三角形

建议收藏！一张图收罗全部的初中数学三角形知识，包含全部公式定理几何面积计算以及高与周长。同时包含全等、相似等相关概念。干货满满，赶快收藏学起来吧！

三角形

• 三角函数（直角三角形）
  • 分类
    • sin：对边比斜边
    • cos：邻边比斜边
    • tan：对边比邻边
  • 特殊值
    • 30° sin=1/2 cos=√3/2 tan=√3/3
    • 60° sin=√3/2 cos=1/2 tan=√3
    • 45° sin√2/2 cos=√2/2 tan=1
  • 规律
    • （sinα）²+（cosα）²=1
    • sinα=cos（90°－α）
• 相似
  • 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似
  • 判定
    • 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（因为平行，所以相似）
    • 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两组对应边成比且夹角相等）
    • )如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（三边对应成比例）
    • 如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似
    • 直角三角形
      • 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似（推出射影定理）
      • 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
  • 模型
    • 一线三等角
    • A字形
    • 八字形（有边平行或无平行）
• 全等
  • 一种特殊的相似
  • 判定：SSS SAS AAS ASA HL（直角三角形）
  • 模型：一线三等角 八字模型 蝴蝶模型 半角模型
• 特殊三角形
  • 等腰直角三角形（三角板）
  • 含60°角的三角形（三角板）
  • 等腰三角形
    • 两个底角相等
    • 三线合一（垂线、中线、角平分线为一条线）
    • 轴对称图形（至少有一条对称轴）
    • 特殊：等边三角形
      • 判定：三边相等 三角为60° 两边相等，一个角为60°
      • S=√3/4a²（a为等边三角形边长）
• 特殊线
  • 高
    • 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线（段最短），顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
  • 中线
    • 平分一个三角形的面积（等底同高）
  • 角平分线
    • 交点：外心（到三角形三边距离相等）
    • 外夹角：90°－二分之一角
    • 内夹角：90°+二分之一角
    • 内外夹角：二分之一角
  • 垂直平分线
    • 交点：内心（到三角形三个顶点的距离相等）
  • 中位线
    • 三条三角形中位线与三角形的边可以构成三个平行四边形
    • 三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。
• 相关定理
  • 中位线定理
    • 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
  • 中线定理
    • 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。（PS：三条中线交点为三角形的重心）
    • 重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
  • 勾股定理（直角三角形）
    • 在任意一个直角三角形中，两条直角边的平分一定等于斜边的平方（若△ABC满足∠ACB=90°，则AC²+BC²=AB²）
    • 逆定理：两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形（若△ABC满足AC²+BC²=AB²，则这个三角形是以∠ACB为直角的三角形）
  • 射影定理
    • 在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。
    • 若△ABC满足∠ACB=90°，作CD⊥AB，则CD²=AD×BD
    • 若△ABC满足∠ACB=90°，作CD⊥AB，则
      • 1、AC²=AD·AB
      • 2、BC²=BD·AB
      • 3、ACXBC=ABXCD
• 基本介绍
  • 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边
  • 定义
    • 在封闭图形内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所得的封闭图形
  • 三角形外角
    • 等于与其不相邻的两个内角和
  • 分类
    • 按角度
      • 斜三角形：钝角三角形、锐角三角形
      • 直角三角形
    • 按边
      • 不等边三角形：三边不相等
      • 等腰三角形：有两条边相等
      • 等边三角形：有三条边相等
  • 内角和：180°
  • 性质：稳定性（相对：平行四边形不稳定性）
  • 任何三角形都可以做他的外接圆