材料力学第三章

材料力学第三章学习笔记思维导图，本章为扭转，包括扭矩与扭矩图、薄壁圆筒的扭转、圆轴扭转时横截面上的应力、圆轴的扭转变形、圆轴的强度计算和刚度计算、圆轴扭转的应力分析、矩形截面杆的自由扭转、薄壁杆件的自由扭转，着重理解扭转的力学模型和剪应力互等定理。

扭转

• 概念
• 扭矩与扭矩图
  • 扭矩矢量的方向
    • 与截面的外法线方向一致为正，否则为负。
  • 工程上传动轴的外力偶计算公式
    • m=9550P/n（n是转速；P是功率，单位千瓦）
    • m=7024Ps/n (n是转速；Ps是马力，1Ps=735.5N*m/s)
  • 扭矩图与轴力图一样：向上为正，向下为负
• 薄壁圆筒的扭转
  • 实验证明，薄壁圆筒的横截面上只有剪应力而无正应力，且剪应力方向垂直于半径。对于薄壁圆筒，可近似认为剪应力的大小沿壁厚均匀分布，即横截面上的剪应力为一个常数。
    • 2ΠRt·τ·R=T
      • 即τ=T/2ΠR²t
  • 剪应力互等定理
    • 在单元体中相互垂直的两个面上，垂直于该两面交线的剪应力必定成对存在，大小相等，方向同时指向交线或同时背离交线。
  • 剪切胡克定律
    • 子主题
      • τ=Gγ（G是剪变模量）
  • 线弹性材料共有三个弹性常数
    • G=E/2（1+υ）
      • E是弹性模量，G是剪变模量，υ是泊松比
• 圆轴扭转时横截面上的应力
  • 推导出公式的三个条件
    • 几何条件
    • 物理条件
    • 静力学条件
  • 计算圆轴扭转变形的公式
    • τΡ=T·Ρ/Ip（适用范围：最大剪应力不超过剪切比例极限的实心圆轴和截面为环形的空心圆轴）
    • 由上式可知，最大剪应力在圆截面边缘处，Ρ为最大值D/2，得最大剪应力为τmax=(D/2)·T/Ip ;其中令Wt=（D/2）/Ip,则τmax=T/Wt
  • 极惯性矩和截面抗扭模量
    • 实心圆轴
      • Ip=(Π·D^4)/32;Wt=(Π·D^3)/16
    • 圆环截面
      • Ip=(Π·D^4)·(1-α^4)/32;Wt=(Π·D^3)·(1-α^4)/16; 其中α=d/D
• 圆轴的扭转变形
  • φ=Tl/（G·Ip）; 其中G·Ip是抗扭刚度
• 圆轴的强度计算和刚度计算
  • 强度计算
    • τmax=（T/Wt）max≤【τ】
  • 刚度计算
    • 单位长度上扭转角φmax=Tmax/（G·Ip）≤【φ】 rad/m
    • 单位长度上扭转角φmax=(180/Π)·Tmax/（G·Ip）≤【φ】 °/m
• 圆轴扭转的应力分析
  • 塑性材料扭转试件沿横截面破坏，是最大剪应力造成的，这说明这类材料的抗剪能力较低。
  • 脆性材料扭转试件沿45°螺旋面破坏，是最大拉应力造成的，说明这类材料的抗拉强度较低。
  • 木杆扭转试件沿纵向截面开裂，是最大剪应力造成的，说明木材的顺纹抗剪强度较低。
• 矩形截面杆的自由扭转
  • 截面翘曲
    • 矩形截面杆扭转时，其横截面将由平面变为曲面
  • 扭转分类
    • 自由扭转
      • 横截面上只有剪应力而无正应力
    • 约束扭转
      • 横截面上有剪应力和正应力
  • 横截面上的3个应力分布规律（要求能画出来）
    • 普通矩形截面
    • 狭长矩形截面
  • 比拟法
    • 用薄膜比拟法分析非圆截面杆的扭转问题，不仅可以做定性的分析，也可以做到定量的分析
• 薄壁杆件的自由扭转
  • 开口闭合杆件
    • 一个前提假设：刚周边假设
      • 具体做法：可看做若干狭长矩形截面组合而成
  • 多、单闭截面薄壁杆件
    • 单闭截面薄壁杆件的抗扭强度和刚度均大于开口薄壁杆件