导图社区 张宇30讲-线代第一讲：行列式
与张宇30讲上所讲内容基本一致，笔记内容也有所补充。
张宇概率9讲是张宇30讲的补充版与加强版，内容更详实，知识点更全面，祝大家考研成功。
张宇线代9讲是张宇30讲的补充和加强版，这个导图比30讲的思维导图内容更详细，知识点更全面，帮你快速掌握二次型相关知识要点。
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考研数学重点考点知识总结归纳！
数据结构
行列式
概念
不同行不同列元素乘积的代数和
行列式是一个数，矩阵是表格
排列
由1、2...n组成的有序数组称为n阶排列，常用j1j2j3..jn表示，ji是里面的某一个数
例子： 2 4 1 3 --4阶排列 1 3 5 4 2 --5阶排列
排列用于判断行列式展开后各项前的系数是1还是-1
逆序
在排列中，一个大的数排在一个小的数前面，就称这两个数构成一个逆序
例: 2 4 1 3 41 43是两个逆序
逆序数
一个排列逆序的总数，称为这个排列的逆序数
例: (1 3 2) = 0+1 (2 4 3 1) = 1+2+1 (3 1 5 4 2) = 2+0+2+1
逆序数根据是偶数还是奇数分为偶排列、奇排列
性质
性质1
经过转置，行列式的值不变
性质2
两行(列)互换位置，行列式的值变号
注意矩阵的区别 矩阵初等行变换不改变不变号
性质3
某行(列)有公因子k，可以直接提取k
性质4
某行(列)是两个元素之和，可以把行列式拆成两个行列式之和
|A+B| ！=|A|+|B| 考的是E恒等变形
性质5
某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变
用最多
直接判断
某两行(列)成比例，行列式为0
某一行(列)全为0，行列式为0
概要
A是n阶，
AB都n阶，|AB| = |A||B|
A是n阶可逆，
A是n阶，λi 是A的特征值，|A|= ∏λi
行(列)展开公式
先行概念
余子式
代数余子式
定理
定理1
n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和
定理2
行列式的任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
比如第一行元素乘第二行元素的代数余子式，和为0
特殊情况配合
上(下)三角形
等于主对角线元素的乘积
副对角线(副上下三角)
乘副对角线所有元素
拉普拉斯展开式
A,B分别为m阶和n阶矩阵
两种
A,B在主对角线上
行列式=|A||B|
A,B在副对角线上
行列式=
范德蒙行列式
特征多项式
主要方法（化基本形法）
行列展开公式
适用于阶数很低或者0元素很多的行列式
爪型处理
加边法
拆开法
克拉默法则
使用范围
n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组
系数行列式|D|!=0，方程组有唯一解
则 Xi = |Di|/|D| (i=1,2,..n)
推论
n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组
系数行列式|A|！=0的充要条件是方程组只有唯一零解
|A|！=0 （|D！=0|） xi = |Di|/|D| =0(一定为0) 也就意味着r(A) = n (唯一解就是零解)
齐次线性方程组有非零解，充要条件是|A|=0
也就是r(A)<n
注
多用于证明题
计算量大，不一定是用来解方程组的
简易解方程组方法是初等行变换
行列式的计算#
化基本形法
技巧
每一行都加到第i行
逐行相加
目的做0
某一行k倍加到另一行
特殊行列式
爪型
主对角线爪型
主对角线元素向最靠边一行(或列)做运算， 用于消除靠边行(或列)
变成上(下)三角再运算
副对角线
副对角线元素向靠边一行(或列)做运算， 用于消除靠边行(或列)
变成副上(下)三角再运算
三对角线型
方法
第i行k倍加到i+1行
目的变成上三角
每一行加到第一行
第i行k倍加到第一行
最后变成展开公式加三角
n阶考虑数学归纳法/递推法
现在草稿纸上化简，根据结果再选择合适的归纳形式
第一归纳法
第二归纳法
行和(列和)相等的行列式
抽象行列式
大概三种题型，解法
行列式恒等变形（即行列式的七个性质）
用|AB|=|A||B|
不能用化基本形法
矩阵公式、法则恒等变形，E恒等变形
添加E，使成为AA^-1,带入原式
特征值、相似
型
|A+B|型
行列式的恒等变形
矩阵的性质
E恒等变形
|A| = ∏λi 运用
求解特征值
含有参数a求特征值
