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自考小学教育0411小学数学教学论
自考小学教育，整理内容有： 一、小学数学课程目标 二、小学数学课程内容 三、小学数学学习概论（一） 四、小学数学学习概论（二） 五、小学数学的教学过程与教学原则 六、小学数学教学方法 七、小学数学教学的组织 八、小学数学教学评价 九、数学思维与数学思维能力的培养 十、小学数学教学中非智力因素的培养 十一、概念教学 十二、计算教学 十三、应用题教学 十四、几何初步知识教学 十五、小学数学教师
编辑于2023-05-27 14:36:02 四川省- 自考小学教育
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0411小学数学教学论
一、小学数学课程目标
第一节 数学发展简史概述
著名数学家华罗庚把数学称为一门古老而又年轻的科学。
萌芽时期
公元前600年以前
初等数学时期
公元前600年到17世纪中叶
从此，数学从具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段，数学逐步成为独立的演绎的学科。
变量数学时期
17世纪中叶到19世纪20年代
恩格斯在《反杜林论》中说过，数学的转折点是笛卡尔的变量。
近代数学时期
19世纪20年代到第二次世界大战
现代数学时期
第二次世界大战以后
数学的发生和发展，归根结底是生产实践决定的。
第二节 数学在小学教育中的地位和作用
华罗庚十分精辟的指出：宇宙之大，粒子之微，火箭之速…无处不用数学。
数学课程的性质可谓三位一体，它是基础课，工具课又是文化课。
从小学好数学，就能为学生进一步的学习奠定良好的基础，为他们将来在适应转瞬变化的现代社会中，较好地应用数学工具创造必要的条件。
数学，对于提高民族素质，对21世纪我国经济的腾飞，社会的发展培养全面发展的各级各类合格人才具有重要的作用。
第三节 制定小学数学课程目标的依据
一、小学教育的培养目标
小学数学教学必须促使学生在德、智、体诸方面获得和谐全面的发展，不仅使学生掌握数学的基础知识和基本技能，还要发展学生的观察力，思考力和想象力，让他们思维灵活，勇于探索，善于思考，敢于创新；要培养计算、初步的数学思维和空间观念等数学能力，使他们能开始用数字眼光观察和处理周围的某些事物，尤其能运用所学的数学知识解决一些简单的实际问题，要结合数学内容进行思想品德教育，激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯，学会良好的学习方法，同时，还必须遵循教学规律，减轻学生过重的负担，使他们能主动地去学习，使身心得到健康发展。
二、数学学科的特点
抽象性
逻辑性
应用的广泛性
三、小学生的认知发展水平
它决定着小学数学教学中基础知识的广度，深度和学生的数学能力。
第四节 小学数学课程目标
一、掌握数学基础知识
是小学数学课程的主要任务
小学数学基础知识的范围：算术知识，代数初步知识，几何初步知识，计量初步知识，统计初步知识。
小学数学基础知识的内容：概念，性质，法则，公式，方法。
二，培养初步的数学能力。
物理学家丁肇中教授所说的科学的道路上，只有第一名，没有第二名，第二名就等于最后一名。
初步数学思维能力的培养是核心，解决实际问题的能力是最终目的。
正确的四则运算能力
初步的数学思维能力
数字是锻炼思维的体操，数字思维应该包括逻辑思维和辩证思维。
初步的逻辑思维能力
在进行逻辑思维的过程中，要采用比较，分析，综合，抽象，概括的思维方法。
初步的形象思维能力
形象思维的基本形式主要是表象
初步的直觉思维能力。
初步的空间观念
空间观念是物体的大小形状及其位置关系保留在人脑中的表现
运用所学知识解决简单的实际问题的能力
理解知识，掌握知识的目的在于应用。
三，培养良好的思想品德。
第五节 从教学大纲看我国小学数学课程目标的演变。
一、教学大纲概述
教学大纲有四方面的指导作用
第一，教学大纲是教学质量评估的依据。
第二，教学大纲是教材编写的依据。
第三，教学大纲是教师进行教学的依据
第四，教学大纲是考试命题的依据。
二、建国前的小学算术课程目标
1903年颁布的《奏定学堂章程》是我国近代史上第一个以法律形式颁布的、并在全国推行的学制
三，建国后的小学数学课程目标。
第一阶段：百废待兴。
第二阶段：全面学习苏联
第三阶段：改革后的“精雕细刻”
第四阶段，：拨乱反正，适应四个现代化的建设
第五阶段：实施义务教育
1992年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》中教学目的包括：
使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础的知识。
使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题。
使学生受到思想品德教育。
四，对我国小学数学课程目标演变的分析
二、小学数学课程内容
学科数学与科学数学的区别和联系
学科数学与科学数学的联系
只考虑数学本身的内容、结构特点及其理论意义、应用价值是科学数学。
在对学生教学时，依据一定的教育教学目的，把数学的内容加以处理，即把数学的内容作为教学过程中的认识对象，这就是学科数学。
无可非议，两者之间联系十分清楚，学科数学的内容是依赖于科学数学而建立和发展的。
学科数学与科学数学的区别
第一，作为科学数学，可以不考虑人们是否理解，只要能完备而精确地阐明某些数学理论即可，所以一般从原理出发，而作为学科的数学，则必须遵循儿童的认知规律和心理特点，所以往往要通过对结构化的物质材料进行操作，或者从日常生活生产中的实例出发，然后由学生自己去发现其间的联系。
第二，作为科学数学对所有的定理、法则等都必须进行严格的论证和推导，而作为学科的数学，鉴于学生的接受水平，往往通过列举一些事例，用不完全归纳得出结论。
第三，作为科学数学，完全按照数学理论的逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均；作为学科数学，在不影响科学性的前提下，兼顾儿童的认知规律，某些内容可做适当调整，其中小数的编排便是一例。
第四，作为科学的数学以完全揭示数量关系和空间形式为目的；而作为学科的数学还要考虑到如何有利于儿童学懂、学会、学活，如何有利于发展智能，有利于进行思想品德教育等。
小学数学教学内容的选取
小学数学教学内容选取的三大依据
选择现代生活和进一步学习所必需的最基础的数学知识
适合小学生的接受能力
根据九年义务教育的学制和小学课程计划设置教学内容
小学数学教学内容选取的四个兼顾
兼顾当今与未来
兼顾“幼小”与“小中”的衔接
兼顾必要与可能
兼顾统一与灵活
小学数学内容的确定
我国小学数学教学内容分以下七个部分：数与计算，量与计量，比与比例，代数初步知识，几何初步知识，统计初步知识和应用题。
1986年制定的《全日制小学数学教学大纲》中提出的“适当精选算术内容，适当增加代数、几何初步知识，适当渗透一些集合、函数、统计等数学思想”的有关内容，做出进一步的调整。
调整的主要方面是
删去部分内容
精简大数目的计算
降低应用题的难度
部分内容改为选学或只学不考
第六，加强数学思考方法的渗透。
小学数学教材的体系结构和编排原则
小学数学教材的体系
从我国教育发展历史来看，小学数学教材体系有单一式和综合式之分。
单一式体系以正整数、正分数以及它们的四则运算为主要内容，不包括代数与几何。
1978年后的教材又增加了代数初步知识，算数更名为数学，名副其实的构成了一个综合式的体系。
小学数学教材的结构
美国著名心理学家布鲁纳认为，教材结构主要指本门学科的基本原理和基本知识。
我们认为，小学数学教材结构是在综合考虑数学本身的逻辑规律以及小学生认识规律和心理发展水平的前提下，用数学的基本概念，基本规律，基本事实和基本方法联系起来的整体，这个整体不是知识、原则的罗列和拼凑，也不是个部分数学知识的简单求和，而是一个上下贯通、纵横交叉、紧密联系的知识网络。
一个良好的小学数学教材结构应有利于知识，方法和态度的迁移。
小学数学教材的编排原则
以整数、小数、分数的基础知识以及四则运算为主线，以数形结合为重点，把个部分内容按其彼此的内在联系进行编排。
由浅入深、循序渐进，适当分散、螺旋上升。
把基本概念、基本规律、基本方法置于教材的中心地位，注意突出重点、分散难点。
寓教育方法于教材编写之中，促进学生的智能发展。
把数学知识和数学应用结合起来
国内外小学数学教材的改革
我国小学数学教材的演进
清末民初到1949年以前
1903年，由商务印书馆依蔡元培先生的计划编了一套《最新教科书》，其中包括《最新初小算术教科书》，这样小学算术课本便正式问世了。
新中国成立后
新中国成立之初，百废待兴，在还没有统一的大纲以前，北方以刘松涛等编的老解放区教材作为算术课本，南方以俞子夷编的教材作为课本。
1952和1956年颁布了两个教学大纲以后，由人民教育出版社据此编写了小学算术课本。
1963年在总结教改经验的基础上，人民教育出版社按照当年颁布的《全日制小学算数教学大纲(草案)》，编写了小学算术课本12册，珠算课本1册。
1978年根据颁布的《全日制十年制小学数学教学大纲(试行草案)》，编写了全国小学通用教材《数学》(适用本)10册
1992年颁布了《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》
我国义务教育教材改革的决策
提倡一纲多本
实行编审分开
逐步建立一支相对稳定的三结合教材编写队伍
大力加强教育科学研究，开展教材评价工作。
国外小学数学内容的改革趋向
精选传统的四则运算，增加近代、现代数学知识，提倡广而浅。
重视现代数学思想方法的渗透
变换思想
模型方法
坐标方法
提倡“问题解决”和数学应用
重视运用计算机（器）进行辅助教学
三、小学数学学习概论（一）
数学学习的含义
学习的本质
广义的学习是人类与动物共有的，是指经验的获得以及行为倾向较持久的变化过程。
经验是客观现实的反映，是人和动物在生活过程中通过实践或训练所获得的知识或技能的反应。
经验可分为两种，一种是总是经验，另一种是个体经验，总是经验，指的是在其发展过程中形成，并已无条件反射活动的形式，在个体身上表现出来的，因此它带有遗传的性质，实际上是一种先天的本能，个体的经验指个体在生活过程中习得的经验，也可称为后天的经验，而个体经验与经验相比要复杂的多，形成的速度快得多。
狭义的学习是指学生在教育情境中的学习，是学生凭借经验产生的，按照教育目标有目的，有组织的进行比较持久的行为倾向的变化过程。
教育情景中的学习与日常生活中的学习是有区别的，主要表现在以下四个方面。
第一，学生获得的经验是前人所积累的科学文化知识及间接经验。
第二，学习是在教师有目的，有计划，有组织的指导下进行的。
第三，用前人的间接经验武装自己，不必事事实践，虽然也要有一些实践活动要取得一定的直接经验，但这种实践活动往往带有验证性。
第四，以明确的教育目标为标准。
数学学习的含义和特点
数学学习的含义
数学学习的本质是学生获取数学知识，形成数学技能和能力的一种思维活动过程。
小学生数学学习的特点
第一，小学生的数学学习是个逐步抽象的、具体形象思维与抽象逻辑思维相互促进的过程
第二，小学生数学学习是一种符号化形式与生活实际相结合的学习
认知学习理论对数学学习的启示。
皮亚杰的发生认识论与数学学习
皮亚杰发生认识论的基本观点
发生认识论
皮亚杰认为，人类的认识并不是起因于有自我意识的主体，也不是起因于客体，而是起因于主体与客体之间的相互作用，主体是通过活动对客体的适应而推动了认识的发展，儿童的认知也是在主体与客体的相互作用之中，逐步建立起来的一系列结构，从而心理才不断产生量与质的变化。
认知发展阶段论
玩儿童的认知发展分为四个主要的阶段
感知运动阶段，零岁到两岁。
前运算阶段，两岁到七岁。
具体运算阶段，七岁到十一二岁。
形式运算阶段，十一二岁到十四五岁。
皮亚杰的发生认识论对小学数学学习的启示
强调活动、操作对认知发展的价值。
数学的抽象与儿童思维的具体形象性之间的矛盾，是数学学习中的主要矛盾，解决矛盾的主要途径是利用直观。
揭示同化、顺应、平衡的建构过程，重视认知结构的作用
数学认知结构是指数学的基本概念，基本规律，基本事实，基本方法保留在学生头脑中的联系系统，与教材的知识结构相比，它是内在的。
在数学中要不断设计“不平衡”的问题情境
布鲁纳的认知—发现学习理论与数学学习
布鲁纳的认知发现理论的基本观点
强调儿童的认知发展序列
布鲁纳认为人们通过认知过程把获得的信息与以前形成的心理框架相联系，所构成的知识框架可以作为表象系统，表象系统由低到高可分为动作式模式，印象式模式，和象征性模式三种。
强调学科的基本结构
提倡发现学习
布鲁纳的认知—发现理论对小学数学学习的启示
突出学习的认知过程，明确认知结构的含义。
发现法对小学数学教学的作用
奥苏伯尔的认知—接受学习理论与小学数学学习
奥苏泊尔的认知—接受学习理论的基本观点
根据学习内容可分为有意义学习与机械学习，根据学习方式又可分为发现学习与接受学习，两种分类相互独立，成为正交。
认为学习可以分为有意义的发现学习和有意义的接受学习，而后者是学生的主要学习方式，他对有意义的接受学习提出独创的见解，认为它需要具备两个条件，一是学习材料对原认知结构必须有潜在的意义，二是学习者必须具有这种有意义学习的心向，两者缺一不可。
此外，奥斯伯尔强调语言对学习的作用。
奥苏泊尔的认知—接受学习理论对小学数学学习的启示
第一，学习的分类比较科学合理，避免随意偏废一方，且整个学习理论贴近学校的教学过程。
第二，奥苏伯尔的名言是：“影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道了什么，这一名言道出了教育心理学的基本原理，而其原理面对逻辑严密的数学学习是尤为重要的。
小学数学学习的基本形式与过程
数学学习的两种基本形式
从学习的深度着眼，可以把学习分为机械学习和有意义学习两类。
如果从学习方式来看，还可分为有意义的接受学习和有意义的发现学习。
小学数学学习的基本过程
学习过程的几种模式
我国传统的学习模式
学习过程的环状模式由苏联心理学家列昂捷夫等提出
学习过程的阶梯模式由美国心理学家加涅提出
小学数学学习的基本过程
动机的激发
学习动机是促进学生从事学习活动的原动力，动机总是和一个人的需求密切相连的。
知识的感知
是指通过观察，操作等活动，让学生对提供的数学材料，数学事实进行最初步的区分和认识，获得感性的认识。
认识的理解
是指对已获得的感性材料，通过分析、综合、抽象、概括，逐步掌握概念的基本特征和规律的实际含义，达到理性的认识。
知识的巩固
数学知识的巩固是指数学知识的记忆
知识的应用
一类是浅层次的应用，是指将所掌握的知识，直接应用于相类似的情境中，这就属于一般的解题练习。
另一类则是深层次的应用，就是将已掌握的知识通过高一级的独立思考，甚至有一定创造性思考的方法去解答新情境中的问题。
影响小学生学习数学的因素
学习动机和兴趣
数学认知结构的组织水平
思维水平
学习策略
学习策略是指学生在完成学习任务的过程中，对自己所采用的程序，途径，方法和手段进行选择，运用和调整。
小学生数学学习策略至少有以下几个方面
把新知识转化为旧知识的学习策略
不仅“知其然而知其所以然”的学习策略
“举三得一”和“得一反三”的学习策略
适时形成知识网络的学习策略
从陈述性知识转化为程序性知识的学习策略
小学数学学习迁移
学习迁移是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响包括知识，技能方面，还包括方法，态度方面。
迁移的种类
从方向上来分析分为顺向迁移和逆向迁移，先前学习对后继学习的影响叫做顺向迁移，反之后继学习对先前学习的影响，叫做逆向迁移。
从效果上来分析分为正迁移和负迁移，一种学习对另一种学习的起促进作用的是正迁移，如果起干扰作用的就是负迁移。
影响学习迁移的主要因素
学习材料之间的共同因素
是学习迁移产生的基本条件
已有知识的概化程度
认知结构中具有高概括性、包摄性的知识，往往容易形成正迁移。
已有知识的可辨性和稳定性
可变性是指新知识和同化它的原认知结构中的有关知识的可辨别程度。
稳定性是指原有认知结构中连接新知识的“固定点”的巩固程度和清晰度
学生的智力水平
智力是掌握知识的前提条件
心理定势
是指学习过程中思维活动所具有的心理准备状态，它往往表现为一种思维趋向。
小学生数学学习迁移的特点
实现知识、技能的迁移较易
实现数学思考方法的迁移较难
数学思考方法是数学内容的基本思想以及解决数学问题的策略和手段
易受狭隘的思维定势的干扰
四、小学数学学习概论（二）
数学知识学习的基本形式
数学知识的学习主要指数学概念，法则，定律，公式等的学习，为了讨论方便，我们把数学知识概括为数学概念和数学规则。
概念的形成与同化
数学概念是反映一类数学对象的本质属性的思维形式，因此，数学概念的学习是不断将同一类数学事实的本质属性与非本质属性进行辨别的过程。
概念的形成
是指学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，从实际经验的肯定例证中，概括他们的共同属性，提出共同属性的各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性，推广的同样的事物之中，运用符号加以表示。
概念的同化
当学生在学习直接用定义陈述概念时，能主动的利用原有认知结构中相应的旧概念与新概念之间的相互联系、相互作用，从而掌握新概念的本质属性，这种获得概念的形式叫概念的同化。
概念的同化一般来说有三种方式
类属（下位）同化
总括（上位）同化
并列同化
概念的形成和概念的同化，从其过程来看并不相同，概念形成主要依靠对具体事物的抽象，通过对正反例证的不断辨析，提出假设和验证。概念同化主要依靠新旧知识的联系，因此它的前提条件是学生必须具有与新概念有关系的认知结构，具有学习新知识的心象，学生先要找出新旧概念的连接点并区别其异同，再进行调节，最后把新概念纳入到原有认知结构中并对它有更深一层的认识，或者对原有认知结构进行改组，重建成新的认知结构。所以我们可以这样说，如果把概念的形成作为发现学习，那么概念的同化就是接受学习。
规则的发现与接受
数学规则的学习是要学生逐步掌握有关几个数学概念之间的关系所反映的规则的学习
数学规则的发现学习
发现学习是先呈现有关数学规则的若干例证，由学生自己观察分析，逐步概括归纳出一般的结论，从而获得规则的方法。
数学规则的接受学习
接受学习是先呈现要学习的数学规则，然后用若干例证加以说明，由于学生对构成规则的有关数学概念已经掌握，所以也能对规则有所理解并掌握。
数学技能学习的基本形式
数学技能及其种类
技能是智力活动和操作活动的基本活动方式，反映的是动作本身和动作方式的熟练程度。
数学技能是完成某些数学任务的智力或动作的活动方式，它必须通过一定的练习才能完成。
智力技能主要指组成这类活动方式的动作是在头脑内部实现的，通过分析、综合、抽象、概括等逐步完成的；操作技能是指组成这类活动方式的动作需要通过人的头脑外部的机体运动或操作一定的对象来完成。
小学数学的智力技能包括口算、笔算、解题、解方程等；小学数学的操作技能包括数字的书写，利用工具（直尺、三角板、圆规）做几何图形，利用工具测量角度、测量物体的长度、重量等等。
数学智力技能的形成过程与学习方法
数学智力技能的形成过程
根据苏联心理学家加里培林提出的智力活动形成五个基本阶段来研究数学智力技能的形成。
活动定向阶段
是准备阶段，任务是了解、熟悉活动，知道要“做什么”和“怎样做”，从而在头脑中建立起定向印象，而且这种了解应该是完全的、概括的比较系统。
物质活动和物质化活动阶段
所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，所谓物质化活动是指活动不是借助于实际事物本身，而是以它的替代物，如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进行的。
加里培林认为，物质化的形式是学生最容易理解的、最方便的
出声的外部言语活动阶段
这一阶段是活动离开了它的物质或物质化的客体，以出声的外部言语形式来完成实在的活动。
不出声的外部言语阶段
内部言语活动阶段
数学智力技能的基本学习方法
范例学习方法
是小学数学智力技能学习的主要方法
尝试学习方法
数学操作技能的形成过程与学习方法
数学操作技能的形成过程
定向阶段
指学生要了解与某种数学技能有关的知识和功用，了解动作的基本步骤、难度、要领、动作程序以及活动最后要达到的目标等。
单个动作阶段
指把整个的活动分解为若干个单的单个动作，并逐一进行练习，达到形成局部动作的技能。
连续动作阶段
指把每一个动作技能按顺序连接起来，形成一个连贯协调的步骤。
自动化阶段
是数学操作技能的最后阶段。这时意识的参与明显减少，意识只有当动作出偏差时才起作用。
数学操作技能的学习方法
一般就是范例学习方法。
两种数学技能的比较
在意识的控制程度方面的区别
意识控制程度的减少是两种数学技能形成和熟练的主要标志，数学智力技能的熟练表现在心理资源的节约，意志努力程度的降低，最后思维减缩到连自己也察觉不到的自动化的程度。数学操作技能的熟练则表现在意识参与程度的减少，只有一个启动信息，全套动作便能自动和谐的完成。
在动作程序形成方面的区别。
动作程序形成了动作单元组成的动作结构，这也是两种数学技能形成的特点。数学智力技能形成的程序表现为一种认知的“功能模块”，也就是由各个环节组成的系统，但是更主要的是由外部活动向内部言语，最后达到思维过程的高度简缩，数学操作技能形成的程序表现为由单个动作连结为连续动作，多余动作逐步消失，注意力可以自由分配。
在活动速率和品质方面的区别
技能熟练与否最后还以其速率及品质来决定，两种技能都要达到一定的速率，这是毋庸置疑的。而两者的活动品质有所不同，智力技能主要指思维方面的品质，表现为思维的正确、简约和灵活；操作技能主要指动作的品质，表现为动作的精确、娴熟与和谐。
数学问题解决的基本形式
数学问题解决的含义
问题解决是指个体在一种新的情景下，根据获得的有关知识，对发现的新问题，采用新的策略，寻求问题答案的心理活动。
数学问题解决是以数学问题为研究对象的，它可以提高学生的创造性思维，提高学生应用数学的意识，是近年来数学教育界研究的热点问题之一。
小学数学问题解决的特点
1、问题解决指的是学生初次遇到的新问题，这类问题并非是平时遇到的一般的练习题。
2、问题解决的方法和途径也是新的，应是学生利用已有的知识、技能、方法的重新组合，至少是对原有知识、技能、方法进行比较复杂的加工，是学生的一种克服各种障碍的探究活动。
3、问题解决的方法和途径可以包括内隐的思维活动和外显的操作活动两个方面
4、问题一旦解决，学生通过问题解决的过程所获得的新的方法、途径和策略便可作为认知结构中的一个组成部分，成为已知的解决其他问题的方法、途径。也就是说，用这些方法、途径再去解决其它问题，就不再是问题解决了。
奥苏伯尔问题解决的模式
奥苏泊尔与鲁滨逊于1969年提出了问题解决的模式
呈现问题情境命题
明确问题目标与已知条件。
填补空隙过程
解答后检验
小学数学问题解决的基本过程
弄清问题
是指对已知条件及目标的初始状态有个完整的认识，同时学生还必须对它们保留清晰的印象，这样才为利用原有知识策略寻求解题思路做好准备。
寻求解法
当数学问题已难与原认知结构建立直接联系时，学习者就应采用各种有效的策略，通过分析综合，提出解题的各种假设，最后确定解决方案。
进行解题
根据思考过程拟定解题计划并逐步解答，最后解决问题。
回顾评价
回顾主要指对数学问题的答案进行检验；评价则要求学习者分析自己选择的解题途径是否最简捷，推理是否严谨，再进一步探究一下这种方法能否应用于其它问题。
五、小学数学的教学过程与教学原则
小学数学教学过程的实质
教学过程是指学生在教师的指导下从不知到知，从知之较少，到知之较多的认识过程。
小学数学教学过程是在教师的指导下，以最科学，最准确，最经济的途径，使学生从不知到知，从知之较少，到知之较多，进而使身心得到全面发展的认识过程。
它内部的主要要素至少有以下六个：教师，学生，教学内容，教学方法，教学手段和教学评价。
小学数学教学过程中的三对主要矛盾
教育者与受教育者之间的矛盾
教育学的矛盾是教学过程中各种矛盾中最基本的一对矛盾，教师的教是为了学生的学，学生的学又影响着教师的教，两者相互依存，缺一不可，这种相互依存的关系又往往是以教材为中介加以表现的。数学教材在未进入教学之前，这些知识只处于储备状态，而当教师依据学生的思维水平和知识基础进行的教学法加工以后，教材传递的可能性成为现实。而学生又通过教师的教，对原来不甚感兴趣的内容逐渐感兴趣了，获取知识时能够更主动的进行选择和加工，使教材知识结构转化成自己的认知结构之后，再反馈给教师并影响着教师的教。所以说教与学的任何一方都以另一方为条件，两者是矛盾统一的。当然，矛盾的主要方面还是教师，因为他起主导作用。
作为学生认识对象的数学教材与人类早期对数量关系和空间形式认识的数学科学系统之间的矛盾。
一般都认为个体的认识过程在一定程度上重复着种系的认识过程，因此小学数学教材实际上是重演了人类早期对数学的认识及其发展的过程。这种重演并非重复，而是概括的、压缩的、精炼的，只有这样，才有可能在短时期内把初等数学的启蒙知识传授给小学生。这种压缩必须符合教学规律，符合儿童的心理发展水平和数学科学的规律。同时这种压缩和简练又是有条件的，我们不是简单的去做减法，而是根据现代科技发展和社会需求，用新的观点来处理传统的基础知识。
学习主体（学生）与客体（教材）之间的矛盾
学生旧有经验同教材新知识之间的矛盾：比如像学生在日常生活中见到的角都是尖尖的，所以往往在认识平角圆角时发生困难。
学生已具备的能力同解决新课题的新要求之间的矛盾：教学不仅要适应儿童的接受能力，更重要的要通过教学促进学生的发展，所以解决新课题所需要的能力往往高于儿童原有水平，由此产生矛盾。
学生具有的知识理解水平与对这一知识的叙述和应用能力之间的矛盾：有时学生似乎已理解了某个概念或规律，但要进一步用语言表述或应用它们时，却发现差距很大，因为数学语言十分精炼和概括，解决实际问题时又要求学生有更高的分析综合能力。
小学数学的教学原则
教学原则是根据一定的教学目标对教学过程规律性的认识，也是人们对教学实践的科学总结。
传授数学知识和培养数学能力相结合的原则
小学生的数学能力一般是指计算能力，初步的逻辑思维能力，初步的空间观念以及运用所学知识解决简单实际问题的能力。
贯彻这一原则的要求
既要重视学习结果，更要重视学习过程。
要合理地组织教学过程，恰当地运用教学方法
要培养学生自己组织智力活动的自觉性
理论与实际相结合的原则
广应用的广泛性是数学的三大特性之一
贯彻这一原则的基本要求
注意从实际生活中引出概念
引导学生观察数学知识在日常生活（包括生产，科技）等方面的初步应用。
联系实际要符合小学生的年龄特征
具体与抽象相结合的原则
贯彻这一原则的基本要求
要采用多种直观手段
一般有两种分类方法，一种按使用功能分类，分为教具和学具。
另一种按其具体化程度分类，分为实物直观、模象直观（以事物的模拟形象为直观对象，如图片、图表、模型等），语言直观（指教师对事物做生动形象的描述和举例）以及现代化教学手段。
要充分发挥表象的中介作用
表象是曾经感知过的事物不在面前时，在脑中重现出来的形象。
要注意及时抽象，并再回到具体中去。
严谨性与可接受性相结合的原则
贯彻这一原则的基本要求
严谨性要有层次，要适可而止。
可接受性要难易适度
理解和巩固相结合的原则
是根据数学学科的性质和任务提出来的
贯彻这一原则的基本要求
理解是巩固的首要前提
苏联著名的哲学家伊里莫科夫曾对死记硬背的恶果作出如下剖析
损坏思维的器官要比损害身体的其他任何器官容易得多，而至于他却是很困难的，如果吃完了，那就完全没有治愈的可能，最有效的损害老子和智力的办法之一就是形式主义的史记知识。
组织有效的练习和复习，促使知识系统化。
乌辛斯基说过：“智慧不是别的，只是组织的很好的知识体系”。
他还批评那些缺乏系统知识的人，说装着一些片段的，没有联系的知识的头脑像一个乱七八糟的仓库，主人从那里是什么也找不出来的？
教师的主导作用与学生的主体性相结合的原则
贯彻这一原则的基本要求
要树立主体教育的学生观
要逐步建立起数学教学中的小学生主体性发展的目标
由北京师范大学教育系承担的国家教育委员会8595人文社会科学研究规划重点学科项目少年儿童主题发展实验研究中确定数学教学中的小学生主体性发展的培养目标有
独立性
是指学生学习数学有信心；不依赖教师，家长或同伴，独立完成学习任务；通过独立思考来认识和判断数学问题；不受别人的影响而轻易放弃自己正确的看法；对自己的学习结果和策略能作出适当的评价，并进行调控。
主动性
指学生对数学学习有兴趣，有较明确的目的；会主动安排自己的学习时间；能为自己确定恰当的数学学习目标；主动参与学习活动，主动提出问题，并会主动和同伴就感兴趣的数学问题交换自己的认识；掌握数学的学习方法和某些数学思考方法；自觉选择简捷算法和解法解决一些问题；掌握验算方法，自觉进行验算；主动利用已学的数学知识和方法来解释或解答生活中的一些简单的实际问题；会用数和形？的观点观察周围事物，并初步具有这方面的兴趣和态度。
创造性
指学生乐于并善于发现问题，质疑问难；不满足于常规的解题方法，能从不同方面、多角度地观察并寻求解题思路，具有一定的创新意识；比较善于直觉思维；喜欢动手操作，并创造性地操作（或制作）一些学具和模型。
要善于激发学生的学习兴趣和求知欲
要培养学生独立思考，勇于探究的精神。
六、小学数学教学方法
启发式是确定小学数学教学方法的指导思想
小学数学教学方法正在实现三个转变：一是以教为主转到以学为主；二是从只重视学习结果转到既重视结果，又重视过程；三是从只研究教法转到既重视教法又重视学法，总之，启发式教学开始代替了注入式教学，教学方法的改革出现了一个崭新的面貌。
《学记》中有精辟的论述：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，就是说要引导学生，不要牵着学生走，要鼓励学生而不要压抑它们，要指导学生的学习门径而不要和盘托出，这样，才能意开词达，豁然开朗。
启发式不是一种具体的教学方法，而是确定所有教学方法的指导思想。
小学数学教学方法的选择
根据不同的教学任务，选择教学方法。
感知新内容时，以演示法、操作实验为主，在理解新内容时，以谈话法、讲解法为主；在形成技能技巧时，练习法又成为主要的方法了。
根据不同的教学内容选择教学方法
根据不同的教学对象选择教学方法
低年级儿童可以多用些演示法、操作实验法并辅之以引导发现法；中年级则用谈话法；高年级可适当采用讲解法和自学辅导法。
根据教师使用各种教学方法的能力，选择教学方法。
小学数学基本的教学方法
常用的教学方法有讲解法，谈话法，演示法，操作实验法，引导发现法，练习法，复习法，读书法，实践作业法。
讲解法
讲解是教师运用口头语言向学生说明、解释或论证数学概念、法则、规律的一种教学方法。
其特点是教师系统地、有论据地讲解新的概念或规律，使学生在较短的时间内获得比较系统的数学知识，同时学到一些分析、推理的方法。这种方法要求学生有一定的听讲和理解能力，比较适用于高年级。
运用讲解法的基本要求
教师应具备较强的语言能力
注意发挥学生的主体作用
讲解要选准新知识的生长点
要正确运用分析、综合、归纳和演绎的思维方法。
要恰当运用板书
要使学生学会听讲的方法
谈话法
谈话是通过师生对话的方式来理解数学新知识的一种教学方法
特点是教师根据学生已有的知识和经验，提出一系列的问题，引导学生积极思考，从而达到掌握新知识的目的。
运用谈话法的基本要求
全面了解学生为谈话做准备
精心设问
根据不同的教学目的，可分为下列不同的种类。
引入新课时的设问
理解新知识时的设问
巩固新知识时的设问
要鼓励学生质疑问难
教师不仅要善于设问，还要满腔热情地促使学生发问。
认真倾听学生回答
谈话要面向全体
演示法
演示是教师通过展示的实物、教具等，指导学生通过观察获得感性认识的方法
运用演示法的基本要求
根据教学要求、教材性质和学生认知规律选用教具。
教具设计要科学，使用时机要恰当。
演示教具要突出对象的本质特征或发展过程
演示要配合适当的讲解或谈话
操作实验法
操作实验是在教师指导下，利用一些设备或学具由学生独立操作，从而获得直接经验的一种方法。
运用操作实验法的基本要求
学具操作要有明确的目的
学具操作要选择恰当的内容
需要引导学生通过学具操作来学习的数学内容
建立某些起始概念。
区别某些易混易错的数学知识
理解较难的或离学生生活较远的知识。
推导抽象的公式和法则
操作实验要与语言相结合
要给学生留下足够的思维空间
学具操作要注意适时，适量和适度。
引导发现法
发现法是由教师提出课题，让学生完全独立的去探索和发现结论的一种方法。
是由20世纪50年代末布鲁纳所倡导的，布鲁纳认为：人类全部生活中最突出的特点是人会独自发现事物。
运用引导发现法的基本要求
要掌握引导发现法的教学程序。
创设问题情境，引起思维冲突，促使学生探索。
明确探究的目标和中心
拟订解决问题的途径，收集资料
根据所得数据或资料，提出假设
组织讨论，检验假设。
得出结论
要重视学生发现的过程，留给学生充分的时间去探索。
要注意引导发现法运用的范围。
要注意发挥教师的引导作用
练习法
练习是在教师的指导下，巩固数学知识，形成数学技能技巧时常用的一种方法。
它有教学、教育、发展和反馈四方面的功能。
教学功能是指数学知识的巩固和应用
教育功能及思想品德的熏陶，学习习惯的培养。
发展功能是指思想方法的训练思维，品质的培养。
反馈功能就是师生双方及时获得来自练习中的反馈信息，有效的调整教与学的程序。
运用练习法的基本要求
练习内容要有针对性和典型性
练习安排要有坡度，有层次。
练习一般要经过模仿，熟练和创造三个阶段。
注意练习的质与量的辩证统一
练习要多次反馈
注意科学的安排练习时间
练习形式要灵活多样
练习要面向全体，因材施教。
要教会学生练习的方法
小学数学教学手段的现代化
电化教学与小学数学教学
什么是电化教学
在教学中，运用现代教学媒体与传统媒体适当结合以传递信息，达到教学过程的优化叫做电化教学。
电化教学手段在小学数学教学中的作用
电化教学手段的选择和应用
电化教学手段的种类和功能
幻灯
投影
录音
录像
电视
计算机辅助教学
运用电化教学手段的一般模式
第一，学生直接向电化教学媒体学习，电化教学媒体对学生的反应做出反馈。
第二，教师借助电话教学手段向学生传递教学信息，师生交互反馈。
第三，学生向教学媒体学习，通过教师作出反馈。
七、小学数学教学的组织
小学数学课堂教学结构
什么是课堂教学结构？
课堂教学结构是指在一定的教育思想的指导下，为完成一定的教学目标，对构成教学的诸因素，在时间、空间方面设计的比较稳定的、简化的组合方式及其活动程序。
具有指导师生进行教学活动的作用
设计小学数学课堂教学结构的若干原则
教学目标具体化原则
制定明确而具体的教学目标是优化课堂教学的前提和保证
暴露认知建构过程的原则
信息交流多项性原则。
教学方法整体优化的原则。
信息反馈调控的原则
首先，信息反馈要及时准确，学生的回答是提供反馈信息的重要来源，从他们的回答中可以细致的剖析学生概念掌握的程度，解题思路的优劣以及思维水平的层次，因此，教师一定要仔细倾听和分析学生的回答，而不简单的表示肯定和否定，必要时可以引导学生做进一步的深层思考。
其次，信息反馈要全面、多向。教师要对全体上、中、下不同水平学生的反应全面了解，还要在课前、课中和课后全过程中全面接受反馈信息。
最后，信息反馈要经济、高效。
知情交融的原则
苏联教育家苏霍姆林斯基曾说：我们教给他们的知识不是什么与人截然分开的东西，他们是和人的情感世界融合在一起的。
时控性原则
小学数学课堂教学类型
根据教学任务的不同，便有不同的课堂教学类型，一般在一节课只完成一两个教学任务的叫做单一课，可完成两个以上教学任务的叫综合课。
在小学数学教学中的单一课可分为准备课、新授课，练习课，复习课，检查测验课，作业讲解课。
新授课
是以传授新的数学知识为主的课型
讲练课
基本训练
引入新课
进行新课
尝试练习——第一次的集中反馈
阅读课本并小结
独立练习——第二次集中反馈
布置作业
探究研讨课
引导学生利用已有的知识和所提供的结构化的材料，通过自己的操作、实验；思考、研讨多种途径，掌握数学概念或结论。
明确教学任务，准备操作材料。
探究
研讨
得出结论
阅读课本
巩固练习
自学辅导课
指以学生自学课本为主，教师指导为辅的新授课。
基本训练
提出课题
自学
学生独立阅读课本是本题型的中心环节
讨论并解答疑难
整理小结
巩固练习
练习课
是在学生理解新知识的基础上，以学生的独立练习为主要内容的课型
基本训练
检查复习
明确练习的目的和要求
课堂练习
是练习课的中心环节
讲评并小姐
布置课外作业
复习课
是以巩固、梳理已学的知识和技能为主要任务，并促使知识系统化，提高解决问题能力的一种课型。
明确复习要求或提出复习提纲
进行复习
总结
课堂练习
布置课外作业
小学数学课堂教学的准备
钻研大纲和教材
领会大纲的基本精神，明确教学的指导思想，把握每一年级数学教学的具体要求，掌握教学法的基本原则，这些都是钻研教学大纲的主要目的，必须纠正只看教材不钻研大纲的倾向。
应做到以下几个方面
驾驶教材的内容联系
明确教材的重点和难点
钻研练习题
分析教材中的思想教育因素
了解学生
分析学生的知识基础
了解学生的非智力因素
选择恰当的教学方法
小学数学课外活动
小学数学课外活动的功能
激发学生学习数学的情趣，培养良好的心理品质。
拓宽学生数学视野，增长才干。
渗透数学思考方法，培养良好的思维品质。
培养从数与形的角度观察事物的态度和意识，运用数学知识分析和解决实际问题的初步能力。
小学数学课外活动的特点
活动性
自主性
思考性
对数学来说，“问题”是数学的心脏，“方法”是数学的行为，“思想”是数学的灵魂。
小学数学课外活动的内容
应注意以下几个方面
实践性
趣味性
综合性
八、小学数学教学评价
教学评价概述
教学评价的含义
教学评价是根据教学目标，采用科学的方法，对教学过程中的诸因素进行综合的，全面的价值判断的过程。
教育测量和教育评价是两个既有联系又有区别的概念
数学评价具有以下三个特点
规定性
系统性
综合性
教学评价的功能
教学评价包括课堂教学的评价，学生学业成绩的评价等。
导向功能
反馈功能
激励功能
改进功能
教学评价的原则
教育性原则
首先，教学评价必须以全面贯彻教育方针，全面提高教学质量为目标。小学数学教学评价就应以小学数学教学大纲为依据，要符合学科特点以及教学规律，要正确体现教育的价值观。
其次，坚持评价的教育性原则，应使教学评价的过程成为一个教育过程，使评价者与被评价者通过评价自身都有所提高。
最后，坚持评价的教育性原则，要使被评者不仅是评价的客体，也能进行自我评价，增强评价的参与意识，使评价的过程成为被评者的自我认识、自我完善的过程。
客观性原则
数量化的原则
可行性原则
小学数学课堂教学的评价
课堂教学评价的要素及评价指标
课堂教学评价属于微观的教育评价
教学目标
根据大纲，教学目标明确具体
符合学生实际，教学要求恰如其分。
教学内容
保证科学性
重视系统性，逻辑性。
有较高的处理教材的能力
教学过程
始终围绕教学目标
教学结构科学合理
环节紧凑，过渡自然。
把握重点，突出难点。
时间分配恰当
教学方法
采用启发式教学
讲究实效，灵活运用教学方法。
充分发挥学生学习的主体作用
重视培养思维能力和动手操作能力
信息反馈及时，全面
发扬教学民主，为学生陈述不同见解创造条件。
练习有针对性，有层次，形式多样。
面向全体，并注意因材施教。
教师素质
教态亲切，仪表端庄，举止自然。
语言简明生动，合乎逻辑，有启发性。
板书规范、简明清晰，布局合理。
教具、学具选用得当，目的明确，演示娴熟。
知识面广，应变能力强。
教学效果
达到预定的教学目标
学生思维活跃，信息交流通畅。
学生应答面广，质量高。
课内练习正确率高
教学特色
小学数学课堂教学评价的实施
听课准备
听课记录
填写评价表
计算各项得分
计算总分
A95分
B80分
C65分
D50分
E35分
填写评语
小学数学学习的考查与评价
学习考评的种类
根据《礼记·学记》中的记载：“比年入学，中年考校，一年视离经辨表…”。
可见，在战国时期已有一套较严密的成绩考评制度。
按考评的性质划分
显示性考评
目的是为了使被试在受教育以后，能把已获得的知识、技能、能力充分的显示出来，如期末考试，毕业考试等。
预示性考评
目的是为了测试被试在受教育之前的某一方面或几方面的潜能，从而估计其今后发展之可能，如高考、数学能力测评等。
按考评的作用划分
形成性考评
目的是为了测定学生在学习过程中的进步程度，并根据这些反馈信息调节教学程序。
总结性考评
目的是为了测定学生在学习结束后掌握知识技能以及能力发展的程度
诊断性考评
目的是为了诊断学生在学习中反复出现的持续的错误所在，及其原因。
按测评结果的解释划分
目标参考性考评
目的是为了了解学生学习的结果，毕竟预定教学目标的程度。
常模参考性考评
目的是为了了解学生学习的成绩，在同一群体中所处的相对位置。
小学数学成绩考评的命题工作
以小学数学教学大纲作为成绩考评的依据
制定双向细目表
在正式命提前，制定知识与能力两个维度的细目表，并给各类知识和能力以恰当的权重。
预测
题型的选取
除经常采用的式题、应用题以外，还可以采用部分是非题，选择题，填空题，匹配及序列题改错题等。
是非题
它适用于概念的判断，不适用于高度推理，在低中年级较多采用，高年级的有关命题也可酌情采用。
选择题
适用于考察被试对概念细微的辨别能力，判断能力，推理能力以及运用原理解释问题的能力，它是客观式试题中用途最广，频率最高的一种题型。
匹配题
能测查学生辨认两者关系的能力，在数学中可反映数与形，数与式的关系等。
填空题
可以考察学生对概念的理解，巩固和简单应用。
是我从我国科举考试中的“贴经”演变而来的
评分与质量分析
绝对评分与相对评分
绝对评分以教学目标作为衡量的标准，分数的高低说明考生达到教学目标的程度。
绝对评分与教学目标相连，对教学起直接的调控作用。
相对评分以被试所属团体的“常模”（该团体的平均分）为标准，分数的高低反映考生在同一团体内的相对位置，但是是否但是否达到教学目标，他是不考虑的。
相对评分建立在个别差异的理论基础上，对学生起监督作用。
怎样进行客观评分？
根据教学要求，合理分配各题所占的分数。
标准答案要明确、全面，根据各解答步骤决定具体的评分。
严格评分手续，尽可能减少各种无关因素对评分的干扰。
做好质量分析
成绩统计
题目分析
改进教学
九、数学思维与数学思维能力的培养
数学思维概述
数学思维的含义
数学思维是人脑和数学对象(空间形式，数量关系，结构关系)交互作用，并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。
它既具有思维的一般性质，又有自己的特性。
小学生数学思维发展的阶段
直观行动思维
具体形象思维
抽象逻辑思维
数学思维的特性
思维的概括性
是指以客观事物为依据，在原有经验的基础上舍弃了具体事物的非本质特征，家是数量关系和空间形式的本质特征及其规律，并把它推广到同类事物或现象之中。
思维的问题性
问题是数学的心脏
主要表现为数学思维总是与数学的实际问题相联系，总是表现为不断地提出问题，分析问题，直到解决问题。
思维的逻辑性
逻辑思维是数学思维的核心
数学思维的结构
结构是指组成某一事物的各种成分以及各成分之间的排列或关系
数学思维的材料和结果
指的是数学思维的内容
数学思维的基本方法
又称思维的操作手段
包括观察，实验，比较，分类，分析，综合，抽象，概括，归纳，演绎，类比，联想等。
数学思维的基本形式
逻辑思维的基本形式——概念，判断和推理。
形象思维的基本形式——表象，直感和想象。
直觉思维的基本形式——直觉和灵感。
数学思维品质
是衡量小学生数学思维发展水平的标志，主要有深刻性，灵活性，敏捷性，批判性和独创性等特点。
数学思维的分类
集中思维与发散思维
集中思维是朝着一个目标，遵循单一的模式，求出归一答案的思维，又称求同思维，在数学学习中，往往反映为按照既定的目标，严格用意义，定律，法则，公式等去思考，从而获得统一的结论。
发散思维则表现在解决问题时，能根据已提供的条件，利用已有的知识和经验，从多个方向，不同的途径去探索，思考，以寻求新的解决问题的途径和方法，所以发散思维又称为求异思维。
再创性思维与创造性思维
再创新思维是指根据原有的经验和已经掌握的解题方法，策略，在类似的情景中，直接解决问题的思维形式。
创造性思维是指在强烈的创新意识的指导下，把头脑中已有的信息重新加工，产生具有进步意义的新设想，新方法的思维。
数学思维的一般方法
观察与实验
观察是受思维影响的，有目的有计划的，通过视觉器官去认识事物状态及相互关系，一种主动的活动。
实验是有目的，有控制的，创设一些有利于观察对象，并对其实行观察和研究的活动方式。
分析与综合
分析是把思维对象的整体分解成各个部分，方面和要素，并对它们分别加以研究，考察的一种思维方法。
综合就是把已有的关于研究对象的各个部分，方面或要素联合成整体，从而进行整体认识的思维方法。
比较与分类
比较是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法
苏联教育家乌申斯基指出，比较是一切理解和一切思维的基础。
心理学家谢切诺夫认为，比较是人的最珍贵的智力保障。
分类是以比较为基础，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类不同性质的则归入不同类别的思维方法。
抽象与概括
抽象是指在认识事物中抽取其共同的本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。
概括是在认识事物的过程中将抽象出来的同类事物的共同属性连接起来，并把它推广到同类事物上去的思维方法。
归纳与演绎
归纳是从同类事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中得出这类事物的一般属性的思维方法
不完全归纳
完全归纳
演绎是由同类事物的一般属性推出及个别对象属性的思维方法
类比与联想
类比是根据两个对象之间存在着一些相同或相似的属性，推测另一些属性，也可能相同或相似的思维方法。
联想是由当前的某一事物联想到与其关联的另一事物的思维方法
初步逻辑思维能力及其培养
培养初步逻辑思维能力的总要求
《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》指出：结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析，综合比较，抽象，概括，对简单的问题进行判断，推理，逐步学会有条理，有根据地思考问题，同时注意思维的敏捷和灵活，这一要求既指出了逻辑思维的方法和形式，也提出了思维的品质。
概念明确
判断准确
判断有主概念，谓概念和联系词，三部分组成。
小学生的判断力主要反映在判断的正确性和敏捷性上
推理符合逻辑
培养初步逻辑思维能力的阶段目标
小学数学各年级逻辑思维能力的培养目标
有关各年级培养目标的若干说明
掌握数学知识与培养逻辑思维能力有密切的关系
逻辑思维能力是个整体结构
逻辑思维能力培养的阶段性和连续性
培养初步逻辑思维能力的基本途径
要挖掘教材中的智力因素，把培养逻辑思维能力贯穿于教学的全过程。
要给学生提供足够的思维材料
提供感性材料
提供理性材料
要顺着学生的思维，重视学习过程。
要重视数学语言的表述
初步形象思维能力及其培养
形象思维的基本形式
表象
表象的特征有两个，一是直观性，二是概括性。
数学表象可分为两种基本类型：图形表象和图式表象
直感
形象识别直感
形象相似直感
想象
图形想象与图式想象
再造性想象与创造性想象
培养初步形象思维能力的基本途径
积累表象
数形结合
重视想象
初步直觉思维能力及其培养
直觉思维的基本形式
直觉
是在原有知识和经验的基础上，通过观察联想，猜测的对出现在人们面前的新事物，均现象的一种直接的，极为敏锐的判断和对其内在本质的理解，这种思维形式往往不受逻辑规则的约束。
直觉具有经验性，跳跃性和或然性的特点。
灵感
灵感与直觉，既有联系又有区别，直觉的对象一般在眼前，是通过逻辑思维与形象思维的多次作用，在一定情况下，结合产生的而灵感，常常出现在思考对象不在眼前，并多次直接受阻，思维从显意识转入潜意识，又由于某种情境的触发，产生信息沟通而形成顿悟，灵感往往带有创造性。
数学灵感是人脑对数学对象结构关系的一种突发性的顿悟
灵感的特征是突发性，模糊性和非逻辑性。
培养初步直觉思维的若干建议。
朱棣文在谈到自己的成功之道时指出：你必须看到那些别人已经看过但没有发现的东西。
重视知识组块的积累
鼓励合理猜想
敢于创新
数学思维品质及其培养
数学思维品质
思维的深刻性
主要指能从数学的感知材料出发，通过逻辑思维，揭示数与形的本质特征，确定它们的内在联系和规律，并预感事物的发展进程。
思维的灵活性
主要指善于从不同的角度，不同的方面进行分析思考，善于根据条件或问题的变化转换思路，做到思维起点活，思维过程活，有较强的迁移能力。
思维的敏捷性
主要指思维活动的速度
思维的批判性
主要指在数学思维活动中能严格估计思维材料和精细检查思维过程能随时对思维过程进行监控和调节的品质
思维的独创性
是指在面对从未见过的新问题时，能采取相应的对策，并能给予独特新颖的解决，他是数学思维发展的高级表现。
小学生数学思维品质的培养
第一数学知识是小学数学思维发展的载体，要有目的，有计划的引导，学生构建良好的认知结构，数学思维与数学知识相互促进，共同发展。
第二，要明确培养小学生的初步数学思维能力，要以初步逻辑思维为主，其他非逻辑思维，音交叉运用，相互补充。
第三，要发挥教师在培养小学生思维过程中的主导作用，要加强知识的发生，发展过程的教学，通过教师的教学法加工，使教材中的数学知识转化成学生自己积极主动的思维过程。
第四，教师要大胆放手，要给学生提供足够的思维，素材足够的思维空间和时间，给学生以充分的信任，让他们能主动地暴露自己的思维过程和结果，逐步培养良好的思维品质。
第五，要加强思维训练，使学生掌握基本的数学思维方法，尤其要重视逆向思维的训练，它将有助于学生发现新的联系，产生新的构想。
十、小学数学教学中非智力因素的培养
非智力因素是指学生在认识过程中的智力与能力之外，对认识活动起着制约作用的动机，兴趣，情感，意志，习惯性格等心理因素。
培养非智力因素的重要意义
培养良好的非智力因素，是发展智力因素的前提和保证。
培养良好的非智力因素是学校全面实施素质教育的需要
培养良好的非智力因素，是时代的需要。
非智力因素在认识活动中的作用
始动作用
定向作用
维持调节作用
小学生非智力因素的培养
学习动机
学习动机概述
动机是激励个体从事有关活动与满足需要的动力
学习动机是直接推动学生进行学习的心理因素，是激励学生学习的内部动力。
学习态度正式学习动机的具体体现
学习动机的培养
进行学习目的的教育，培养学生学习的自觉性。
创设问题情景，激发求知欲望。
运用反馈原理，强化学习动机。
发挥迁移功能，增强学习信心。
学习兴趣
学习兴趣概述
是学生有选择的积极愉快的学习的一种心理倾向
根据学习兴趣的倾向性来看，可以分为直接兴趣与间接兴趣。
学习兴趣的培养
联系实际，唤起兴趣
探索规律，引发兴趣
质疑问难，激发兴趣。
手脑并用，促进兴趣。
体验愉悦，稳定兴趣。
课外活动，发展兴趣。
学习情感
学习情感是学生对学习环境是否满足自身求知欲望需要的一种积极态度的体验
学习情感的培养
用教师的爱，诱发学习情感。
用教师的导，保持学生的学习情感。
用学科的美，陶冶学生的学习情感。
用集体的舆论，强化学习情感
学习意志
学习意志概述
学习意志是直接支配和调节学生的学习活动，实现预订的学习目的的心理过程。
培养学习意志
爱迪生曾说过，伟大人物的最明显标志就是他坚强的意志。
提高意志的坚定性
提高意志的果断性
培养意志的坚韧性
培养意志自制力
学习习惯
学习习惯概述
一定的学习行为重复多次，就会形成一定的学习习惯，习惯有好有坏，良好的学习习惯，能增强学生对数学学习的兴趣，能有效的克服学生学习中的困难，提高学习成绩。
叶圣陶曾明确指出，什么是教育？简单一句话就是要养成良好的习惯。
学习习惯的培养
养成专心听讲的习惯
养成认真阅读的习惯
养成认真审题的习惯
养成独立思考的习惯
养成认真做作业的习惯
十一、概念教学
小学数学概念教学的意义
什么是数学概念？
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反应。
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反应，因此数学概念是抽象的。
数学概念的抽象性有以下特点
概括性
原理性
理想化
数学概念教学的意义
数学概念是学习数学知识的基石
心理学家奥苏伯尔曾经说过，比起世界上的各种现象来说，人实际上是生活在一个概念的世界里。
数学概念是培养数学能力的前提
概念的内涵和外延
明确概念的内涵和外延
从逻辑上说，概念反应的所有对象的共同本质属性的总和叫做这个概念的内涵，又称含义。
适合于概念所指的对象的全体叫做这个概念的外延，又称范围。
掌握概念的分类标准
分类的标准
分类必须以同一个标准为依据
分类应详尽无遗
各个属概念应相互排斥
分类应当按级进行
从外延上看，小学数学概念中存在的六种关系。
同一关系
包含关系
并列关系
交叉关系
对立关系
矛盾关系
小学数学教材中概念的几种表示法
定义法
是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体做法是用原有的概念说明要定义的新概念。
定义法的种类
属差式定义
即被定义的概念=邻近的总概念＋属差。
应用时应注意
种概念要是邻近的
属差既是被定义概念的属性，又是他的同位属概念中所没有的。
发生式定义
只用事物发生或形成过程中的属性，作为熟茶定义时仅仅突出其形成过程这一特点。
规定外延的方式
指通过对概念的外延作出规定，对概念下定义。
下定义应遵循的规则
定义应该恰如其分。
定义不能循环
定义不能用比喻
定义不能用否定的形式
描述法
用一些生动具体的语言对概念进行描述，叫做描述法。
原始概念
对数学中的点、线、面、体、集合等原始概念都用描述法加以说明
江南理解的概念
影响数学概念学习的因素
认知结构
感性材料和生活经验
抽象概括能力
语言表达能力
数学概念的教学策略
概念的引入
通过直观引入
通过生活实例引入
从旧知识引入
概念的理解
是概念教学的中心环节
利用变式突出概念的本质属性
通过反面衬托，进一步理解概念的本质属性。
多层次的进行抽象概括
下定义或用简练的语言进行描述。
注意和相近的，易混的概念比较。
概念的巩固
复述重要概念的定义或结语。
自举实例
设计多种练习
概念的深化
概念的熟练运用
概念认识系统的形成
十二、计算教学
计算教学的意义和要求
计算教学的意义
第一，计算是小学生必须掌握的一项重要的基本技能，在小学阶段使学生具有非负有理数（整数，小数，分数）四则运算的能力，也是她们继续学习数学和其他科学知识必不可少的基础。
第二，计算在日常生活与生产中应用非常广泛，计算能力是人们学习，生活，工作所必须具有的一项基本能力，也是对劳动者素质的一项基本要求。
第三，计算教学不仅要使学生能够正确地进行四则运算，还要能够根据数据特点，恰当的应用运算定律与运算性质，使计算过程更合理、灵活。计算过程既培养了学生的观察力，注意力与记忆力，也发展了学生思维的敏捷性和灵活性。
第四，计算是一项“细活”，通过计算教学，有利于培养学生专心，严格，细致的学习态度，善于独立思考，勇于克服困难的学习精神，计算仔细，书写工整，自觉检验的学习习惯。
计算教学的要求
教学内容的范围
笔算加减法以三四位数的为主，一般不超过五位数，笔算乘除法以乘数、除数是两位数的为主，一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二，三步的为主，一般不超过四步，珠算只学加减法，而在使用珠算较多的地区，也可以多学一些算分数四则运算，以分子分母比较简单的和大部分可以口算的为主。
教学要求
对计算教学的要求为：会、比较熟练、熟练三个层次。
20以内数的加减及表内乘除要求熟练的进行计算，百以内数的加减、万以内数的加减、乘数和除数是一位数、两位数的乘除法，要求比较熟练的进行计算；乘数除数是三位数的乘除法，以及有关的四则混合运算，只要求会正确的计算。至于小数四则运算与分数四则运算，则要求能比较熟练的进行计算；而分数、小数四则混合运算只要求会正确的计算。
小学生计算错误的归因
知识方面的原因
概念不清，算理不明。
口算不熟，笔算不准。
心理方面的原因
感知比较粗略
情感比较脆弱
注意不够稳定
思维定势干扰
短时记忆较弱
培养计算能力的教学策略
切实掌握有关计算的知识
数的认识
运算定律和运算性质
计算法则
运算顺序
弄清算理，以理驭法
通过教具演示说明算里
通过学具操作理解算理。
联系实际讲清算理。
展示思路弄清算理。
加强口算，重视笔算，学点估算。
加强口算
基本口算要熟练
常用的数据要熟记
简便口算要自觉。
口算练习要经常
重视笔算
笔算过程要明理
检查验算要自觉
书写格式要规范
学点估算
促进计算结果正确
促进计算方法的灵活
分层练习，形式多样，讲求实效。
计算技能属于智力操作技能
围绕重点与难点
易混易错的对比
发挥计算题的思维价值
形式多样，引发兴趣。
认真审题，多思善想，准中求活。
关于培养计算能力的思考
十三、应用题教学
应用题是根据日常生活和生产中的实际问题，用语言或文字表示数量关系并求解的题目。
应用题由情节及数量关系两大部分组成
应用题教学的意义
有助于学生理解数学概念及四则运算的意义。
有助于培养学生解决简单实际问题的能力
有助于发展学生的逻辑思维能力
有助于向学生进行思想品德教育
小学生解答应用题的心理特征
小学生解答应用题的心理特征，主要反映在信息的选择和加工的全过程之中，外在表现是对应用题的难易区别上。
应用题的难易程度是由题目的情节以及数量关系决定的
大致有以下几个方面
学生对题目情节的熟悉程度
应用题的叙述形式
解题步骤的多寡
应用题结构中所含有隐蔽条件
对数量关系组合的熟悉程度
分析过程中的思维定向
应用题的分类
按一般习惯应用题分为简单应用题和复合应用题两类
传统的分类
改革后的分类
按四则运算的意义归类
以四则运算意义为基础，以三量关系为基本因素，构成简单应用题的知识结构。
应用题的教学策略
创设情景，运用直观，帮助学生全面理解题意
演示与模拟
图示与图解
复述题意
重视做好两个转化
把生活中的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为数学算式。
用各种途径引导学生寻找中间问题
连续两问改一问
改变问题
改变条件
运用多种方法解析应用题
解释应用题是复合应用题教学的中心环节
分析法与综合法
分析法即从所求问题出发而推至已知条件，即“执果溯因”。综合法即从已知条件出发逐步推出所求，即“由因导果”。
假设法
对应法
转换法
量不变的方法
代数方法
加强列方程的基础训练
引导学生掌握寻找等量关系的方法
精心设计练习，提高解题能力和思维水平
一题多解和一题多变
易混易错的对比练习
自编应用题的练习
关于改革应用题教学的思考
要恰当的估计应用题教学的作用。
应用题的内容必须贴近学生的生活实际
应用题的叙述要多样化
适当淡化算术应用题，加强列方程解应用题。
教学方法要灵活
十四、几何初步知识教学
几何初步知识教学的地位和意义
从历史发展看几何在小学数学中的地位。
几何这个词来源于希腊文，他的原意是土地测量。
直到19世纪末，清朝的官立学堂，私立学堂和教会学堂开始使用的教科书《形学备旨》中才包括了几何。
1903年《奏定学堂章程》中，正式规定在中学开设几何、代数和三角，小学只设算术，而其中有一章“求积”，就是田亩的计算。
《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中几何教学的几点改革
明确小学几何初步知识的性质——直观几何
突破“以求积为中心”的框子，加强空间观念的培养。
从低年级起合理安排对几何形体的认识
几何初步知识教学的意义
有利于培养学生的空间概念，为进一步学习科学文化知识打下基础。
有利于提高学生应用数学知识解决实际问题的能力
有利于培养学生初步的逻辑思维能力
小学生空间观念形成的心理特点
明显要素与不明显要素
单个要素与要素间的关系
标准图形与变式图形
日常用语与科学概念
二维空间与三维空间
掌握特征与辨别图形
数与形
培养初步空间观念的教学策略
利用实物、模型的演示，引导学生观察。
恰当的运用标准图形和变式图形
在运动变化中观察图形
在复杂图形中，判别基本图形。
加强动手操作，指导学生实验。
操作实验一般采用以下一些方式
划分
剪拼折叠
利用钉子板
测量
画图
适时抽象概括
几何求积的教学策略
在建立周长、面积、体积观念的基础上，开始几何量的计算。
帮助学生建立对面积的初步认识
帮助学生建立面积单位的初步概念
以等积变形的数学思想为主线，通过实验，推导求积公式。
利用求积公式，解决实际问题
系统整理求积公式，促进知识系统化。
十五、小学数学教师
素质
是以先天遗传因素为基础，在后天环境和教育的影响下，逐渐发展和形成的个体的生理，心理和社会文化等方面的特性，这些特性对个体来说具有相对的稳定性。
人的素质主要包括生理素质，心理素质，文化科学素质和思想道德素质。
人的生理素质是指人的本身的自然力
人的心理素质是指人的心理过程的品质及个性特征
人的文化科学素质是指人的文化科学知识水平，以及为不断获取新知识所应具备的学习意识，学习方法，学习能力与学习精神。
人的思想道德素质是指人的思想素质与人的道德素质
小学数学教师的素质
职业道德素质
热爱教育事业
热爱学生
热爱学校
热爱所教的学科
文化科学素质
向学生传授文化科学知识是教师的一项基本任务
教师的文化科学素质决定着教师对教学内容把握的准确程度，决定着教师的教学能力与教学质量的高低，他也直接关系着学生的知识结构的形成，智力的发展与能力的培养。
数学专业知识
教育基本理论
是教育决策与教育行为的依据
教育学
教育心理学
教学论
教育科研的基础知识
相关学科知识
业务能力素质
全面深入的了解学生的能力
进行思想品德教育的能力
钻研大纲与教材的能力
课堂教学的能力
组织数学课外活动的能力
教研与科研的能力
心理素质
教师在认识过程中应具备的心理素质
教师在情感过程中应具备的心理素质
克服对学生群体的认识偏差
克服对学生个体认识的偏差
克服自我认识的偏差
小学数学教师的教学艺术
教师创造性的教学体现在两方面：一是教师将教学内容外化并形成自己新的教学思路和新的情感体验，二是将教师的这种新思路和情感转化，并深入到学生的认知活动之中。
要有较强的设计教案能力
要准确的把握教材的目的与要求
要能够独立的设计教案
一个比较完整的教案，应该由课题，目的要求，重点难点，教具学具，教学过程，板书设计等内容组成。
要有较强的语言表述能力
注意语言的准确性和科学性
注意语言的逻辑性和系统性
注意语言的启发性和教育性
注意语言的艺术性和示范性
示范性的语言具有规范，严肃和榜样的特点。
要有较强的板书能力
注意板书内容的整体性
注意板书内容的概括性
注意板书内容的条理性
注意板书内容的直观性
注意本书内容中的计划性
要有较强的演示教具和指导学具操作的能力
要具有演示教具的能力
要具有指导学生操作学具的能力
0411小学数学教学论
一、小学数学课程目标
第一节 数学发展简史概述
著名数学家华罗庚把数学称为一门古老而又年轻的科学。
萌芽时期
公元前600年以前
初等数学时期
公元前600年到17世纪中叶
从此，数学从具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段，数学逐步成为独立的演绎的学科。
变量数学时期
17世纪中叶到19世纪20年代
恩格斯在《反杜林论》中说过，数学的转折点是笛卡尔的变量。
近代数学时期
19世纪20年代到第二次世界大战
现代数学时期
第二次世界大战以后
数学的发生和发展，归根结底是生产实践决定的。
第二节 数学在小学教育中的地位和作用
华罗庚十分精辟的指出：宇宙之大，粒子之微，火箭之速…无处不用数学。
数学课程的性质可谓三位一体，它是基础课，工具课又是文化课。
从小学好数学，就能为学生进一步的学习奠定良好的基础，为他们将来在适应转瞬变化的现代社会中，较好地应用数学工具创造必要的条件。
数学，对于提高民族素质，对21世纪我国经济的腾飞，社会的发展培养全面发展的各级各类合格人才具有重要的作用。
第三节 制定小学数学课程目标的依据
一、小学教育的培养目标
小学数学教学必须促使学生在德、智、体诸方面获得和谐全面的发展，不仅使学生掌握数学的基础知识和基本技能，还要发展学生的观察力，思考力和想象力，让他们思维灵活，勇于探索，善于思考，敢于创新；要培养计算、初步的数学思维和空间观念等数学能力，使他们能开始用数字眼光观察和处理周围的某些事物，尤其能运用所学的数学知识解决一些简单的实际问题，要结合数学内容进行思想品德教育，激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯，学会良好的学习方法，同时，还必须遵循教学规律，减轻学生过重的负担，使他们能主动地去学习，使身心得到健康发展。
二、数学学科的特点
抽象性
逻辑性
应用的广泛性
三、小学生的认知发展水平
它决定着小学数学教学中基础知识的广度，深度和学生的数学能力。
第四节 小学数学课程目标
一、掌握数学基础知识
是小学数学课程的主要任务
小学数学基础知识的范围：算术知识，代数初步知识，几何初步知识，计量初步知识，统计初步知识。
小学数学基础知识的内容：概念，性质，法则，公式，方法。
二，培养初步的数学能力。
物理学家丁肇中教授所说的科学的道路上，只有第一名，没有第二名，第二名就等于最后一名。
初步数学思维能力的培养是核心，解决实际问题的能力是最终目的。
正确的四则运算能力
初步的数学思维能力
数字是锻炼思维的体操，数字思维应该包括逻辑思维和辩证思维。
初步的逻辑思维能力
在进行逻辑思维的过程中，要采用比较，分析，综合，抽象，概括的思维方法。
初步的形象思维能力
形象思维的基本形式主要是表象
初步的直觉思维能力。
初步的空间观念
空间观念是物体的大小形状及其位置关系保留在人脑中的表现
运用所学知识解决简单的实际问题的能力
理解知识，掌握知识的目的在于应用。
三，培养良好的思想品德。
第五节 从教学大纲看我国小学数学课程目标的演变。
一、教学大纲概述
教学大纲有四方面的指导作用
第一，教学大纲是教学质量评估的依据。
第二，教学大纲是教材编写的依据。
第三，教学大纲是教师进行教学的依据
第四，教学大纲是考试命题的依据。
二、建国前的小学算术课程目标
1903年颁布的《奏定学堂章程》是我国近代史上第一个以法律形式颁布的、并在全国推行的学制
三，建国后的小学数学课程目标。
第一阶段：百废待兴。
第二阶段：全面学习苏联
第三阶段：改革后的“精雕细刻”
第四阶段，：拨乱反正，适应四个现代化的建设
第五阶段：实施义务教育
1992年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》中教学目的包括：
使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础的知识。
使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题。
使学生受到思想品德教育。
四，对我国小学数学课程目标演变的分析
二、小学数学课程内容
学科数学与科学数学的区别和联系
学科数学与科学数学的联系
只考虑数学本身的内容、结构特点及其理论意义、应用价值是科学数学。
在对学生教学时，依据一定的教育教学目的，把数学的内容加以处理，即把数学的内容作为教学过程中的认识对象，这就是学科数学。
无可非议，两者之间联系十分清楚，学科数学的内容是依赖于科学数学而建立和发展的。
学科数学与科学数学的区别
第一，作为科学数学，可以不考虑人们是否理解，只要能完备而精确地阐明某些数学理论即可，所以一般从原理出发，而作为学科的数学，则必须遵循儿童的认知规律和心理特点，所以往往要通过对结构化的物质材料进行操作，或者从日常生活生产中的实例出发，然后由学生自己去发现其间的联系。
第二，作为科学数学对所有的定理、法则等都必须进行严格的论证和推导，而作为学科的数学，鉴于学生的接受水平，往往通过列举一些事例，用不完全归纳得出结论。
第三，作为科学数学，完全按照数学理论的逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均；作为学科数学，在不影响科学性的前提下，兼顾儿童的认知规律，某些内容可做适当调整，其中小数的编排便是一例。
第四，作为科学的数学以完全揭示数量关系和空间形式为目的；而作为学科的数学还要考虑到如何有利于儿童学懂、学会、学活，如何有利于发展智能，有利于进行思想品德教育等。
小学数学教学内容的选取
小学数学教学内容选取的三大依据
选择现代生活和进一步学习所必需的最基础的数学知识
适合小学生的接受能力
根据九年义务教育的学制和小学课程计划设置教学内容
小学数学教学内容选取的四个兼顾
兼顾当今与未来
兼顾“幼小”与“小中”的衔接
兼顾必要与可能
兼顾统一与灵活
小学数学内容的确定
我国小学数学教学内容分以下七个部分：数与计算，量与计量，比与比例，代数初步知识，几何初步知识，统计初步知识和应用题。
1986年制定的《全日制小学数学教学大纲》中提出的“适当精选算术内容，适当增加代数、几何初步知识，适当渗透一些集合、函数、统计等数学思想”的有关内容，做出进一步的调整。
调整的主要方面是
删去部分内容
精简大数目的计算
降低应用题的难度
部分内容改为选学或只学不考
第六，加强数学思考方法的渗透。
小学数学教材的体系结构和编排原则
小学数学教材的体系
从我国教育发展历史来看，小学数学教材体系有单一式和综合式之分。
单一式体系以正整数、正分数以及它们的四则运算为主要内容，不包括代数与几何。
1978年后的教材又增加了代数初步知识，算数更名为数学，名副其实的构成了一个综合式的体系。
小学数学教材的结构
美国著名心理学家布鲁纳认为，教材结构主要指本门学科的基本原理和基本知识。
我们认为，小学数学教材结构是在综合考虑数学本身的逻辑规律以及小学生认识规律和心理发展水平的前提下，用数学的基本概念，基本规律，基本事实和基本方法联系起来的整体，这个整体不是知识、原则的罗列和拼凑，也不是个部分数学知识的简单求和，而是一个上下贯通、纵横交叉、紧密联系的知识网络。
一个良好的小学数学教材结构应有利于知识，方法和态度的迁移。
小学数学教材的编排原则
以整数、小数、分数的基础知识以及四则运算为主线，以数形结合为重点，把个部分内容按其彼此的内在联系进行编排。
由浅入深、循序渐进，适当分散、螺旋上升。
把基本概念、基本规律、基本方法置于教材的中心地位，注意突出重点、分散难点。
寓教育方法于教材编写之中，促进学生的智能发展。
把数学知识和数学应用结合起来
国内外小学数学教材的改革
我国小学数学教材的演进
清末民初到1949年以前
1903年，由商务印书馆依蔡元培先生的计划编了一套《最新教科书》，其中包括《最新初小算术教科书》，这样小学算术课本便正式问世了。
新中国成立后
新中国成立之初，百废待兴，在还没有统一的大纲以前，北方以刘松涛等编的老解放区教材作为算术课本，南方以俞子夷编的教材作为课本。
1952和1956年颁布了两个教学大纲以后，由人民教育出版社据此编写了小学算术课本。
1963年在总结教改经验的基础上，人民教育出版社按照当年颁布的《全日制小学算数教学大纲(草案)》，编写了小学算术课本12册，珠算课本1册。
1978年根据颁布的《全日制十年制小学数学教学大纲(试行草案)》，编写了全国小学通用教材《数学》(适用本)10册
1992年颁布了《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》
我国义务教育教材改革的决策
提倡一纲多本
实行编审分开
逐步建立一支相对稳定的三结合教材编写队伍
大力加强教育科学研究，开展教材评价工作。
国外小学数学内容的改革趋向
精选传统的四则运算，增加近代、现代数学知识，提倡广而浅。
重视现代数学思想方法的渗透
变换思想
模型方法
坐标方法
提倡“问题解决”和数学应用
重视运用计算机（器）进行辅助教学
三、小学数学学习概论（一）
数学学习的含义
学习的本质
广义的学习是人类与动物共有的，是指经验的获得以及行为倾向较持久的变化过程。
经验是客观现实的反映，是人和动物在生活过程中通过实践或训练所获得的知识或技能的反应。
经验可分为两种，一种是总是经验，另一种是个体经验，总是经验，指的是在其发展过程中形成，并已无条件反射活动的形式，在个体身上表现出来的，因此它带有遗传的性质，实际上是一种先天的本能，个体的经验指个体在生活过程中习得的经验，也可称为后天的经验，而个体经验与经验相比要复杂的多，形成的速度快得多。
狭义的学习是指学生在教育情境中的学习，是学生凭借经验产生的，按照教育目标有目的，有组织的进行比较持久的行为倾向的变化过程。
教育情景中的学习与日常生活中的学习是有区别的，主要表现在以下四个方面。
第一，学生获得的经验是前人所积累的科学文化知识及间接经验。
第二，学习是在教师有目的，有计划，有组织的指导下进行的。
第三，用前人的间接经验武装自己，不必事事实践，虽然也要有一些实践活动要取得一定的直接经验，但这种实践活动往往带有验证性。
第四，以明确的教育目标为标准。
数学学习的含义和特点
数学学习的含义
数学学习的本质是学生获取数学知识，形成数学技能和能力的一种思维活动过程。
小学生数学学习的特点
第一，小学生的数学学习是个逐步抽象的、具体形象思维与抽象逻辑思维相互促进的过程
第二，小学生数学学习是一种符号化形式与生活实际相结合的学习
认知学习理论对数学学习的启示。
皮亚杰的发生认识论与数学学习
皮亚杰发生认识论的基本观点
发生认识论
皮亚杰认为，人类的认识并不是起因于有自我意识的主体，也不是起因于客体，而是起因于主体与客体之间的相互作用，主体是通过活动对客体的适应而推动了认识的发展，儿童的认知也是在主体与客体的相互作用之中，逐步建立起来的一系列结构，从而心理才不断产生量与质的变化。
认知发展阶段论
玩儿童的认知发展分为四个主要的阶段
感知运动阶段，零岁到两岁。
前运算阶段，两岁到七岁。
具体运算阶段，七岁到十一二岁。
形式运算阶段，十一二岁到十四五岁。
皮亚杰的发生认识论对小学数学学习的启示
强调活动、操作对认知发展的价值。
数学的抽象与儿童思维的具体形象性之间的矛盾，是数学学习中的主要矛盾，解决矛盾的主要途径是利用直观。
揭示同化、顺应、平衡的建构过程，重视认知结构的作用
数学认知结构是指数学的基本概念，基本规律，基本事实，基本方法保留在学生头脑中的联系系统，与教材的知识结构相比，它是内在的。
在数学中要不断设计“不平衡”的问题情境
布鲁纳的认知—发现学习理论与数学学习
布鲁纳的认知发现理论的基本观点
强调儿童的认知发展序列
布鲁纳认为人们通过认知过程把获得的信息与以前形成的心理框架相联系，所构成的知识框架可以作为表象系统，表象系统由低到高可分为动作式模式，印象式模式，和象征性模式三种。
强调学科的基本结构
提倡发现学习
布鲁纳的认知—发现理论对小学数学学习的启示
突出学习的认知过程，明确认知结构的含义。
发现法对小学数学教学的作用
奥苏伯尔的认知—接受学习理论与小学数学学习
奥苏泊尔的认知—接受学习理论的基本观点
根据学习内容可分为有意义学习与机械学习，根据学习方式又可分为发现学习与接受学习，两种分类相互独立，成为正交。
认为学习可以分为有意义的发现学习和有意义的接受学习，而后者是学生的主要学习方式，他对有意义的接受学习提出独创的见解，认为它需要具备两个条件，一是学习材料对原认知结构必须有潜在的意义，二是学习者必须具有这种有意义学习的心向，两者缺一不可。
此外，奥斯伯尔强调语言对学习的作用。
奥苏泊尔的认知—接受学习理论对小学数学学习的启示
第一，学习的分类比较科学合理，避免随意偏废一方，且整个学习理论贴近学校的教学过程。
第二，奥苏伯尔的名言是：“影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道了什么，这一名言道出了教育心理学的基本原理，而其原理面对逻辑严密的数学学习是尤为重要的。
小学数学学习的基本形式与过程
数学学习的两种基本形式
从学习的深度着眼，可以把学习分为机械学习和有意义学习两类。
如果从学习方式来看，还可分为有意义的接受学习和有意义的发现学习。
小学数学学习的基本过程
学习过程的几种模式
我国传统的学习模式
学习过程的环状模式由苏联心理学家列昂捷夫等提出
学习过程的阶梯模式由美国心理学家加涅提出
小学数学学习的基本过程
动机的激发
学习动机是促进学生从事学习活动的原动力，动机总是和一个人的需求密切相连的。
知识的感知
是指通过观察，操作等活动，让学生对提供的数学材料，数学事实进行最初步的区分和认识，获得感性的认识。
认识的理解
是指对已获得的感性材料，通过分析、综合、抽象、概括，逐步掌握概念的基本特征和规律的实际含义，达到理性的认识。
知识的巩固
数学知识的巩固是指数学知识的记忆
知识的应用
一类是浅层次的应用，是指将所掌握的知识，直接应用于相类似的情境中，这就属于一般的解题练习。
另一类则是深层次的应用，就是将已掌握的知识通过高一级的独立思考，甚至有一定创造性思考的方法去解答新情境中的问题。
影响小学生学习数学的因素
学习动机和兴趣
数学认知结构的组织水平
思维水平
学习策略
学习策略是指学生在完成学习任务的过程中，对自己所采用的程序，途径，方法和手段进行选择，运用和调整。
小学生数学学习策略至少有以下几个方面
把新知识转化为旧知识的学习策略
不仅“知其然而知其所以然”的学习策略
“举三得一”和“得一反三”的学习策略
适时形成知识网络的学习策略
从陈述性知识转化为程序性知识的学习策略
小学数学学习迁移
学习迁移是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响包括知识，技能方面，还包括方法，态度方面。
迁移的种类
从方向上来分析分为顺向迁移和逆向迁移，先前学习对后继学习的影响叫做顺向迁移，反之后继学习对先前学习的影响，叫做逆向迁移。
从效果上来分析分为正迁移和负迁移，一种学习对另一种学习的起促进作用的是正迁移，如果起干扰作用的就是负迁移。
影响学习迁移的主要因素
学习材料之间的共同因素
是学习迁移产生的基本条件
已有知识的概化程度
认知结构中具有高概括性、包摄性的知识，往往容易形成正迁移。
已有知识的可辨性和稳定性
可变性是指新知识和同化它的原认知结构中的有关知识的可辨别程度。
稳定性是指原有认知结构中连接新知识的“固定点”的巩固程度和清晰度
学生的智力水平
智力是掌握知识的前提条件
心理定势
是指学习过程中思维活动所具有的心理准备状态，它往往表现为一种思维趋向。
小学生数学学习迁移的特点
实现知识、技能的迁移较易
实现数学思考方法的迁移较难
数学思考方法是数学内容的基本思想以及解决数学问题的策略和手段
易受狭隘的思维定势的干扰
四、小学数学学习概论（二）
数学知识学习的基本形式
数学知识的学习主要指数学概念，法则，定律，公式等的学习，为了讨论方便，我们把数学知识概括为数学概念和数学规则。
概念的形成与同化
数学概念是反映一类数学对象的本质属性的思维形式，因此，数学概念的学习是不断将同一类数学事实的本质属性与非本质属性进行辨别的过程。
概念的形成
是指学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，从实际经验的肯定例证中，概括他们的共同属性，提出共同属性的各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性，推广的同样的事物之中，运用符号加以表示。
概念的同化
当学生在学习直接用定义陈述概念时，能主动的利用原有认知结构中相应的旧概念与新概念之间的相互联系、相互作用，从而掌握新概念的本质属性，这种获得概念的形式叫概念的同化。
概念的同化一般来说有三种方式
类属（下位）同化
总括（上位）同化
并列同化
概念的形成和概念的同化，从其过程来看并不相同，概念形成主要依靠对具体事物的抽象，通过对正反例证的不断辨析，提出假设和验证。概念同化主要依靠新旧知识的联系，因此它的前提条件是学生必须具有与新概念有关系的认知结构，具有学习新知识的心象，学生先要找出新旧概念的连接点并区别其异同，再进行调节，最后把新概念纳入到原有认知结构中并对它有更深一层的认识，或者对原有认知结构进行改组，重建成新的认知结构。所以我们可以这样说，如果把概念的形成作为发现学习，那么概念的同化就是接受学习。
规则的发现与接受
数学规则的学习是要学生逐步掌握有关几个数学概念之间的关系所反映的规则的学习
数学规则的发现学习
发现学习是先呈现有关数学规则的若干例证，由学生自己观察分析，逐步概括归纳出一般的结论，从而获得规则的方法。
数学规则的接受学习
接受学习是先呈现要学习的数学规则，然后用若干例证加以说明，由于学生对构成规则的有关数学概念已经掌握，所以也能对规则有所理解并掌握。
数学技能学习的基本形式
数学技能及其种类
技能是智力活动和操作活动的基本活动方式，反映的是动作本身和动作方式的熟练程度。
数学技能是完成某些数学任务的智力或动作的活动方式，它必须通过一定的练习才能完成。
智力技能主要指组成这类活动方式的动作是在头脑内部实现的，通过分析、综合、抽象、概括等逐步完成的；操作技能是指组成这类活动方式的动作需要通过人的头脑外部的机体运动或操作一定的对象来完成。
小学数学的智力技能包括口算、笔算、解题、解方程等；小学数学的操作技能包括数字的书写，利用工具（直尺、三角板、圆规）做几何图形，利用工具测量角度、测量物体的长度、重量等等。
数学智力技能的形成过程与学习方法
数学智力技能的形成过程
根据苏联心理学家加里培林提出的智力活动形成五个基本阶段来研究数学智力技能的形成。
活动定向阶段
是准备阶段，任务是了解、熟悉活动，知道要“做什么”和“怎样做”，从而在头脑中建立起定向印象，而且这种了解应该是完全的、概括的比较系统。
物质活动和物质化活动阶段
所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，所谓物质化活动是指活动不是借助于实际事物本身，而是以它的替代物，如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进行的。
加里培林认为，物质化的形式是学生最容易理解的、最方便的
出声的外部言语活动阶段
这一阶段是活动离开了它的物质或物质化的客体，以出声的外部言语形式来完成实在的活动。
不出声的外部言语阶段
内部言语活动阶段
数学智力技能的基本学习方法
范例学习方法
是小学数学智力技能学习的主要方法
尝试学习方法
数学操作技能的形成过程与学习方法
数学操作技能的形成过程
定向阶段
指学生要了解与某种数学技能有关的知识和功用，了解动作的基本步骤、难度、要领、动作程序以及活动最后要达到的目标等。
单个动作阶段
指把整个的活动分解为若干个单的单个动作，并逐一进行练习，达到形成局部动作的技能。
连续动作阶段
指把每一个动作技能按顺序连接起来，形成一个连贯协调的步骤。
自动化阶段
是数学操作技能的最后阶段。这时意识的参与明显减少，意识只有当动作出偏差时才起作用。
数学操作技能的学习方法
一般就是范例学习方法。
两种数学技能的比较
在意识的控制程度方面的区别
意识控制程度的减少是两种数学技能形成和熟练的主要标志，数学智力技能的熟练表现在心理资源的节约，意志努力程度的降低，最后思维减缩到连自己也察觉不到的自动化的程度。数学操作技能的熟练则表现在意识参与程度的减少，只有一个启动信息，全套动作便能自动和谐的完成。
在动作程序形成方面的区别。
动作程序形成了动作单元组成的动作结构，这也是两种数学技能形成的特点。数学智力技能形成的程序表现为一种认知的“功能模块”，也就是由各个环节组成的系统，但是更主要的是由外部活动向内部言语，最后达到思维过程的高度简缩，数学操作技能形成的程序表现为由单个动作连结为连续动作，多余动作逐步消失，注意力可以自由分配。
在活动速率和品质方面的区别
技能熟练与否最后还以其速率及品质来决定，两种技能都要达到一定的速率，这是毋庸置疑的。而两者的活动品质有所不同，智力技能主要指思维方面的品质，表现为思维的正确、简约和灵活；操作技能主要指动作的品质，表现为动作的精确、娴熟与和谐。
数学问题解决的基本形式
数学问题解决的含义
问题解决是指个体在一种新的情景下，根据获得的有关知识，对发现的新问题，采用新的策略，寻求问题答案的心理活动。
数学问题解决是以数学问题为研究对象的，它可以提高学生的创造性思维，提高学生应用数学的意识，是近年来数学教育界研究的热点问题之一。
小学数学问题解决的特点
1、问题解决指的是学生初次遇到的新问题，这类问题并非是平时遇到的一般的练习题。
2、问题解决的方法和途径也是新的，应是学生利用已有的知识、技能、方法的重新组合，至少是对原有知识、技能、方法进行比较复杂的加工，是学生的一种克服各种障碍的探究活动。
3、问题解决的方法和途径可以包括内隐的思维活动和外显的操作活动两个方面
4、问题一旦解决，学生通过问题解决的过程所获得的新的方法、途径和策略便可作为认知结构中的一个组成部分，成为已知的解决其他问题的方法、途径。也就是说，用这些方法、途径再去解决其它问题，就不再是问题解决了。
奥苏伯尔问题解决的模式
奥苏泊尔与鲁滨逊于1969年提出了问题解决的模式
呈现问题情境命题
明确问题目标与已知条件。
填补空隙过程
解答后检验
小学数学问题解决的基本过程
弄清问题
是指对已知条件及目标的初始状态有个完整的认识，同时学生还必须对它们保留清晰的印象，这样才为利用原有知识策略寻求解题思路做好准备。
寻求解法
当数学问题已难与原认知结构建立直接联系时，学习者就应采用各种有效的策略，通过分析综合，提出解题的各种假设，最后确定解决方案。
进行解题
根据思考过程拟定解题计划并逐步解答，最后解决问题。
回顾评价
回顾主要指对数学问题的答案进行检验；评价则要求学习者分析自己选择的解题途径是否最简捷，推理是否严谨，再进一步探究一下这种方法能否应用于其它问题。
五、小学数学的教学过程与教学原则
小学数学教学过程的实质
教学过程是指学生在教师的指导下从不知到知，从知之较少，到知之较多的认识过程。
小学数学教学过程是在教师的指导下，以最科学，最准确，最经济的途径，使学生从不知到知，从知之较少，到知之较多，进而使身心得到全面发展的认识过程。
它内部的主要要素至少有以下六个：教师，学生，教学内容，教学方法，教学手段和教学评价。
小学数学教学过程中的三对主要矛盾
教育者与受教育者之间的矛盾
教育学的矛盾是教学过程中各种矛盾中最基本的一对矛盾，教师的教是为了学生的学，学生的学又影响着教师的教，两者相互依存，缺一不可，这种相互依存的关系又往往是以教材为中介加以表现的。数学教材在未进入教学之前，这些知识只处于储备状态，而当教师依据学生的思维水平和知识基础进行的教学法加工以后，教材传递的可能性成为现实。而学生又通过教师的教，对原来不甚感兴趣的内容逐渐感兴趣了，获取知识时能够更主动的进行选择和加工，使教材知识结构转化成自己的认知结构之后，再反馈给教师并影响着教师的教。所以说教与学的任何一方都以另一方为条件，两者是矛盾统一的。当然，矛盾的主要方面还是教师，因为他起主导作用。
作为学生认识对象的数学教材与人类早期对数量关系和空间形式认识的数学科学系统之间的矛盾。
一般都认为个体的认识过程在一定程度上重复着种系的认识过程，因此小学数学教材实际上是重演了人类早期对数学的认识及其发展的过程。这种重演并非重复，而是概括的、压缩的、精炼的，只有这样，才有可能在短时期内把初等数学的启蒙知识传授给小学生。这种压缩必须符合教学规律，符合儿童的心理发展水平和数学科学的规律。同时这种压缩和简练又是有条件的，我们不是简单的去做减法，而是根据现代科技发展和社会需求，用新的观点来处理传统的基础知识。
学习主体（学生）与客体（教材）之间的矛盾
学生旧有经验同教材新知识之间的矛盾：比如像学生在日常生活中见到的角都是尖尖的，所以往往在认识平角圆角时发生困难。
学生已具备的能力同解决新课题的新要求之间的矛盾：教学不仅要适应儿童的接受能力，更重要的要通过教学促进学生的发展，所以解决新课题所需要的能力往往高于儿童原有水平，由此产生矛盾。
学生具有的知识理解水平与对这一知识的叙述和应用能力之间的矛盾：有时学生似乎已理解了某个概念或规律，但要进一步用语言表述或应用它们时，却发现差距很大，因为数学语言十分精炼和概括，解决实际问题时又要求学生有更高的分析综合能力。
小学数学的教学原则
教学原则是根据一定的教学目标对教学过程规律性的认识，也是人们对教学实践的科学总结。
传授数学知识和培养数学能力相结合的原则
小学生的数学能力一般是指计算能力，初步的逻辑思维能力，初步的空间观念以及运用所学知识解决简单实际问题的能力。
贯彻这一原则的要求
既要重视学习结果，更要重视学习过程。
要合理地组织教学过程，恰当地运用教学方法
要培养学生自己组织智力活动的自觉性
理论与实际相结合的原则
广应用的广泛性是数学的三大特性之一
贯彻这一原则的基本要求
注意从实际生活中引出概念
引导学生观察数学知识在日常生活（包括生产，科技）等方面的初步应用。
联系实际要符合小学生的年龄特征
具体与抽象相结合的原则
贯彻这一原则的基本要求
要采用多种直观手段
一般有两种分类方法，一种按使用功能分类，分为教具和学具。
另一种按其具体化程度分类，分为实物直观、模象直观（以事物的模拟形象为直观对象，如图片、图表、模型等），语言直观（指教师对事物做生动形象的描述和举例）以及现代化教学手段。
要充分发挥表象的中介作用
表象是曾经感知过的事物不在面前时，在脑中重现出来的形象。
要注意及时抽象，并再回到具体中去。
严谨性与可接受性相结合的原则
贯彻这一原则的基本要求
严谨性要有层次，要适可而止。
可接受性要难易适度
理解和巩固相结合的原则
是根据数学学科的性质和任务提出来的
贯彻这一原则的基本要求
理解是巩固的首要前提
苏联著名的哲学家伊里莫科夫曾对死记硬背的恶果作出如下剖析
损坏思维的器官要比损害身体的其他任何器官容易得多，而至于他却是很困难的，如果吃完了，那就完全没有治愈的可能，最有效的损害老子和智力的办法之一就是形式主义的史记知识。
组织有效的练习和复习，促使知识系统化。
乌辛斯基说过：“智慧不是别的，只是组织的很好的知识体系”。
他还批评那些缺乏系统知识的人，说装着一些片段的，没有联系的知识的头脑像一个乱七八糟的仓库，主人从那里是什么也找不出来的？
教师的主导作用与学生的主体性相结合的原则
贯彻这一原则的基本要求
要树立主体教育的学生观
要逐步建立起数学教学中的小学生主体性发展的目标
由北京师范大学教育系承担的国家教育委员会8595人文社会科学研究规划重点学科项目少年儿童主题发展实验研究中确定数学教学中的小学生主体性发展的培养目标有
独立性
是指学生学习数学有信心；不依赖教师，家长或同伴，独立完成学习任务；通过独立思考来认识和判断数学问题；不受别人的影响而轻易放弃自己正确的看法；对自己的学习结果和策略能作出适当的评价，并进行调控。
主动性
指学生对数学学习有兴趣，有较明确的目的；会主动安排自己的学习时间；能为自己确定恰当的数学学习目标；主动参与学习活动，主动提出问题，并会主动和同伴就感兴趣的数学问题交换自己的认识；掌握数学的学习方法和某些数学思考方法；自觉选择简捷算法和解法解决一些问题；掌握验算方法，自觉进行验算；主动利用已学的数学知识和方法来解释或解答生活中的一些简单的实际问题；会用数和形？的观点观察周围事物，并初步具有这方面的兴趣和态度。
创造性
指学生乐于并善于发现问题，质疑问难；不满足于常规的解题方法，能从不同方面、多角度地观察并寻求解题思路，具有一定的创新意识；比较善于直觉思维；喜欢动手操作，并创造性地操作（或制作）一些学具和模型。
要善于激发学生的学习兴趣和求知欲
要培养学生独立思考，勇于探究的精神。
六、小学数学教学方法
启发式是确定小学数学教学方法的指导思想
小学数学教学方法正在实现三个转变：一是以教为主转到以学为主；二是从只重视学习结果转到既重视结果，又重视过程；三是从只研究教法转到既重视教法又重视学法，总之，启发式教学开始代替了注入式教学，教学方法的改革出现了一个崭新的面貌。
《学记》中有精辟的论述：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，就是说要引导学生，不要牵着学生走，要鼓励学生而不要压抑它们，要指导学生的学习门径而不要和盘托出，这样，才能意开词达，豁然开朗。
启发式不是一种具体的教学方法，而是确定所有教学方法的指导思想。
小学数学教学方法的选择
根据不同的教学任务，选择教学方法。
感知新内容时，以演示法、操作实验为主，在理解新内容时，以谈话法、讲解法为主；在形成技能技巧时，练习法又成为主要的方法了。
根据不同的教学内容选择教学方法
根据不同的教学对象选择教学方法
低年级儿童可以多用些演示法、操作实验法并辅之以引导发现法；中年级则用谈话法；高年级可适当采用讲解法和自学辅导法。
根据教师使用各种教学方法的能力，选择教学方法。
小学数学基本的教学方法
常用的教学方法有讲解法，谈话法，演示法，操作实验法，引导发现法，练习法，复习法，读书法，实践作业法。
讲解法
讲解是教师运用口头语言向学生说明、解释或论证数学概念、法则、规律的一种教学方法。
其特点是教师系统地、有论据地讲解新的概念或规律，使学生在较短的时间内获得比较系统的数学知识，同时学到一些分析、推理的方法。这种方法要求学生有一定的听讲和理解能力，比较适用于高年级。
运用讲解法的基本要求
教师应具备较强的语言能力
注意发挥学生的主体作用
讲解要选准新知识的生长点
要正确运用分析、综合、归纳和演绎的思维方法。
要恰当运用板书
要使学生学会听讲的方法
谈话法
谈话是通过师生对话的方式来理解数学新知识的一种教学方法
特点是教师根据学生已有的知识和经验，提出一系列的问题，引导学生积极思考，从而达到掌握新知识的目的。
运用谈话法的基本要求
全面了解学生为谈话做准备
精心设问
根据不同的教学目的，可分为下列不同的种类。
引入新课时的设问
理解新知识时的设问
巩固新知识时的设问
要鼓励学生质疑问难
教师不仅要善于设问，还要满腔热情地促使学生发问。
认真倾听学生回答
谈话要面向全体
演示法
演示是教师通过展示的实物、教具等，指导学生通过观察获得感性认识的方法
运用演示法的基本要求
根据教学要求、教材性质和学生认知规律选用教具。
教具设计要科学，使用时机要恰当。
演示教具要突出对象的本质特征或发展过程
演示要配合适当的讲解或谈话
操作实验法
操作实验是在教师指导下，利用一些设备或学具由学生独立操作，从而获得直接经验的一种方法。
运用操作实验法的基本要求
学具操作要有明确的目的
学具操作要选择恰当的内容
需要引导学生通过学具操作来学习的数学内容
建立某些起始概念。
区别某些易混易错的数学知识
理解较难的或离学生生活较远的知识。
推导抽象的公式和法则
操作实验要与语言相结合
要给学生留下足够的思维空间
学具操作要注意适时，适量和适度。
引导发现法
发现法是由教师提出课题，让学生完全独立的去探索和发现结论的一种方法。
是由20世纪50年代末布鲁纳所倡导的，布鲁纳认为：人类全部生活中最突出的特点是人会独自发现事物。
运用引导发现法的基本要求
要掌握引导发现法的教学程序。
创设问题情境，引起思维冲突，促使学生探索。
明确探究的目标和中心
拟订解决问题的途径，收集资料
根据所得数据或资料，提出假设
组织讨论，检验假设。
得出结论
要重视学生发现的过程，留给学生充分的时间去探索。
要注意引导发现法运用的范围。
要注意发挥教师的引导作用
练习法
练习是在教师的指导下，巩固数学知识，形成数学技能技巧时常用的一种方法。
它有教学、教育、发展和反馈四方面的功能。
教学功能是指数学知识的巩固和应用
教育功能及思想品德的熏陶，学习习惯的培养。
发展功能是指思想方法的训练思维，品质的培养。
反馈功能就是师生双方及时获得来自练习中的反馈信息，有效的调整教与学的程序。
运用练习法的基本要求
练习内容要有针对性和典型性
练习安排要有坡度，有层次。
练习一般要经过模仿，熟练和创造三个阶段。
注意练习的质与量的辩证统一
练习要多次反馈
注意科学的安排练习时间
练习形式要灵活多样
练习要面向全体，因材施教。
要教会学生练习的方法
小学数学教学手段的现代化
电化教学与小学数学教学
什么是电化教学
在教学中，运用现代教学媒体与传统媒体适当结合以传递信息，达到教学过程的优化叫做电化教学。
电化教学手段在小学数学教学中的作用
电化教学手段的选择和应用
电化教学手段的种类和功能
幻灯
投影
录音
录像
电视
计算机辅助教学
运用电化教学手段的一般模式
第一，学生直接向电化教学媒体学习，电化教学媒体对学生的反应做出反馈。
第二，教师借助电话教学手段向学生传递教学信息，师生交互反馈。
第三，学生向教学媒体学习，通过教师作出反馈。
七、小学数学教学的组织
小学数学课堂教学结构
什么是课堂教学结构？
课堂教学结构是指在一定的教育思想的指导下，为完成一定的教学目标，对构成教学的诸因素，在时间、空间方面设计的比较稳定的、简化的组合方式及其活动程序。
具有指导师生进行教学活动的作用
设计小学数学课堂教学结构的若干原则
教学目标具体化原则
制定明确而具体的教学目标是优化课堂教学的前提和保证
暴露认知建构过程的原则
信息交流多项性原则。
教学方法整体优化的原则。
信息反馈调控的原则
首先，信息反馈要及时准确，学生的回答是提供反馈信息的重要来源，从他们的回答中可以细致的剖析学生概念掌握的程度，解题思路的优劣以及思维水平的层次，因此，教师一定要仔细倾听和分析学生的回答，而不简单的表示肯定和否定，必要时可以引导学生做进一步的深层思考。
其次，信息反馈要全面、多向。教师要对全体上、中、下不同水平学生的反应全面了解，还要在课前、课中和课后全过程中全面接受反馈信息。
最后，信息反馈要经济、高效。
知情交融的原则
苏联教育家苏霍姆林斯基曾说：我们教给他们的知识不是什么与人截然分开的东西，他们是和人的情感世界融合在一起的。
时控性原则
小学数学课堂教学类型
根据教学任务的不同，便有不同的课堂教学类型，一般在一节课只完成一两个教学任务的叫做单一课，可完成两个以上教学任务的叫综合课。
在小学数学教学中的单一课可分为准备课、新授课，练习课，复习课，检查测验课，作业讲解课。
新授课
是以传授新的数学知识为主的课型
讲练课
基本训练
引入新课
进行新课
尝试练习——第一次的集中反馈
阅读课本并小结
独立练习——第二次集中反馈
布置作业
探究研讨课
引导学生利用已有的知识和所提供的结构化的材料，通过自己的操作、实验；思考、研讨多种途径，掌握数学概念或结论。
明确教学任务，准备操作材料。
探究
研讨
得出结论
阅读课本
巩固练习
自学辅导课
指以学生自学课本为主，教师指导为辅的新授课。
基本训练
提出课题
自学
学生独立阅读课本是本题型的中心环节
讨论并解答疑难
整理小结
巩固练习
练习课
是在学生理解新知识的基础上，以学生的独立练习为主要内容的课型
基本训练
检查复习
明确练习的目的和要求
课堂练习
是练习课的中心环节
讲评并小姐
布置课外作业
复习课
是以巩固、梳理已学的知识和技能为主要任务，并促使知识系统化，提高解决问题能力的一种课型。
明确复习要求或提出复习提纲
进行复习
总结
课堂练习
布置课外作业
小学数学课堂教学的准备
钻研大纲和教材
领会大纲的基本精神，明确教学的指导思想，把握每一年级数学教学的具体要求，掌握教学法的基本原则，这些都是钻研教学大纲的主要目的，必须纠正只看教材不钻研大纲的倾向。
应做到以下几个方面
驾驶教材的内容联系
明确教材的重点和难点
钻研练习题
分析教材中的思想教育因素
了解学生
分析学生的知识基础
了解学生的非智力因素
选择恰当的教学方法
小学数学课外活动
小学数学课外活动的功能
激发学生学习数学的情趣，培养良好的心理品质。
拓宽学生数学视野，增长才干。
渗透数学思考方法，培养良好的思维品质。
培养从数与形的角度观察事物的态度和意识，运用数学知识分析和解决实际问题的初步能力。
小学数学课外活动的特点
活动性
自主性
思考性
对数学来说，“问题”是数学的心脏，“方法”是数学的行为，“思想”是数学的灵魂。
小学数学课外活动的内容
应注意以下几个方面
实践性
趣味性
综合性
八、小学数学教学评价
教学评价概述
教学评价的含义
教学评价是根据教学目标，采用科学的方法，对教学过程中的诸因素进行综合的，全面的价值判断的过程。
教育测量和教育评价是两个既有联系又有区别的概念
数学评价具有以下三个特点
规定性
系统性
综合性
教学评价的功能
教学评价包括课堂教学的评价，学生学业成绩的评价等。
导向功能
反馈功能
激励功能
改进功能
教学评价的原则
教育性原则
首先，教学评价必须以全面贯彻教育方针，全面提高教学质量为目标。小学数学教学评价就应以小学数学教学大纲为依据，要符合学科特点以及教学规律，要正确体现教育的价值观。
其次，坚持评价的教育性原则，应使教学评价的过程成为一个教育过程，使评价者与被评价者通过评价自身都有所提高。
最后，坚持评价的教育性原则，要使被评者不仅是评价的客体，也能进行自我评价，增强评价的参与意识，使评价的过程成为被评者的自我认识、自我完善的过程。
客观性原则
数量化的原则
可行性原则
小学数学课堂教学的评价
课堂教学评价的要素及评价指标
课堂教学评价属于微观的教育评价
教学目标
根据大纲，教学目标明确具体
符合学生实际，教学要求恰如其分。
教学内容
保证科学性
重视系统性，逻辑性。
有较高的处理教材的能力
教学过程
始终围绕教学目标
教学结构科学合理
环节紧凑，过渡自然。
把握重点，突出难点。
时间分配恰当
教学方法
采用启发式教学
讲究实效，灵活运用教学方法。
充分发挥学生学习的主体作用
重视培养思维能力和动手操作能力
信息反馈及时，全面
发扬教学民主，为学生陈述不同见解创造条件。
练习有针对性，有层次，形式多样。
面向全体，并注意因材施教。
教师素质
教态亲切，仪表端庄，举止自然。
语言简明生动，合乎逻辑，有启发性。
板书规范、简明清晰，布局合理。
教具、学具选用得当，目的明确，演示娴熟。
知识面广，应变能力强。
教学效果
达到预定的教学目标
学生思维活跃，信息交流通畅。
学生应答面广，质量高。
课内练习正确率高
教学特色
小学数学课堂教学评价的实施
听课准备
听课记录
填写评价表
计算各项得分
计算总分
A95分
B80分
C65分
D50分
E35分
填写评语
小学数学学习的考查与评价
学习考评的种类
根据《礼记·学记》中的记载：“比年入学，中年考校，一年视离经辨表…”。
可见，在战国时期已有一套较严密的成绩考评制度。
按考评的性质划分
显示性考评
目的是为了使被试在受教育以后，能把已获得的知识、技能、能力充分的显示出来，如期末考试，毕业考试等。
预示性考评
目的是为了测试被试在受教育之前的某一方面或几方面的潜能，从而估计其今后发展之可能，如高考、数学能力测评等。
按考评的作用划分
形成性考评
目的是为了测定学生在学习过程中的进步程度，并根据这些反馈信息调节教学程序。
总结性考评
目的是为了测定学生在学习结束后掌握知识技能以及能力发展的程度
诊断性考评
目的是为了诊断学生在学习中反复出现的持续的错误所在，及其原因。
按测评结果的解释划分
目标参考性考评
目的是为了了解学生学习的结果，毕竟预定教学目标的程度。
常模参考性考评
目的是为了了解学生学习的成绩，在同一群体中所处的相对位置。
小学数学成绩考评的命题工作
以小学数学教学大纲作为成绩考评的依据
制定双向细目表
在正式命提前，制定知识与能力两个维度的细目表，并给各类知识和能力以恰当的权重。
预测
题型的选取
除经常采用的式题、应用题以外，还可以采用部分是非题，选择题，填空题，匹配及序列题改错题等。
是非题
它适用于概念的判断，不适用于高度推理，在低中年级较多采用，高年级的有关命题也可酌情采用。
选择题
适用于考察被试对概念细微的辨别能力，判断能力，推理能力以及运用原理解释问题的能力，它是客观式试题中用途最广，频率最高的一种题型。
匹配题
能测查学生辨认两者关系的能力，在数学中可反映数与形，数与式的关系等。
填空题
可以考察学生对概念的理解，巩固和简单应用。
是我从我国科举考试中的“贴经”演变而来的
评分与质量分析
绝对评分与相对评分
绝对评分以教学目标作为衡量的标准，分数的高低说明考生达到教学目标的程度。
绝对评分与教学目标相连，对教学起直接的调控作用。
相对评分以被试所属团体的“常模”（该团体的平均分）为标准，分数的高低反映考生在同一团体内的相对位置，但是是否但是否达到教学目标，他是不考虑的。
相对评分建立在个别差异的理论基础上，对学生起监督作用。
怎样进行客观评分？
根据教学要求，合理分配各题所占的分数。
标准答案要明确、全面，根据各解答步骤决定具体的评分。
严格评分手续，尽可能减少各种无关因素对评分的干扰。
做好质量分析
成绩统计
题目分析
改进教学
九、数学思维与数学思维能力的培养
数学思维概述
数学思维的含义
数学思维是人脑和数学对象(空间形式，数量关系，结构关系)交互作用，并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。
它既具有思维的一般性质，又有自己的特性。
小学生数学思维发展的阶段
直观行动思维
具体形象思维
抽象逻辑思维
数学思维的特性
思维的概括性
是指以客观事物为依据，在原有经验的基础上舍弃了具体事物的非本质特征，家是数量关系和空间形式的本质特征及其规律，并把它推广到同类事物或现象之中。
思维的问题性
问题是数学的心脏
主要表现为数学思维总是与数学的实际问题相联系，总是表现为不断地提出问题，分析问题，直到解决问题。
思维的逻辑性
逻辑思维是数学思维的核心
数学思维的结构
结构是指组成某一事物的各种成分以及各成分之间的排列或关系
数学思维的材料和结果
指的是数学思维的内容
数学思维的基本方法
又称思维的操作手段
包括观察，实验，比较，分类，分析，综合，抽象，概括，归纳，演绎，类比，联想等。
数学思维的基本形式
逻辑思维的基本形式——概念，判断和推理。
形象思维的基本形式——表象，直感和想象。
直觉思维的基本形式——直觉和灵感。
数学思维品质
是衡量小学生数学思维发展水平的标志，主要有深刻性，灵活性，敏捷性，批判性和独创性等特点。
数学思维的分类
集中思维与发散思维
集中思维是朝着一个目标，遵循单一的模式，求出归一答案的思维，又称求同思维，在数学学习中，往往反映为按照既定的目标，严格用意义，定律，法则，公式等去思考，从而获得统一的结论。
发散思维则表现在解决问题时，能根据已提供的条件，利用已有的知识和经验，从多个方向，不同的途径去探索，思考，以寻求新的解决问题的途径和方法，所以发散思维又称为求异思维。
再创性思维与创造性思维
再创新思维是指根据原有的经验和已经掌握的解题方法，策略，在类似的情景中，直接解决问题的思维形式。
创造性思维是指在强烈的创新意识的指导下，把头脑中已有的信息重新加工，产生具有进步意义的新设想，新方法的思维。
数学思维的一般方法
观察与实验
观察是受思维影响的，有目的有计划的，通过视觉器官去认识事物状态及相互关系，一种主动的活动。
实验是有目的，有控制的，创设一些有利于观察对象，并对其实行观察和研究的活动方式。
分析与综合
分析是把思维对象的整体分解成各个部分，方面和要素，并对它们分别加以研究，考察的一种思维方法。
综合就是把已有的关于研究对象的各个部分，方面或要素联合成整体，从而进行整体认识的思维方法。
比较与分类
比较是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法
苏联教育家乌申斯基指出，比较是一切理解和一切思维的基础。
心理学家谢切诺夫认为，比较是人的最珍贵的智力保障。
分类是以比较为基础，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类不同性质的则归入不同类别的思维方法。
抽象与概括
抽象是指在认识事物中抽取其共同的本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。
概括是在认识事物的过程中将抽象出来的同类事物的共同属性连接起来，并把它推广到同类事物上去的思维方法。
归纳与演绎
归纳是从同类事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中得出这类事物的一般属性的思维方法
不完全归纳
完全归纳
演绎是由同类事物的一般属性推出及个别对象属性的思维方法
类比与联想
类比是根据两个对象之间存在着一些相同或相似的属性，推测另一些属性，也可能相同或相似的思维方法。
联想是由当前的某一事物联想到与其关联的另一事物的思维方法
初步逻辑思维能力及其培养
培养初步逻辑思维能力的总要求
《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》指出：结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析，综合比较，抽象，概括，对简单的问题进行判断，推理，逐步学会有条理，有根据地思考问题，同时注意思维的敏捷和灵活，这一要求既指出了逻辑思维的方法和形式，也提出了思维的品质。
概念明确
判断准确
判断有主概念，谓概念和联系词，三部分组成。
小学生的判断力主要反映在判断的正确性和敏捷性上
推理符合逻辑
培养初步逻辑思维能力的阶段目标
小学数学各年级逻辑思维能力的培养目标
有关各年级培养目标的若干说明
掌握数学知识与培养逻辑思维能力有密切的关系
逻辑思维能力是个整体结构
逻辑思维能力培养的阶段性和连续性
培养初步逻辑思维能力的基本途径
要挖掘教材中的智力因素，把培养逻辑思维能力贯穿于教学的全过程。
要给学生提供足够的思维材料
提供感性材料
提供理性材料
要顺着学生的思维，重视学习过程。
要重视数学语言的表述
初步形象思维能力及其培养
形象思维的基本形式
表象
表象的特征有两个，一是直观性，二是概括性。
数学表象可分为两种基本类型：图形表象和图式表象
直感
形象识别直感
形象相似直感
想象
图形想象与图式想象
再造性想象与创造性想象
培养初步形象思维能力的基本途径
积累表象
数形结合
重视想象
初步直觉思维能力及其培养
直觉思维的基本形式
直觉
是在原有知识和经验的基础上，通过观察联想，猜测的对出现在人们面前的新事物，均现象的一种直接的，极为敏锐的判断和对其内在本质的理解，这种思维形式往往不受逻辑规则的约束。
直觉具有经验性，跳跃性和或然性的特点。
灵感
灵感与直觉，既有联系又有区别，直觉的对象一般在眼前，是通过逻辑思维与形象思维的多次作用，在一定情况下，结合产生的而灵感，常常出现在思考对象不在眼前，并多次直接受阻，思维从显意识转入潜意识，又由于某种情境的触发，产生信息沟通而形成顿悟，灵感往往带有创造性。
数学灵感是人脑对数学对象结构关系的一种突发性的顿悟
灵感的特征是突发性，模糊性和非逻辑性。
培养初步直觉思维的若干建议。
朱棣文在谈到自己的成功之道时指出：你必须看到那些别人已经看过但没有发现的东西。
重视知识组块的积累
鼓励合理猜想
敢于创新
数学思维品质及其培养
数学思维品质
思维的深刻性
主要指能从数学的感知材料出发，通过逻辑思维，揭示数与形的本质特征，确定它们的内在联系和规律，并预感事物的发展进程。
思维的灵活性
主要指善于从不同的角度，不同的方面进行分析思考，善于根据条件或问题的变化转换思路，做到思维起点活，思维过程活，有较强的迁移能力。
思维的敏捷性
主要指思维活动的速度
思维的批判性
主要指在数学思维活动中能严格估计思维材料和精细检查思维过程能随时对思维过程进行监控和调节的品质
思维的独创性
是指在面对从未见过的新问题时，能采取相应的对策，并能给予独特新颖的解决，他是数学思维发展的高级表现。
小学生数学思维品质的培养
第一数学知识是小学数学思维发展的载体，要有目的，有计划的引导，学生构建良好的认知结构，数学思维与数学知识相互促进，共同发展。
第二，要明确培养小学生的初步数学思维能力，要以初步逻辑思维为主，其他非逻辑思维，音交叉运用，相互补充。
第三，要发挥教师在培养小学生思维过程中的主导作用，要加强知识的发生，发展过程的教学，通过教师的教学法加工，使教材中的数学知识转化成学生自己积极主动的思维过程。
第四，教师要大胆放手，要给学生提供足够的思维，素材足够的思维空间和时间，给学生以充分的信任，让他们能主动地暴露自己的思维过程和结果，逐步培养良好的思维品质。
第五，要加强思维训练，使学生掌握基本的数学思维方法，尤其要重视逆向思维的训练，它将有助于学生发现新的联系，产生新的构想。
十、小学数学教学中非智力因素的培养
非智力因素是指学生在认识过程中的智力与能力之外，对认识活动起着制约作用的动机，兴趣，情感，意志，习惯性格等心理因素。
培养非智力因素的重要意义
培养良好的非智力因素，是发展智力因素的前提和保证。
培养良好的非智力因素是学校全面实施素质教育的需要
培养良好的非智力因素，是时代的需要。
非智力因素在认识活动中的作用
始动作用
定向作用
维持调节作用
小学生非智力因素的培养
学习动机
学习动机概述
动机是激励个体从事有关活动与满足需要的动力
学习动机是直接推动学生进行学习的心理因素，是激励学生学习的内部动力。
学习态度正式学习动机的具体体现
学习动机的培养
进行学习目的的教育，培养学生学习的自觉性。
创设问题情景，激发求知欲望。
运用反馈原理，强化学习动机。
发挥迁移功能，增强学习信心。
学习兴趣
学习兴趣概述
是学生有选择的积极愉快的学习的一种心理倾向
根据学习兴趣的倾向性来看，可以分为直接兴趣与间接兴趣。
学习兴趣的培养
联系实际，唤起兴趣
探索规律，引发兴趣
质疑问难，激发兴趣。
手脑并用，促进兴趣。
体验愉悦，稳定兴趣。
课外活动，发展兴趣。
学习情感
学习情感是学生对学习环境是否满足自身求知欲望需要的一种积极态度的体验
学习情感的培养
用教师的爱，诱发学习情感。
用教师的导，保持学生的学习情感。
用学科的美，陶冶学生的学习情感。
用集体的舆论，强化学习情感
学习意志
学习意志概述
学习意志是直接支配和调节学生的学习活动，实现预订的学习目的的心理过程。
培养学习意志
爱迪生曾说过，伟大人物的最明显标志就是他坚强的意志。
提高意志的坚定性
提高意志的果断性
培养意志的坚韧性
培养意志自制力
学习习惯
学习习惯概述
一定的学习行为重复多次，就会形成一定的学习习惯，习惯有好有坏，良好的学习习惯，能增强学生对数学学习的兴趣，能有效的克服学生学习中的困难，提高学习成绩。
叶圣陶曾明确指出，什么是教育？简单一句话就是要养成良好的习惯。
学习习惯的培养
养成专心听讲的习惯
养成认真阅读的习惯
养成认真审题的习惯
养成独立思考的习惯
养成认真做作业的习惯
十一、概念教学
小学数学概念教学的意义
什么是数学概念？
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反应。
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反应，因此数学概念是抽象的。
数学概念的抽象性有以下特点
概括性
原理性
理想化
数学概念教学的意义
数学概念是学习数学知识的基石
心理学家奥苏伯尔曾经说过，比起世界上的各种现象来说，人实际上是生活在一个概念的世界里。
数学概念是培养数学能力的前提
概念的内涵和外延
明确概念的内涵和外延
从逻辑上说，概念反应的所有对象的共同本质属性的总和叫做这个概念的内涵，又称含义。
适合于概念所指的对象的全体叫做这个概念的外延，又称范围。
掌握概念的分类标准
分类的标准
分类必须以同一个标准为依据
分类应详尽无遗
各个属概念应相互排斥
分类应当按级进行
从外延上看，小学数学概念中存在的六种关系。
同一关系
包含关系
并列关系
交叉关系
对立关系
矛盾关系
小学数学教材中概念的几种表示法
定义法
是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体做法是用原有的概念说明要定义的新概念。
定义法的种类
属差式定义
即被定义的概念=邻近的总概念＋属差。
应用时应注意
种概念要是邻近的
属差既是被定义概念的属性，又是他的同位属概念中所没有的。
发生式定义
只用事物发生或形成过程中的属性，作为熟茶定义时仅仅突出其形成过程这一特点。
规定外延的方式
指通过对概念的外延作出规定，对概念下定义。
下定义应遵循的规则
定义应该恰如其分。
定义不能循环
定义不能用比喻
定义不能用否定的形式
描述法
用一些生动具体的语言对概念进行描述，叫做描述法。
原始概念
对数学中的点、线、面、体、集合等原始概念都用描述法加以说明
江南理解的概念
影响数学概念学习的因素
认知结构
感性材料和生活经验
抽象概括能力
语言表达能力
数学概念的教学策略
概念的引入
通过直观引入
通过生活实例引入
从旧知识引入
概念的理解
是概念教学的中心环节
利用变式突出概念的本质属性
通过反面衬托，进一步理解概念的本质属性。
多层次的进行抽象概括
下定义或用简练的语言进行描述。
注意和相近的，易混的概念比较。
概念的巩固
复述重要概念的定义或结语。
自举实例
设计多种练习
概念的深化
概念的熟练运用
概念认识系统的形成
十二、计算教学
计算教学的意义和要求
计算教学的意义
第一，计算是小学生必须掌握的一项重要的基本技能，在小学阶段使学生具有非负有理数（整数，小数，分数）四则运算的能力，也是她们继续学习数学和其他科学知识必不可少的基础。
第二，计算在日常生活与生产中应用非常广泛，计算能力是人们学习，生活，工作所必须具有的一项基本能力，也是对劳动者素质的一项基本要求。
第三，计算教学不仅要使学生能够正确地进行四则运算，还要能够根据数据特点，恰当的应用运算定律与运算性质，使计算过程更合理、灵活。计算过程既培养了学生的观察力，注意力与记忆力，也发展了学生思维的敏捷性和灵活性。
第四，计算是一项“细活”，通过计算教学，有利于培养学生专心，严格，细致的学习态度，善于独立思考，勇于克服困难的学习精神，计算仔细，书写工整，自觉检验的学习习惯。
计算教学的要求
教学内容的范围
笔算加减法以三四位数的为主，一般不超过五位数，笔算乘除法以乘数、除数是两位数的为主，一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二，三步的为主，一般不超过四步，珠算只学加减法，而在使用珠算较多的地区，也可以多学一些算分数四则运算，以分子分母比较简单的和大部分可以口算的为主。
教学要求
对计算教学的要求为：会、比较熟练、熟练三个层次。
20以内数的加减及表内乘除要求熟练的进行计算，百以内数的加减、万以内数的加减、乘数和除数是一位数、两位数的乘除法，要求比较熟练的进行计算；乘数除数是三位数的乘除法，以及有关的四则混合运算，只要求会正确的计算。至于小数四则运算与分数四则运算，则要求能比较熟练的进行计算；而分数、小数四则混合运算只要求会正确的计算。
小学生计算错误的归因
知识方面的原因
概念不清，算理不明。
口算不熟，笔算不准。
心理方面的原因
感知比较粗略
情感比较脆弱
注意不够稳定
思维定势干扰
短时记忆较弱
培养计算能力的教学策略
切实掌握有关计算的知识
数的认识
运算定律和运算性质
计算法则
运算顺序
弄清算理，以理驭法
通过教具演示说明算里
通过学具操作理解算理。
联系实际讲清算理。
展示思路弄清算理。
加强口算，重视笔算，学点估算。
加强口算
基本口算要熟练
常用的数据要熟记
简便口算要自觉。
口算练习要经常
重视笔算
笔算过程要明理
检查验算要自觉
书写格式要规范
学点估算
促进计算结果正确
促进计算方法的灵活
分层练习，形式多样，讲求实效。
计算技能属于智力操作技能
围绕重点与难点
易混易错的对比
发挥计算题的思维价值
形式多样，引发兴趣。
认真审题，多思善想，准中求活。
关于培养计算能力的思考
十三、应用题教学
应用题是根据日常生活和生产中的实际问题，用语言或文字表示数量关系并求解的题目。
应用题由情节及数量关系两大部分组成
应用题教学的意义
有助于学生理解数学概念及四则运算的意义。
有助于培养学生解决简单实际问题的能力
有助于发展学生的逻辑思维能力
有助于向学生进行思想品德教育
小学生解答应用题的心理特征
小学生解答应用题的心理特征，主要反映在信息的选择和加工的全过程之中，外在表现是对应用题的难易区别上。
应用题的难易程度是由题目的情节以及数量关系决定的
大致有以下几个方面
学生对题目情节的熟悉程度
应用题的叙述形式
解题步骤的多寡
应用题结构中所含有隐蔽条件
对数量关系组合的熟悉程度
分析过程中的思维定向
应用题的分类
按一般习惯应用题分为简单应用题和复合应用题两类
传统的分类
改革后的分类
按四则运算的意义归类
以四则运算意义为基础，以三量关系为基本因素，构成简单应用题的知识结构。
应用题的教学策略
创设情景，运用直观，帮助学生全面理解题意
演示与模拟
图示与图解
复述题意
重视做好两个转化
把生活中的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为数学算式。
用各种途径引导学生寻找中间问题
连续两问改一问
改变问题
改变条件
运用多种方法解析应用题
解释应用题是复合应用题教学的中心环节
分析法与综合法
分析法即从所求问题出发而推至已知条件，即“执果溯因”。综合法即从已知条件出发逐步推出所求，即“由因导果”。
假设法
对应法
转换法
量不变的方法
代数方法
加强列方程的基础训练
引导学生掌握寻找等量关系的方法
精心设计练习，提高解题能力和思维水平
一题多解和一题多变
易混易错的对比练习
自编应用题的练习
关于改革应用题教学的思考
要恰当的估计应用题教学的作用。
应用题的内容必须贴近学生的生活实际
应用题的叙述要多样化
适当淡化算术应用题，加强列方程解应用题。
教学方法要灵活
十四、几何初步知识教学
几何初步知识教学的地位和意义
从历史发展看几何在小学数学中的地位。
几何这个词来源于希腊文，他的原意是土地测量。
直到19世纪末，清朝的官立学堂，私立学堂和教会学堂开始使用的教科书《形学备旨》中才包括了几何。
1903年《奏定学堂章程》中，正式规定在中学开设几何、代数和三角，小学只设算术，而其中有一章“求积”，就是田亩的计算。
《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中几何教学的几点改革
明确小学几何初步知识的性质——直观几何
突破“以求积为中心”的框子，加强空间观念的培养。
从低年级起合理安排对几何形体的认识
几何初步知识教学的意义
有利于培养学生的空间概念，为进一步学习科学文化知识打下基础。
有利于提高学生应用数学知识解决实际问题的能力
有利于培养学生初步的逻辑思维能力
小学生空间观念形成的心理特点
明显要素与不明显要素
单个要素与要素间的关系
标准图形与变式图形
日常用语与科学概念
二维空间与三维空间
掌握特征与辨别图形
数与形
培养初步空间观念的教学策略
利用实物、模型的演示，引导学生观察。
恰当的运用标准图形和变式图形
在运动变化中观察图形
在复杂图形中，判别基本图形。
加强动手操作，指导学生实验。
操作实验一般采用以下一些方式
划分
剪拼折叠
利用钉子板
测量
画图
适时抽象概括
几何求积的教学策略
在建立周长、面积、体积观念的基础上，开始几何量的计算。
帮助学生建立对面积的初步认识
帮助学生建立面积单位的初步概念
以等积变形的数学思想为主线，通过实验，推导求积公式。
利用求积公式，解决实际问题
系统整理求积公式，促进知识系统化。
十五、小学数学教师
素质
是以先天遗传因素为基础，在后天环境和教育的影响下，逐渐发展和形成的个体的生理，心理和社会文化等方面的特性，这些特性对个体来说具有相对的稳定性。
人的素质主要包括生理素质，心理素质，文化科学素质和思想道德素质。
人的生理素质是指人的本身的自然力
人的心理素质是指人的心理过程的品质及个性特征
人的文化科学素质是指人的文化科学知识水平，以及为不断获取新知识所应具备的学习意识，学习方法，学习能力与学习精神。
人的思想道德素质是指人的思想素质与人的道德素质
小学数学教师的素质
职业道德素质
热爱教育事业
热爱学生
热爱学校
热爱所教的学科
文化科学素质
向学生传授文化科学知识是教师的一项基本任务
教师的文化科学素质决定着教师对教学内容把握的准确程度，决定着教师的教学能力与教学质量的高低，他也直接关系着学生的知识结构的形成，智力的发展与能力的培养。
数学专业知识
教育基本理论
是教育决策与教育行为的依据
教育学
教育心理学
教学论
教育科研的基础知识
相关学科知识
业务能力素质
全面深入的了解学生的能力
进行思想品德教育的能力
钻研大纲与教材的能力
课堂教学的能力
组织数学课外活动的能力
教研与科研的能力
心理素质
教师在认识过程中应具备的心理素质
教师在情感过程中应具备的心理素质
克服对学生群体的认识偏差
克服对学生个体认识的偏差
克服自我认识的偏差
小学数学教师的教学艺术
教师创造性的教学体现在两方面：一是教师将教学内容外化并形成自己新的教学思路和新的情感体验，二是将教师的这种新思路和情感转化，并深入到学生的认知活动之中。
要有较强的设计教案能力
要准确的把握教材的目的与要求
要能够独立的设计教案
一个比较完整的教案，应该由课题，目的要求，重点难点，教具学具，教学过程，板书设计等内容组成。
要有较强的语言表述能力
注意语言的准确性和科学性
注意语言的逻辑性和系统性
注意语言的启发性和教育性
注意语言的艺术性和示范性
示范性的语言具有规范，严肃和榜样的特点。
要有较强的板书能力
注意板书内容的整体性
注意板书内容的概括性
注意板书内容的条理性
注意板书内容的直观性
注意本书内容中的计划性
要有较强的演示教具和指导学具操作的能力
要具有演示教具的能力
要具有指导学生操作学具的能力