人教版高中数学

人教版高中数学书中的全部定义公理公式，言简意赅，考前记忆的法宝。但由于制作匆忙版本更新等问题，某些部分可能会出现遗漏或错误，如为您带来不便烦请谅解。

高中数学思维导图

• 集合
  • 定义：将研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体成为集合。
  • 若a是集合A的元素，那么a属于集合A，记作a∈A，若a不是集合A中的元素，那么a不属于集合A，记作a∈A。
  • 表示集合
    • 列举法：把集合的所有的元素都列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法。
    • 表述法：A是一个集合，把集合A中所具有的共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}的表示集合的方法。
  • 集合间的关系
    • 子集：对于两个集合A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。
    • 等集：若集合A是集合B的子集，同时集合B也是集合A的子集，那么集合A与集合B相等，记作A=B，即A⊆B，B⊆A，A=B。
    • 真子集：若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∈A，记作A⫋B或B⫌A。
    • 空集：不含任何元素的集合叫做空集，是任何集合的子集，记作∅。
  • 集合的基本运算
    • 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
    • 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
    • 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的补集，记作∁sA。
    • 一个有n个元素的集合有2n个子集。
  • 特殊的集合：R表示实数的集合，N表示自然数的集合，Z表示整数的集合。
• 逻辑符号
  • 条件
    • 充分条件与必要条件：由条件P通过推理可以得出条件Q，那么，P可以推出Q，记作P⇒Q，P是Q的充分条件，Q是P的必要条件，其中，如果Q不成立，那么P一定不成立。
    • 充要条件：如果P能推出Q，Q也可以推出P，记作P⇔Q，此时， P既是Q的充分条件，也是Q的必要条件，那么P是Q的充分必要条件，简称充要条件，反之亦然。
    • 若¬P⇒¬q,那么q⇒p。
  • 量词
    • 全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中叫做全称量词，并用符号“∀”表示。对于M中的任意一个x，P（x）成立，可用符号简记为∀x∈M,P(x)。
    • 存在量词:短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号“∃”表示。对于存在M中的元素x，P（x）成立，可用符号简记为∃x∈M,P(x)。
    • 全程量词问题：∀x∈M,P(x)，其的否定：∃x∈M,¬P(x)。
    • 存在量词问题：∃x∈M,P(x)，其的否定：∀x∈M,¬P(x)。
• 方程、不等式、二次函数
  • 等式与不等式的性质
    • 关于实数A与B大小的比较，有以下事实：如果A-B是正数，那么A>B，如果A-B=0那么A=B,如果A-B是负数，那么A小于B，反之亦然。
    • 等式与不等式都是对大小关系的刻画。
    • 等式有以下性质：1.如果A=B，那么B=A，2.如果A=B,B=C,那么A=C.3.如果A=B,那么A+C=B+C,A-C=B-C。4.如果A=B,那么AC=BC.5.如果A=B,C≠0，那么A÷C=B÷C。
    • 不等式的性质：1.如果A>B,那么B<A,反之亦然。2.如果A>B,B>C,那么A>C。3.如果A>B,那么A+C>B+C,A-C>B-C,反之亦然。4.如果A>B,C>0,那么AC>BC。5.如果A>B,C<0,那么AC<BC,反之亦然。6.如果A>B,C>D,那么A+C>B+D,反之亦然。7.如果A>B>0,C>D>0,那么AC>BD,反之亦然。8.如果A>B>0,那么An2>Bn,反之亦然。
  • 基本不等式
    • 如果∀A，B∈R，利用完全平方公式得出A2+B2≥2AB,仅当A=B时，等号成立。如果A＞0，B＞0，用√A，√B分别代替上式中的A与B，可得到√AB≤（A+B）÷2，当且仅当A=B时等号成立。此种类型不等式成为基本不等式。
    • 在实数A与B大于0的情况下，可通过基本不等式推导出A+B的最小值为2√AB
    • 在实数A与B大于0的情况下，可通过基本不等式推导出AB的最大值为（A2+B2）÷2
  • 二次函数与方程及不等式
    • 我们将只含有一个未知数且未知数最高系数为2的不等式称为一元二次不等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或者ax2+bx+c<0。其中a,b,c都是常数，a≠0。
    • 标注：在解二次方程或不等式的时候，要先将其转化为标准形式，再进行求解，不等式的解集需要使用集合的方式进行表述。
  • 解分式不等式
    • 像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
    • 解分式不等式的步骤：先将使用不等式的性质将不等式的右边化为零，之后使用分式不等式定理，将分式不等式华为整式不等式，之后因式分解，再使用数轴标根法。
    • 分式不等式定理：如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）则f（x）·g（x）>0或f（x）·g（x）<0。
    • 数轴标根法：是一种解简单多次不等式的方法。步骤如下：1.通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（一定要保证最高次数项的系数为证书）例如：将x3-2x2-x+2=0。2.将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1。3.在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。例如：-1 1 2。4.画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。如（x-1)平方=0 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1。
• 函数
  • 函数的概念
    • 一般的设A,B是非空的实数集，如果对于集合A的任意一个数X按照某种确定的对应关系f在集合B中都有唯一确定的数Y与其对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数，y=f(x), x∈A,其中x为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域，y称为函数值，函数值的集合B称为函数的值域。
    • 在不同的区间，自变量与函数值关系不同的函数称为分段函数。
    • 函数的表示方法
      • 解析法：使用数学表达式表示自变量与函数值之间的对应关系。
      • 列表法：列出表格来表示两个自变量与函数值之间的对应关系。
      • 图形法：在平面直角坐标系中，使用图像来表示变量之间的对应关系的方法。其中函数的图像可以是曲线，直线，离散的点等多种形式。
    • 函数判断依据：在一个函数中，两个不同自变量的函数值可以相同，但是不同的函数的自变量不能相同。
  • 区间的概念
    • 设a,b是两个实数，且a<b,那么满足不等式a≤x≤b实数x的集合称为闭区间，表示为[a,b]满足不等式a<x<b的实数x的集合称为开区间，表示为（a,b），满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b）,(a,b]。其中a与b都称为相应区间的端点。
    • 在使用数轴表示区间时，用实心点表似包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
    • 实数集R可以用区间表示为（-∞,+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作正无穷大。
    • 满足x≥a,x>a,x≤,x<b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a,+∞）,（a,+∞）,(-∞,b],(-∞,b).
  • 函数的基本性质
    • 单调性
      • 单调递增：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在区间D上单调递增。当函数f(x)在其定义域上单调递增时，那么，其为增函数。
      • 单调递减：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么函数f(x)在区间D上单调递减。当函数f(x)在其定义域上单调递减时，那么，其为减函数。
    • 最值
      • 最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x1∈I，都有f(x)≤M; (2)∃x0∈I，都有f(x0)=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。
      • 最小值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x1∈I，都有f(x)≥M; (2)∃x0∈I，都有f(x0)=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值。
    • 奇偶性
      • 偶函数：设函数f(x)的定义域为I，区间∀x⊆I，都有-x∈I， 且f(-x)=f(x), 那么函数f(x)称为偶函数。偶函数均关于y轴对称。
      • 奇函数：设函数f(x)的定义域为I，区间∀x⊆I，都有-x∈I， 且f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)称为奇函数。奇函数均关于原点中心对称。
      • 三次函数的图像一定是中心对称图形，且其对称中心的横坐标为b/-3a
    • 反函数：一般来说，设函数f(x)(x∈A),A的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
    • 周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T使得每一个x∈D都有x+T∈D，且f（x+T）=f（x），那么函数f（x）称为周期函数，非零常数T成为这个函数的周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
    • 将函数f（x）的图像向左平移u个单位长度，得到函数f（x+u）的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1/w倍，得到函数f（wx+u）的图像；最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，此时曲线就是函数A·f（wx+u）的图像；再将曲线向上平移k个单位长度，这时的图像就是函数的图A·f(wx+u)+k的图像。
  • 幂函数
    • 函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。
    • 几种常用的幂函数的图像：
  • 函数的零点
    • 对于一般函数y=f(x),使f(x)=0的实数x称为函数f(x)的零点。
    • 零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0,那么，函数y=f（x）在区间（a,b）内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)使得f(x)=0。
    • 方程与函数的关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有公共点。
    • 二分法：一种求方程近似解的方法。
    • 二分法步骤：给定进度，用二分法求函数y=f(x)零点x的的近似值的一般步骤如下：1.确定零点的初四区间[a,b],验证f(a)f(b)>0. 2.求区间（a,b）的中点c。 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：（1）若 f(c)=0，则c为函数的零点;（2）若f(a)f(c)<0(此时x∈(a,c)),则另b=c;(3)若f(c)f(b)<0(此时x∈(c,a)),则令a=c. 4.判断是否达到精确度，若没有，继续重复步骤2到4.
• 指数函数与对数函数
  • 指数
    • n次方根：如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是负数。这时，a的n次方根用符号 表示。当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，这时正数a的n次方根用符号 表示，负数a的n次方根用符号- 表示，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。其中式子 ，称为根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 （ ）n=a。
    • 分子数的运算性质与规律：am/n=(a>0,n,m∈N,n>1),a-m/n=1/am/n=1/ (a>0,n,m∈N,n>1),0的正分指数幂等于0，0的负分指数幂没有意义。
    • 实数指数幂的运算性质
      • （1） aras=ar+s(a>0,r,s∈R)
      • （2） (ar)s=ars(a>0,r,s∈R)
      • （3） (ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈R)
  • 指数函数
    • 函数y=ax（a>0，a≠1）称为指数函数，其中指数x私自变量，定义域是R，a是增长比例。
    • 
    • 函数y=ax（0<a<1）和函数y=ax（a>1）的定义域是R，值域是（0，+∞）,且两个函数都会过定点（0，1），函数y=ax（0<a<1）是减函数，函数y=ax（a>1）是增函数。
    • 在指数函数中的ax前添加一个系数b（b≠0），可以组成一个新的函数，此函数的图像过定点（0，b），在此函数中b为初始量。
    • 指数函数的增长速度远大于一次函数，即使一次函数的一次项系数远大于指数函数的增长比例！
  • 对数
    • 如果ax=N（a>0，a≠1），那么x称为以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
    • 通常以10为底的对数称为常用对数，将log10N简写为lgN。通常以e为底的对数称为常用对数，将logeN简写为lnN。
    • ax=N⇔x=logaN（a>0，a≠1），负数和0没有对数，loga1=0，logaa=1。
    • 
    • 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么（1）loga（NM）=logaN+logaM；（2）loga（N/M）=logaN-logaM；（3）logaMn=nlogaM（n∈N）。
  • 对数函数
    • 解析式形如y=logax（x>0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）。
    • 
    • 函数y=logax（0<a<1）和函数y=logax（a>1）的定义域是（0，+∞），值域是R,且两个函数都会过定点（1，0），函数y=logax（0<a<1）是减函数，函数y=logax（a>1）是增函数。
    • 指数函数与对数函数互为反函数。
• 三角函数
  • 任意角
    • 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的图形称为正角。一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的图形称为负角。一条射线没有经过任何旋转形成的图形称为零角。
    • a和b是两个任意角；如果它们的旋转方向相同且旋转量相同，那么a=b。
    • 按不同的旋转方向旋转相同的量的角互为相反角，角a的相反角记作-a。
    • 角的加减：a和b是两个任意角，把角的终边旋转角b，此时终边所对应的角是a+b。a-b=a+（-b）。
    • 在平面直角坐标系中讨论角时把角的顶点置于坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，就说这个角属于第几象限；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不在任何象限上。
    • 终边相同的角的集合：S={b|b=a+k·360°，k∈Z}
  • 角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
  • 弧度制
    • 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。
    • 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
    • 在半径为r的圆中，弧长为l所对的圆心角为a rad，那么|a|=l/r。
    • 360°=2π rad→180°=π rad→1°= π / 180 rad≈0.01745 rad→1rad =180°/π ≈57.30°=57°18′
  • 三角函数的定义
    • 在平面直角坐标系中半径为1，圆心为原点的圆称为单位圆。
    • 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。
    • a是一个任意角，a∈R，它的终边OP与单位圆相交于P（x,y）。点P的纵坐标y称为a的正弦函数，正弦函数y=sin a（a∈R）；点P的横坐标x称为a的余弦函数，余弦函数y=cos a（a∈R）；点P的纵坐标和横坐标的比值y/x称为a的正切，正切函数y=tan x（x≠π/2+k·π，k∈Z）。
    • sin a2+cos a2=1，tan a=sin a/cos a。
  • 诱导公式
    • 公式一：sin（2kπ+α）=sin α cos（2kπ+α）=cos α tan（2kπ+α）=tan α
    • 公式二：sin（π+α）=-sin α cos（π+α）=-cos α tan（π+α）=tan α
    • 公式三：sin（-α）=-sin α cos（-α）=cos α tan（-α）=-tan α
    • 公式四：sin（π-α）=sin α cos（π-α）=-cos α tan（π-α）=-tan α
    • 公式五：sin（π/2-α）=cosα cos（π/2-α）=sinα
    • 公式六：sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=−sinα
  • 三角函数的图像
    • 正弦函数和余弦函数的图像：
    • 正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期都是2kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期都是2π，定义域都是R，值域都是[-1，1]。
    • 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
    • 正弦函数在每一个闭区间[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]（k∈Z）上都单调递增，其值从-1增大到1，在每一个闭区间[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]（k∈Z）上都单调递减，其值从1减小到-1。余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，其值从-1增大到1，在每一个闭区间[2kπ，π+kπ]（k∈Z）上都单调递减，其值从1减小到-1。
    • 正弦函数当且仅当x=π/2+2kπ（k∈Z）时取得最大值1，当且仅当x=3π/2+2kπ（k∈Z）时取得最小之-1。于弦函数当且仅当x=2π+2kπ（k∈Z）时取得最大值1，当且仅当x=2π+2kπ（k∈Z）时取得最小值-1。
    • 正弦函数的图像由余弦函数的图像平移而得。
    • 
    • 正切函数具有周期性，周期是kπ（k∈Z），最小正周期为π，定义域为{x|x≠π/2+kπ，k∈Z}，值域是R。
    • 正切函数是奇函数。
    • 正切函数在每个区间（-π/2+kπ，π/2+kπ）k∈Z内都单调递增。
    • 三角函数的图像都是中心对称图形，三角函数图像与x轴的交点都是其对称中心！
  • 三角恒等变换
    • 
    • 
  • 三角函数的变形
    • 函数y=Asin（wx+u）+k的图像，可以用以下方法得到：先画出y=sin x的图像；再把正弦曲线向左平移u个单位长度，得到函数y=sin（x+u）的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1/w倍，得到函数y=sin（wx+u）的图像；最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，此时曲线就是函数y=Asin（wx+u）的图像；再将曲线向上平移k个单位长度，这时的曲线就是最终结果。
    • 函数y=Asin（wx+u）+k和函数y=Acos（wx+u）+k都是周期函数，最小正周期都是2π/|ω|。函数y=Atan（wx+u）+k也是周期函数，最小正周期是π/|ω|。
    • 函数y=Acos（wx+u）+k的图像，可以用以下方法得到：先画出y=cos x的图像；再把正弦曲线向左平移u个单位长度，得到函数y=cos（x+u）的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1/w倍，得到函数y=cos（wx+u）的图像；最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，此时曲线就是函数y=Acos（wx+u）的图像；再将曲线向上平移k个单位长度，这时的曲线就是最终结果。
    • 函数y=Atan（wx+u）+k的图像，可以用以下方法得到：先画出y=tan x的图像；再把正弦曲线向左平移u个单位长度，得到函数y=tan（x+u）的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1/w倍，得到函数y=tan（wx+u）的图像；最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，此时曲线就是函数y=Atan（wx+u）的图像；再将曲线向上平移k个单位长度，这时的曲线就是最终结果。
  • 用三角函数表示匀速圆周运动：在平面直角坐标系xOy中，点M在以O为中心做匀速圆周运动，其角速度=w，当t（时间）=0时，M位于点I，以Ox为始边，OI为终边的角等于u，经过t秒后运动到点P（x，y）。那么以Ox为始边，OP为终边的角等于wt+u，而且有y=r·sin（wt+u）。做一条平行于x轴且在x轴之下的直线，点O距离直线h 个单位长度，那么M与这条直线的距离H=y=r·sin（wt+u）+h。做一条平行于x轴且在x轴之上的直线，点O距离直线h 个单位长度，那么M与这条直线的距离H=y=r·sin（wt+u）-h。
  • 余弦定理：如果一个三角形的三边分别为a，b，c其对角分别为A,B,C；那么：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，a2=a2+b2-2ab cosC。
  • 正弦定理：如果一个三角形的三边分别为a，b，c其对角分别为A,B,C；那么：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
  • 三角形的面积=（1/2）ab sin c
  • 海伦公式：
• 平面向量
  • 平面向量的概念
    • 既有大小又有方向的量称为向量。
    • 在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，那么线段AB具有方向，成为有向线段。通常在有向线段的终点处画上箭头表示其方向。以A为起点，B为终点的有向线段记作。
    • 有向线段包括三个要素：起点，方向，长度。
    • 线段AB的长度也称为有向线段的模或大小，记作||。长度为零的向量为零向量，记作0.长度等于一个单位长度的向量，称为单位向量。向量有时也可以用小写字母表示。
    • 相等与共线：长度相等且方向相同的向量称为相等向量，如果向量a与b相等，记作a=b。方向相同或相反的向量称为平行向量或共线向量，如果向量a与b平行，记作a||b,其中零向量与任意向量平行。
  • 向量的计算
    • 加法
      • 平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形结果为公共起点的对角线。
      • 三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
      • a+0=0+a=a；|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a与b方向相同时等号成立。
    • 减法
      • 与向量a长度相等，方向相反的向量，称为a的相反向量，记作-a；-（-a）=a。
      • 一个向量减去另一个向量，等于加零一个向量的相反向量；a-b=a+（-b）。
    • 数乘
      • 实数r与向量a的积是一个向量，记作ra，其中|ra|=|r||a|；当r＞0时，ra的方向与a相同，当r＜0时，ra的方向与a相反；当r等于0时ra=0。
      • 如果r，u为实数，a，b是一个向量，那么r（ua）=（ru）a；（r+u）a=ra+ua；r（a+b）=ra+rb。
    • 数量积
      • 两个非零向量a，b，O是平面上任意一点，做=a，=b，那么∠AOB=C（0≤C≤π）称为向量a与b的夹角。当C=0时，a与b同向；当C=π时，a与b反向。当a与b的夹角是π/2，那么a与b垂直，记作a⊥b。
      • 两个非零向量a与b他们的夹角为C，那么向量a与b的数量积，记作a·b=|a||b|cos C。
      • a和b是非零向量，其夹角是θ，e是与b相同的单位向量。则a·e=|a|cosθ。a⊥b⇔a·b=0。当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|。|a·b|≤|a||b|。
    • 向量a（a≠0）与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数r，使b=ra。
    • 设两个非零夹角a与b的夹角为θ，则将|b|·cosθ 叫做向量b在向量a方向上的投影。
  • 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λe1+ μe2。
  • 向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量。
  • 平面向量的坐标表示
    • 平面内任意一个向量a都可以使用x,y唯一确定，我们将有序数对（x,y）称为向量a的坐标，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
    • 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和或者差。
    • 实数与向量积德坐标等于实数乘原来向量的相应坐标。
    • 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
• 复数
  • 复数的概念
    • 复数集
      • -1的平方根等于i，i成为复数单位。
      • 形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数。全体复数组成的集合C={a+bi|a，b∈R}成为复数集。复数通常用字母z表示，在不做特殊说明时复数z=a+bi都有a，b∈R，其中a叫做z复数的实部，b叫做复数z的虚部。当且仅当a=c，b=d时，复数a+bi与复数c+di。
      • 对于复数a+bi（a，b∈R），当且仅当b=0时其是实数；当且仅当a=b=0时，其是实数0；当b≠0时，其称为虚数；当a=0且b≠0时，其称为纯虚数。
    • 复数的几何意义
      • 可以使用平面直角坐标系来表示复数，坐标系的平面称为复平面，其中x轴是实数轴，y轴是虚数轴。复数z=a+bi对应复平面内的点Z（a，b）。设复平面内的点Z表示z=a+bi，连接OZ，那么复数z=a+bi也对应平面向量。
      • 向量的模称为复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|， 等于。
    • 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于x轴对称。
  • 复数的运算
    • 加减法
      • 复数的加减法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和或差的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和或差。两个复数的和依然是复数。
      • 复数加减法的几何意义：复平面中，两个复数z1，z2相加减，结果z3的向量等于复数z1的向量与z2的向量加减，可以直接使用平面向量的加减法则。
      • z1，z2，z3∈C，z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。
    • 乘法
      • 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中出现了i的平方可以直接变成 -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
      • z1，z2，z3∈C，z1·z2=z2·z1，（z1·z2）·z3=z1·（z2·z3），z1·（z2+z3）=z1·z2+z1·z3。
    • 除法
      • 
  • 复数的三角表示
    • 复数的三角表达式
      • 任意一个复数z=a+bi都可以表示成r（cos v+i sin v）的形式。其中，r是复数z的模；v是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数z的辐角。r（cos v+i sin v）叫做复数z的三角表示式，a+bi称为复数z的代数表示式子。
      • 在0≤v＜2π的范围内的复数z的辐角v的值为辐角的主值，通常记作arg z。
    • 复数乘除运算的几何意义
      • 乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。
      • 除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
    • 复数乘除运算的三角表示
      • 乘法：r1（cos v1+i sin v1）·r2(cos v2+i sin v2)=r1·r2[cos (v1+v2)+i sin (v1+v2)]。
      • 除法：r1（cos v1+i sin v1）/r2(cos v2+i sin v2)=r1/r2[cos (v1-v2)+i sin (v1-v2)]。
• 立体几何初步
  • 基本立体图形
    • 多面体
      • 有若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。围成多面体的多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点称为多面体的顶点。
      • 棱柱
        • 两个面互相平行，其余各面都是四边形，而且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体称为棱柱。在棱柱中，两个相互平行的面称为棱柱的底面，棱柱的底面是全等多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形；相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点。
        • 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。
      • 棱锥
        • 一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的多面体称为棱锥。在棱柱中，多边形面称为棱柱的底；有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点。
        • 三棱锥叫做四面体，底面是正多边形，顶点与地面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。
      • 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面于截面之间的多面体叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的上底面和下底面。其余的面叫做侧面，侧面相交的线段叫做侧棱，3条侧棱相交的点叫做顶点。棱台的上底面和下底面相似。
    • 旋转体
      • 一条平面曲线包括直线绕其所在的平面的一条直线内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。这条定直线称为旋转轴。
      • 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的侧面；无路旋转到社么位置，平行于轴的边豆角做圆柱侧面的母线。
      • 圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
      • 圆台：圆锥的底面与截面是圆台的底面，圆锥的侧面在截面与底面之间的部分是圆台的侧面，圆锥的母线在截面与底面之间的部分是圆台的母线。
      • 球：球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面，球的中心叫做球心。
  • 简单几何体的表面积与体积
    • 棱锥、棱锥、棱台的表面积和体积
      • 棱锥、棱锥、棱台的表面积就是围成他们的各个面的面积。
      • 棱柱的体积=Sh。其中棱柱的底面积是S，高是h。棱锥的体积=1/3Sh。其中棱锥的底面积是S，高是h。棱台的体积=1/3h（S'+√S'√S+S)。其中棱台的上、下底面积分别是S'，S，高是h。
    • 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
      • 圆柱的表面积=2πr（r+l），其中r是底面半径，l是母线长。圆锥的表面积=πr（r+l），其中r是底面半径，l是母线长。圆台的表面积=πr（r'2+r2+r'l+rl），其中r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长。
      • 圆柱的体积=πr2h（r是底面半径，h是高）。圆锥的体积=1/3πr2h（r是底面半径，h是高）。圆台的体积=1/3πh（r'2+r2+r'r）（r'，r分别是上、下底面半径，h是高）。
      • 球的表面积=4πR2，其中球的半径是R。球的体积=4/3πR3，其中球的半径是R。
  • 空间点、直线、平面之间的位置关系
    • 平面
      • 平面是由无数条直线组成的。类似于直线，平面向四面无限延伸。
      • 关于平面的基本事实：1.过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。2.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
      • 关于平面的三个推论：1.经过一条直线，和这条直线外的一点，有且只有一个平面。2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
      • 不共线的三个点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都可以唯一确定一个平面。
    • 空间点与直线的距离位置关系有两种：点在直线上和点在直线外。空间中，点与平面的位置关系也有两种，点在平面内，点在平面外。
    • 空间中直线与直线的位置关系
      • 共面直线
        • 相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点
        • 平行直线：在同一个平面内，没有公共点
      • 异面直线：不同在任何平面内，没有公共点。
      • 判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。
    • 空间中直线与平面的位置关系
      • 直线在平面之内有无数个公共点
      • 直线在平面之外
        • 直线与平面平行没有公共点。
        • 直线与平面相交，有且只有一个公共点。
    • 平面与平面的位置关系
      • 两个平面平行没有公共点，平面α与平面β平行记作α∥β。
      • 两个平面相交，有一条公共直线。
  • 空间直线、平面的平行
    • 直线与直线平行
      • 关于直线的基本事实：4 平行于同一条直线的两条直线平行。
      • 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
    • 直线与平面平行
      • 定理 如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
      • 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
    • 平面与平面平行
      • 定理 如果平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行。
      • 如果两个平面平行，另一个平面与两个平面相交，那两条交线平行。
  • 空间直线、平面的垂直
    • 直线与直线垂直
      • 已知两条一面直线α，β，经过空间任意一点O分别作直线α'∥α，β'∥β，此时将直线α'与β'所构成的角叫做异面直线α与β的夹角。
      • 如果两条异面直线的夹角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。直线α与直线β垂直，记作α⊥β。
    • 直线与平面垂直
      • 如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，那么直线L与平面a相互垂直，记作L⊥a， 直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。直线与平面垂直时，他们唯一的公共点P叫做垂足。
      • 过一点垂直于已知平面的垂线，有且只有一条。过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足之间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
      • 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
      • 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
      • 一条直线与平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离。
      • 如果两个平面平行，那么其中一个平面中的任意一点到另一个平面的距离都相等。将这个距离叫做这两个平行平面间的距离。其中，棱柱与棱台的高就是他们的上下底面之间的距离。
    • 平面与平面垂直
      • 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。棱为AB，面分别为α，β的二面角记作α-AB-β。
      • 在二面角α-l-β的棱l任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠aAOB叫做二面角的平面点。
      • 两个平面相交，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么两个平面互相垂直。
      • 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
      • 定理 如果两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
• 统计
  • 抽样
    • 调查的种类
      • 对每一个调查对象都进行调出的方法叫做全面调查
      • 从总体中抽取部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，成为抽样调查。
      • 调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体成为样本，样本中包括的个体数量称为样本量。
    • 简单随机抽样
      • 一般地，设一个总体含有N（N是正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时，总体内的各个个体抽到的概率都相等，那么，这种抽样叫做放回简单随机抽样。如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内为进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。其中，放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。
      • 简单随机抽样的方法：分别有抽签法和随机数法。
      • 在重复试验中，试验的次数越多，频率越接近概率的可能性就越大，与此相似，用简单随机抽样的方法抽取样本，样本量越大，样本的平均值越接近总体的平均值。
      • 平均数
        • ∑为求和符号，主要用于多项式求和。
        • 
        • 
    • 比例分配:按一个或多个变量，把总体划分为若干个子总体，每个个体属于，且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本和在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。
  • 用样本估计总体
    • 制作频率分布表
      • 制作频率分布表的步骤：1.求极差 2.决定组距与组数。3.将数据分组。4.列表。
      • 求极差：极差为一组数据中，样本的最大值与最小值的差。
      • 组距与组数：组距是每个组织内最大值与最小值的差，组数是组的数量，其中，每个组的组距可以是一样的，也可以是不同的。如果每个组组距是一样的话，那么，极差/组距=组数。
    • 总体百分位数的估计
      • 一组数据的第P百分位数，是使得这组数据中至少有P%的数据小于或者等于这个值。而且至少有（100-P）%的数据大于或者等于这个值。
      • 求N个数据的第P百分位数的步骤： 1.按照从小到大排列数据。2.计算I=N×P%。3.如果I不是整数，而大于I的比邻整数为J，则第P百分位数位第J项数据。若I是整数，则第P百分位数位第 I项，与第I+1项数据的平均数。
      • 中位数：第50百分位数，与第25百分位数，第75百分位数，合成为四分位数。
    • 总体集中趋势的估计
      • 有三个关于总体集中趋势的量，分别为平均数，第50百分位数（中位数），以及众数。
      • 众数：一组数据中出现最多的数值。
      • 众数与中位数：对样本中的极端值不敏感。平均数则可以反映出样本的更多地信息，对样本的极端值更敏感。对于数值型数据集中趋势的描述可以使用平均数，中位数。对于分类型数据集中趋势的描述，可以使用众数。
    • 总体离散程度的统计
      • 
      • 由于方差的单位是原始数据单位的平方与原始数据不一致，为了使二者单位一致，一般会对方差开平方，取其算术平方根，得到标准差。符号为S。
      • 在随机抽样中，样本的方差称为样本方差，样本的标准差称为样本标准差，总体的方差成为总体方差，总体的标准差成为总体标准差。
  • 概率
    • 有限样本空间与随机事件
      • 对随机现象的实现称为随机事件，常用字母E表示。随机事件具有以下特点：1.实验可以重复进行。2.实验的所有可能结果是明确可知的且不止一个。3.每次实验中恰巧出现的结果只有一个且不是明确可知的。
      • 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为实验E的样本空间。样本空间一般用Ω表示，ω表示样本点。在大部分情况下，Ω都为有限积。
      • 样本空间Ω的子集称为随机事件，并把只包括一个样本点的事件称为基本事件。随机时间一般用大写字母表示。在试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。在每次事件中，如果Ω总会发生，那么Ω为必然事件。而空集∅不包括任何样本点，每次事件中都不会发生，那么∅为不可能事件。
    • 事件的关系与运算
      • 包含：A导致B发生，符号是A⊆B
      • 并事件(和事件）：A与B至少一个发生，符号是A∪B或A+B。
      • 交事件（积事件）：A和B同时发生，符号是A∩B或AB。
      • 互斥：A与B同时发生，符号是A∩B=∅。
      • 互为对立：A与B只有一个发生，符号是A∩B=∅，A∩B=Ω。
    • 古典概型
      • 对随机事件发生可能性大小的数值，称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示。
      • 古典概型试验具有以下两个特征：有限性以及等可能性。
      • 如果事件E是古典概型，样本空间Ω包括N个样本点，事件A包括其中K个样本点，则定义事件A的概率P（A）=k/n。
    • 概率的基本性质
      • 对于任意的性质，都有P（A）≥0。
      • 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
      • 如果事件A与事件B互斥，那么P（A）=P（A）+P（B）。
      • 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）=1-P（B），P（B）=1-P（A）
      • 如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）。
      • 如果A和B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）。
    • 事件的相互独立性：对于两个事件A与B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立。其中必然事件Ω与不可能事件∅都与任意事件相互独立。
    • 大量试验表明，任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A的发生概率有随机性，一般的随着试验次数n的增大，概率偏离程度的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A的概率。
• 空间向量
  • 空间向量的定义及运算
    • 在空间中，将有大小和方向的量称为空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。空间向量可以用小写字母表示。
    • 长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，=0。模为1的向量叫做单位向量。与向量a长度相等且方向相反向量，记作-a。表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做有共线向量或平行向量。零向量与任何向量平行。方向相等模相等的向量叫做相等向量。
    • 与向量a平行的非零向量成为直线l的方向向量（向量a的有向线段在直线l上）。平行于同一个平面的向量叫做共面向量。
    • 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面的向量，所以空间向量的线性计算都可以转换为平面向量的线性计算。空间向量的线性计算符合交换律，结合律，分配律。
    • 将非零向量a，b有向线段平移使其相交，有向线段的夹角就是非零向量a，b的夹角，记作<a, b>（0≤<a, b>≤π）。如果<a, b>=π/2，那么向量a与b互相垂直，记作a⊥b。两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a, b>，记作a·b。
  • 空间向量的基本定理
    • 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x,y,z）使得p=ca+yb+zc。
    • 如果3个向量a,b,c不共面，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.在这里将{a,b,c}叫做空间的基底，a,b,c叫做基向量。
    • 如果空间的一个基底中3个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底。将一个空间向量分解成3个两两垂直的向量，成为吧空间向量进行正交分解。
  • 空间向量及其运算的坐标表示
    • 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}。以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向，以他们的长尾单位长度建立三条数轴，x轴,y轴,z轴，将这三个轴统称为坐标轴。此时就建立了一个坐标轴Oxyz。点O叫做原点，i,j,k叫做坐标向量。通过两条坐标轴的平面叫做坐标平面。坐标平面会将空间分成8个部分。
    • 在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点A都对应着向量，且点A的位置能由向量唯一确定。可以得出，存在唯一一个有序实数组（x，y，z），使=xi+yj+zk，其中A可以由向量对应有序实数组（x,y,z）表示，称为点A在空间直角坐标系中的坐标。其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
    • 如果向量a=(a1,a2,a3),向量b=(b1,b2,b3)，那么a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。wa=(wa1,wa2,wa3),w∈R。a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
    • 
  • k空间向量的应用
    • 空间中，取一点O作为基点，那么空间中任意一点P既可以用向量表示，叫做点P的位置向量。
    • 在一个空间中，以O作为基点。a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，有向量共线的条件可知，所以点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=ta=t。进一步的，取定空间空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta=+t。以上的两个式子称为空间直线的向量表达式。
    • 设两条有向线段和相交于点O，其方向向量分别为a和b，P是平面α中的任何一个点，可得存在唯一的有序数对（x，y），使得=xa+yb。进一步的，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使=+x+y。上式称为空间平面ABC的向量表达式。
    • 直线l⊥平面α。取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量。过点A，且以向量a为法向量的平面的集合是{P|a·=0}。
    • 若u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，u1∥u2的充要条件是l1∥l2。如果u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l不属于α，则l∥α的充要条件是u⊥n，u·n=0。设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β的充要条件是n1∥n2。
    • 若u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，u1⊥u2的充要条件是l1⊥l2。如果u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α的充要条件是u∥n，u·n=0。设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β的充要条件是n1⊥n2。
• 直线与圆形的方程
  • 直线的倾斜角与斜率
    • 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向所成的角α叫做直线l的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0 rad。直线的倾斜角α的取值范围为0rad≤α＜π。
    • 斜率
      • 一条直线的倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率k，即k=tan α。
      • 若直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么k=（y2-y1）/（x2-x1）。
    • 若两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2。那么l1∥l2的充要条件为k1=k2；l1⊥l2的充要条件为k1k2=-1。
  • 直线的方程
    • 直线l与x轴的交点（a，0）的横坐标a叫做直线l在x轴的截距。直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴的截距。
    • 经过点（x0，y0）且斜率为k的直线的点斜式方程为y-y0=k（x-x0）。
    • 在y轴上的截距=b且斜率为k的直线的斜截式方程为y=kx+b。
    • 经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）的直线的两点式方程为（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
    • x轴和y轴的截距分别为a和b的直线的截距式方程是x/a+y/b=1。
    • 关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A和B不能同时为0）叫做直线的一般式方程。
  • 直线方程的应用
    • 在计算两条直线的交点坐标的时候，可以将两条直线的方程组合成为一个二元一次方程组，方程组的解就可以得到这两条直线的交点坐标，如果无解那么这两条直线平行，没有交点！
    • 
    • 点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|/。
    • 两条平行直线之间的距离等于其中一条直线的一点与另一条直线的距离。
  • 圆的方程
    • 方程（x-a）2+（y-b）2=r2称为圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程。
    • 圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0。其中当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0无实数解；当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点 （-D/2，-E/2）；当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（-D/2，-E/2）为圆心，以为半径的圆，此时方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做以（-D/2，-E/2）为圆心，以为半径的圆的一般方程。
  • 直线与圆、圆与圆的位置关系
    • 直线与圆的位置关系
      • 直线与圆相交，两个公共点。
      • 直线与圆相切，一个公共点。
      • 直线与圆相离，没有公共点。
    • 圆与圆的位置关系
      • 两圆相交，两个公共点。
      • 两圆相切，包括内切与外切，一个公共点。
      • 两圆相离，包括内含与外离，没有公共点。
• 圆锥曲线
  • 椭圆
    • 平面内两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点之间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。
    • 椭圆的方程：以经过一个椭圆的两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1，F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy。设M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c＞0）。那么焦点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）。设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a，若实数b的平方b2=a2+c2，那么方程x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）叫做这个椭圆的标准方程。以经过一个椭圆的两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1，F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy。设M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c＞0）。那么焦点F1，F2的坐标分别为（0，-c），（0，c）。设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a，若实数b的平方b2=a2+c2，那么方程y2/a2+x2/b2=1（a＞b＞0）叫做这个椭圆的标准方程。
    • 椭圆的几何性质
      • 方程为x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框中。方程为y2/a2+x2/b2=1（a＞b＞0）的椭圆位于直线y=±a和x=±b围成的矩形框中。
      • 椭圆关于x轴、y轴都是对称的。这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
      • 椭圆与其对称轴有四个交点A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，-b）叫做椭圆的顶点。线段A1A2，B1分别叫做椭圆的长轴和短轴，分别等于2a，2b。
      • 椭圆的离心率e=c/a，其中e＜1，e越接近于0椭圆就越接近于圆，当e=0时两个焦点重合，长轴等于短轴，椭圆变为方程为x2+y2=a2的圆。
  • 双曲线
    • 平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两点之间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距。双曲线由两支全等的曲线构成。
    • 双曲线的方程：以经过一个双曲线的两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1，F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy。设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c＞0）。那么焦点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）。设点M与焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于2a，若实数b的平方b2=c2-a2，那么方程x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）叫做这个双曲线的标准方程。以经过一个双曲线的两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1，F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy。设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c＞0）。那么焦点F1，F2的坐标分别为（0，-c），（0，c）。设点M与焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于2a，若实数b的平方b2=c2-a2，那么方程y2/a2-x2/b2=1（a＞0，b＞0）叫做这个双曲线的标准方程。
    • 双曲线的几何性质
      • 方程为x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）的双曲线的范围为x≤-a，或x≥a，y∈R。方程为y2/a2-x2/b2=1（a＞0，b＞0）的双曲线的范围为y≤-a，或y≥a，x∈R。
      • 方程为x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0），或y2/a2-x2/b2=1（a＞0，b＞0）的双曲线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
      • 双曲线与其的一条对称轴有两个交点称为双曲线的顶点，连接双曲线顶点的线段叫做双曲线的实轴，长为2a。双曲线与其的另一条对称轴没有交点，但为方便作图，将另一条对称轴中距离原点b个单位长度的两点的两线叫做双曲线的虚轴，长为2b。
      • 双曲线x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）的两支向外延伸时，与两条直线x/a±y/b=0逐渐接近，但永不相交，这两条直线叫做双曲线的渐近线。实轴和虚轴长都是2a的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，互相垂直，平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。
      • 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
      • 双曲线的离心率c=c/a，双曲线的离心率e＞1，双曲线的离心率刻画了其开口的大小。
  • 抛物线
    • 抛物线的方程：标准方程为y2=2px（p＞0）的抛物线，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为x=-p/2。标准方程为y2=2px（p＜0）的抛物线，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为x=-p/2。标准方程为x2=2py（p＞0）的抛物线，焦点坐标为（0，p/2），准线方程为y=-p/2。标准方程为x2=2py（p＜0）的抛物线，焦点坐标为（0，p/2），准线方程为y=-p/2。
    • 抛物线的几何性质
      • 抛物线向其开口的方向无限延伸。
      • 每个抛物线都有一个对称轴。标准方程为y2=2px（p＞0）或y2=2px（p＜0）的抛物线的对称轴是x轴。标准方程为x2=2py（p＞0）或x2=2py（p＜0）的抛物线的对称轴是y轴。抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
      • 抛物线和其轴的交点叫做抛物线的顶点。标准方程为y2=2px（p＞0）或y2=2px（p＜0）或x2=2py（p＞0）或x2=2py（p＜0）的对称轴都是平面直角坐标系的原点。
      • 抛物线的离心率e等于抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d，抛物线的离心率e=1。
  • 圆锥曲线与光学：从焦点发出的波经过抛物形线形状的镜面反射后，会形成一束平行波，反之亦然。从椭圆的一个焦点发射出来的波，经过椭圆形状的镜面反射后，会交于椭圆的另一个焦点上。从双曲线的一个焦点射出的波经过双曲线形状的镜面反射后，反射波是散开的，就好像是从另一个焦点射出的一样。
• 数列
  • 数列的概念
    • 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。在数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第一项，也叫首项，用a1表示；在数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第二项，用a2表示；...；在数列的第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示。数列的一般形式是a1，a2，...，an，...，简记为{an}。
    • 数列{an}是从正整数集N*（或其有限子集{1，2，...，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f（n）。与其他函数一样数列也可以用表格和图表来表示。从第2项起，每一项都大于其前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于其前一项的数列叫做递减数列。各项都相等的数列叫常数列。
    • 如果数列{an}的第n项an与其的符号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。如果一个数列相邻的两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了。
    • 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn=a1+a2+...+an。
  • 等差数列
    • 如果一个数列从第2项起，每一项与其的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。由三个数a，A，b组成的等差数列是最简单的等差数列，其中A叫做a与b的等差中项，2A=a+b。
    • 首项为a1，公差d的等差数列{an}的通项公式是an=a1+（n-1）d。
    • 等差数列{an}的前n项和公式：Sn=n（a1+an）/2=na1+n（n-1）d/2。
  • 等比数列
    • 如果一个数列从第2项起，每一项与其的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公比，用字母q（q≠0）表示。由三个数a，G，b组成的等比数列是最简单的等比数列，其中G叫做a与b的等比中项，G2=ab。
    • 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式是an=a1qn-1。
    • 等比数列{an}的前n项和公式：Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q），其中q≠1。
    • 在等比数列{an}中，每隔m（m∈N*）项抽出一项，所组成的数列还是等比数列，公差为qm+1。
  • 只要将等差数列的一个关系式的运算“+”改为“·”，“-”改为“/”，正整数倍改为正整数幂，相应的就得到等比数列中一个形式相同的关系式。
• 导数
  • 变化率及其几何意义
    • 一个函数y=f（x）的图像经过两点P1（x1，y1），P2（x1+Δx，y1+Δy），那么整个函数在这两点的平均变化率=Δy/Δx=（f（x1+Δx）-f（x1））/Δx。如果当Δx→（无限接近于）0时，平均变化率Δy/Δx无限接近于一个确定的数，即Δy/Δx有极限，则称y=f（x）在x=x1处可导，并把确定的值叫做叫做y=f（x）在x=x1的导数（瞬时变化率），记作f’（x1），即f’（x1）=Δy/Δx=（f（x1+Δx）-f（x1））/Δx，其中x→0。
    • 在函数图像中，两点的平均变化率等于这两点连线的斜率；而某点的导数等于，这个函数图像中经过这个点的切线！
    • 在一个函数y=f（x）中，当x变化时，y=f’（x）就是x的函数，称其为y=f（s）的导函数（也记作y’），即f’（x）=y’=（f（x1+Δx）-f（x1））/Δx，其中x→0。
  • 基本初等函数的导函数公式
    • 若f（s）=c（c为常数），则f’（x）=0。
    • 若f（x）=xa（a∈Q，a≠0），则f’（x）=axa-1。
    • 若f（x）=sin x，则f’（x）=cos x。
    • 若f（x）=cos x，则f’（x）=-sin x。
    • 若f（x）=ax（a＞0，a≠1），则f’（x）=axln a，（eax）’=aeax。
    • 若f（x）=logax（a＞0，a≠1），则f’（x）=1/xln a。
    • 若f（x）=tan x，则f’（x）=(sin x/cos x)’=1/cos x=sec2 x。
  • 导数的运算法则
    • [f（x）±g（x）]’=f’（x）±g’（x）。
    • [f（x）g（x）]’=f’（x）g（x）+f（x）g’（x）；[f（x）/g（x）]’=（f’（x）g（x）-f（x）g（x）’）/[g（x）]2。
    • 对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记作y=f（g（x））。复合函数y=f（g（x））与函数y=f（u）和u=g（x）的导函数之间的关系为yx’=yu’·ux’。
  • 导数在研究函数中的应用
    • 在某个区间（a,b）上，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递增。 在某个区间（a,b）上，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递减。
    • 函数f(x)在点x=a的导函数值f'(a)=0且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么，a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。 函数f(x)在点x=b的导函数值f'(b)=0且在点x=a附近的右侧f'(x)<0,左侧f'(x)>0,那么，b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
    • 如果在区间[a,b]上函数f(x)的图像时一条连续不断的曲线，那么，它必须有最大值和最小值。一个函数在区间[a,b]中，可能有好几个极值点，但只能有一个最值点。
  • 画函数f(x)大致图像的步骤
    • 1.求出函数f(x)的定义域。 2.求导数f'(x)的零点。 3.用f'(x)的零点将f(x)的定义域划成若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的定义域和极值。 4.确定f(x)图像经过的一些特殊点，以及图像变化的趋势。 5.画出f(x)的大体图像。
• 计数原理
  • 计数原理
    • 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
    • 分步乘法计数原理：完成一件事有两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N=mn种不同的方法。
  • 排列与组合
    • 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示。
    • 排列
      • 从n个不同元素取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个排列。
      • 从n个不同元素取出m个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。
      • Anm=n！/（n-m）！，Ann=n！。
    • 组合
      • 从n个不同元素取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
      • 从n个不同元素取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示。
      • Cnm=n！/m！（n-m）！。
      • Cnm=Cnn-m，Cn+1m=Cnm+Cnm-1。
  • 二项式定理
    • 公式（a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+...+Cnkan-kbk+...+Cnnbn，n∈N*叫做二项式定理右边的多项式叫做二项式展开式，其中各项的系数Cnk（k=0，1，2，...，n）叫做二项式系数。式中的Cnkan-kbk叫做二项式展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk+1=Cnkan-kbk。
    • 二项式系数的性质
      • 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。直线r=n/2会将函数f（r）=Cnr的离散点图像分为对称的两部分，是图像的对称轴。
      • 当k＜（n+1）/2时，Cnk随k的增大而增大；当k＞（n+1）/2时，Cnk随k的增大而减小。当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项相等，且同时取得最大值。
      • 在（a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n。
• 随机变量及其分布
  • 条件概率与全概率公式
    • 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，叫做在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B|A)。此时相当于以A为样本空间来考虑事件B所发生的概率。设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，P（A|B）=P（AB）/P（A）。
    • 对于任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）=P（A|B）P（A）。
    • 
  • 离散型随机变量
    • 对于随机试验样本空间Ω中的每一个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，那么称X为随机变量。可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，叫做离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，小写英文字母表示随机变量的取值。
    • 蛇离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，...，xn，设X取每一个值xi的概率P（X=xi）=Pi，i=1，2，...，n为X的概率分布列。离散型变量的分布列也可以用表格和图形表示。
  • 离散型随机变量的数字特征
    • 若离散型随机变量X等于x1，x2，...，xn，的概率P分别为于p1，p2，...，pn，则称E（X）=x1p1+x2p2+...+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数。
    • E（aX+b）=aE（X）+b
    • 若离散型随机变量X等于x1，x2，...，xn，的概率P分别为于p1，p2，...，pn，则称D（X）=（x1-E（X））2+（x2-E（X））2+...+（xn-E（X））2为随机变量X的方差。
    • D（aX+b）=a2D（X）
  • 二项分布与超几何分布
    • 只包含两个可能结果的实验叫做伯努利实验。把一个伯努利实验独立的重复进行n次所组成的随机试验成为n重伯努利实验。
    • 在n重伯努利实验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X=k）=Cnkpk（1-p）n-k，k=0，1，2，...，n。如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B（n，p）。
    • 若X~B（n，p），那么E（X）=np，D（X）=np（1-p）。
    • 了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回），则X的分布列为P（X=k）=CMkCN-Mn-k/CNn，k=m，m+1，m+2，...，r。其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}。如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么随机变量X服从超几何分布。
    • 在超几何分布中，E（X）=np。
  • 正态分布
    • 若一个随机变量的取值充满整个区间，单曲一点的概率为0，这样的随机变量为连续型随机变量。
    • 对于任意的x∈R，f（x）＞0，若可以证明x轴与f（x）的图像曲线之间的区域面积为1，那么f（x）为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线。若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为X~N（μ，σ2）。当μ=0，σ=1时称随机变量X服从标准正态分布。
    • 正态曲线有以下特点：曲线是单峰的，关于直线x=μ对称;曲线在x=μ处达到峰值1/σ；当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴。
    • 在X~N（μ，σ2）中，P（μ-σ≤X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=0.9973。
• 成对数据的统计分析
  • 成对数据的统计相关性
    • 变量的相关关系
      • 两个变量有关系，但又没有确切到也有其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系。
      • 从整体上看，当一个变量的值增加时， 另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，那么这两个变量正相关；当一个变量的值减小时， 另一个变量的相应值呈现增加的趋势，那么这两个变量负相关。
      • 如果两个变量的去支撑线正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，两个变量相性相关。
      • 由点组成的统计图叫做散点图；通常用于表示成对统计数据，其中一个点表示一对数据，两个坐标轴表示两个变量。
    • 样本相关系数
      • 一组成对数据（xi，yi）（i=1，2，...n），xi的方差为Sx，xi的方差分别为Sx，yi的方差为Sy，yi的平均数为y，xi的平均数为x。设（xi-x）/Sx=xi'，（yi-y）/Sy=yi'，那么数值r=（x1'y1'+x2'y2'+...+xn'yn'）/n。其中r是变量x和变量y的样本相关系数。
      • 样本相关系数r是一个描述称对样本数据的数字特征。当r＜0时，成对样本数据负相关；当r＞0，成对样本数据正相关；且r的取值范围是[-1，1]。|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱。
  • 子主题
  • 子主题