三角函数

三角函数思维导图，基本函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）、余割函数（csc）。

三角函数

• 三角恒等变换
  • 三角函数基本关系
    • 平方关系
      • sin²α+cos²α=1
    • 倒数关系
      • tanα·cotα=1
      • sinα·cscα=1
      • cosα·secα=1
    • 商数关系
      • sinα/cosα=tanα=secα/cscα
      • cosα/sinα=cotα=cscα/secα
  • 诱导公式
    • 口诀：奇变偶不变，符号看象限。
  • 两角和与差的三角函数公式
    • 和角公式
      • cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
      • sin(α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ
      • tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
    • 差角公式
      • cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
      • sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
      • tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
    • 和差化积
      • sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
      • sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
      • cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
      • cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
    • 积化和差
      • sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
      • cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
      • cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
      • sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
  • 倍角公式
    • 二倍角
      • sin(2α)=2sinα·cosα =2/(tanα+cotα)
      • cos(2α)=cos²α-sin²α =1-2sin²α =2cos²α-1
        • 降幂公式(变形)： sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[cos(2α)+1]/2
      • tan(2α)=2tanα/1-tan²α
        • tan²= -[2tanα/tan(2α)]+1
      • ......
    • 半角
      • sin，cos的半角公式可以由二倍角中 的变形降幂公式两边同时开平方得。
      • sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
      • cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
      • tan(α/2)=±√[(1-cosα）/(1+cosα)] =sinα/(1+cosα) =(1-cosα)/sinα
        • 两边平方可得： tan²=(1-cosα)/(1+cosα)
      • ......
    • 三倍角
      • sin(3α)=3sinα-4sin³α =4sinα·sin(60°+α)·sin(60°-α)
      • cos(3α)=4cos³α-3cosα =4cosα·cos(60°+α)·cos(60°-α)
      • tan(3α)=(3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) =tanα·tan(60°-α)·tan(60°-α)
      • ......
    • ......
  • 辅助角公式
    • cosφ=A/√(A²+B²) sinφ=B/√(A²+B²）
    • Asinα±Bcosα=√(A²+B²)·[A/√(A²+B²)sinα±B/√(A²+B²)cosα] =√(A²+B²)·(cosφ·sinα±sinφ·cosα) =√(A²+B²)·sin(α±φ)
    • Asinα+（-）Bcosα=√(A²+B²)·cos[α-（+）φ] 与上同理，注意符号。
  • 万能公式
    • sin(α)=[2tan(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
    • cos(α)=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
  • ......
• 性质定理
  • 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
  • 余弦定理:a²=b²+c平方-2bc·cosA
  • 正切定理:(a+b)/(a-b)=tan[(a+b)/2]·tan[(a-b)/2]
• 特殊角的三角函数值
• 基本定义
  • 基本函数
    • 设： a为对边 b为邻边 h为斜边
    • 正弦函数（sin）
      • 表达式：a/h
      • 符号：一二正，三四负
        • 和余割函数一样
    • 余弦函数（cos）
      • 表达式：b/h
      • 符号：一四正，二三负
        • 和正割函数一样
    • 正切函数（tan）
      • 表达式：a/b
      • 符号：一三正，二四负
        • 和余切函数一样
    • 余切函数（cot）
      • 表达式：b/a
    • 正割函数（sec）
      • 表达式：h/b
    • 余割函数（csc）
      • 表达式：h/a
  • 任意角和弧度制
    • 任意角
      • 角的概念推广
        • 逆时针方向旋转形成的角叫做正角 顺时针方向旋转形成的角叫做负角 射线没有任何旋转的角称为零角 位于坐标轴上的角称为轴线角
      • 象限角及其表示
        • 概念：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
        • 终边相同的角：S={β∣β=α+k·360°，k∈Z}
    • 弧度制
      • 规定：正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零
      • 概念：在单位圆中，每一段的长度就是它所对圆心角的弧度数， 这种弧度作为单位来度量的方法称为弧度制。
      • 单位：单位符号rad表示，读作弧度（通常省略不写）
      • 弧长公式：L=∣α∣r=(∣n∣/360)·2πr
      • 扇形面积公式：S扇=1/2(∣α∣r²)=(1/2)lr
    • 弧度与角度的换算
      • 1°=π/180(rad)≈0.01745(rad) 1(rad)=180°/π≈57°18′
  • 单位圆
    • 定义：在三角学中，单位圆通常是平面直角 坐标系中圆心为(0,0),半径为1的圆。

中心主题

• 向量
  • 平面向量
  • 立体向量
• 复数
• 几何
  • 平面几何
  • 立体几何
• 数列
• 导数
• 三角函数
• 概率与统计
• 函数
• 不等式
• 预备知识
  • 集合
  • 逻辑用语