算中位数
饼形图
分析数据
平均数
方差，标准差
中位数
按顺序排列后取中间的数字（如果中间有两个数字那就取这两数字的平均）
极差
最大值和最小值的差距
众数
重复性最多的数字
统计推断，出决策
独立性检验（联系的把握程度）
相关性系数r r>0正相关 r<0负相关 |r|=<1 若|r|>=0.75则有很强的相关性
线性回归方程
一元线性回归
一元非线性回归
一元线性回归方程是直线函数型的，也有指数或者对数函数，或其他函数类型的回归方程。只要求出要求函数型的系数就可以得到回归方程。其他情况下如何求系数题目会提供
概率
关系
样本空间
要求事件的所有可能性的集合
并事件
交事件
对立
条件概率
全概率
概率模型
古典概率
几何概率
分布列
分布列的期望值，方差(通用规则)
随机分布
没有特殊规律，要逐题分析分布列
二项式分布
一个事件只有成功或失败两种结果，单次发生成功的概率为P,失败的概率为1-P，则n次试验后成功k次的概率为
超几何分布
若暗箱子里有N个糖果，里面的M个是坏的，若一次拿n个糖，之中k个是坏糖的概率：
正态分布
题型
选取类
计分类
比赛类