导图社区 《统计》第六章:推断统计的数学基础
根据本科阶段心理学领域中的《心理与行为统计学》整理,下图为推断统计的数学基础知识要点总结,免费分享给大家学习使用。
编辑于2020-11-25 22:24:29心理发展指从动物到人类的心理演变过程。个体心理发展指人类个体从受精卵开始到出生、成熟直至衰老的整个生命中心理发生和发展的过程。发展心理学主要包括动物(比较)心理学、儿童心理学、中年心理学和老年心理学等,其中儿童(含青少年)心理学又是发展心理学的主干内容,发展心理学的狭义概念就是指儿童心理学。
心理发展指从动物到人类的心理演变过程。个体心理发展指人类个体从受精卵开始到出生、成熟直至衰老的整个生命中心理发生和发展的过程。发展心理学主要包括动物(比较)心理学、儿童心理学、中年心理学和老年心理学等,其中儿童(含青少年)心理学又是发展心理学的主干内容,发展心理学的狭义概念就是指儿童心理学。
心理发展指从动物到人类的心理演变过程。个体心理发展指人类个体从受精卵开始到出生、成熟直至衰老的整个生命中心理发生和发展的过程。发展心理学主要包括动物(比较)心理学、儿童心理学、中年心理学和老年心理学等,其中儿童(含青少年)心理学又是发展心理学的主干内容,发展心理学的狭义概念就是指儿童心理学。
社区模板帮助中心,点此进入>>
心理发展指从动物到人类的心理演变过程。个体心理发展指人类个体从受精卵开始到出生、成熟直至衰老的整个生命中心理发生和发展的过程。发展心理学主要包括动物(比较)心理学、儿童心理学、中年心理学和老年心理学等,其中儿童(含青少年)心理学又是发展心理学的主干内容,发展心理学的狭义概念就是指儿童心理学。
心理发展指从动物到人类的心理演变过程。个体心理发展指人类个体从受精卵开始到出生、成熟直至衰老的整个生命中心理发生和发展的过程。发展心理学主要包括动物(比较)心理学、儿童心理学、中年心理学和老年心理学等,其中儿童(含青少年)心理学又是发展心理学的主干内容,发展心理学的狭义概念就是指儿童心理学。
心理发展指从动物到人类的心理演变过程。个体心理发展指人类个体从受精卵开始到出生、成熟直至衰老的整个生命中心理发生和发展的过程。发展心理学主要包括动物(比较)心理学、儿童心理学、中年心理学和老年心理学等,其中儿童(含青少年)心理学又是发展心理学的主干内容,发展心理学的狭义概念就是指儿童心理学。
推断统计的数学基础
概述
概率
分类
后验概率
对随机事件进行 n 次观察,某一事件 A 出现的次数 m 与观测次数 n 的比值。 当n 趋近无穷时,这个比值将稳定在一个常数 P 上 P ( A ) =m/n
先验概率
结果数有限且每一种结果出现的可能性相等 P=m/n 当进行多次观测,后验概率无限接近先验概率
性质
公理系统
任一随机事件 A 的概率均为非负
一定条件下必然事件的概率为 1
一定条件下不可能事件的概率为 0
但后两个公理的逆定理不成立
加法公理
互斥
p(A+B)=P(A)+P(B)=P(A或B )
乘法公理
独立
P ( AB) =P( A ) ✖️P ( B ) =P( A 且B )
概率分布
常量分布
正态分布/高斯分布
连续随机变量,实际应用最广泛的一种理论分布,N(μ,σ²)
特点
呈对称分布(对称不一定是正态)。均值、中数、众数相等
中央点最高,曲线先向内弯再向外弯拐点在±1个标准差处
正态分布是一族分布,其形态会随着随机变量的均值和标准差变化
所有正态分布都可以经由Z分数转成标准分数
标准正态分布μ=0,σ²=1,记作N(0,1) 标准正态分布具有固定的均值和标准误
正态曲线下面积为1
±1个标准差68.26%,±1.96个标准差95%,±2.58个标准差99%,Z=1.64以下95%,Z=2.33以下99%
正态分布下各差异量数之间有固定比率
应用
正态分布表的应用
在研究中的应用
化等级评定为测量数据
确定测验题目的难易度
按能力分组,确定人数
测验分数的正态化
二项分布(仅有两种不同性质的结果(例:抛硬币的正反面) 离散分布)
二项试验/贝努里试验
任何一次试验恰有两个结果
共有n次试验,n是预先给定的任一正整数
各次试验各自独立
某结果的概率在任一次试验钟都是固定的
特点
离散型分布
n为独立试验的次数,p为成功事件的概率,q=1-p
p=q时图形对称
p≠q时成偏态,若n很大,则二项分布接近于正态分布
若二项分布满足np且nq≥5,二项分布接近正态分布,μ=np,σ=npq根号
应用
 假定小概率事件(概率小于5%)。在一次抽样中不会发生
样本分布(样本统计量的分布)
正态分布及渐进正态分布
样本均值的分布
总体为正态,方差已知,样本均值的分布为正态分布

总体非正态,方差已知,但是样本足够大(n>30),样本均值的分布为渐进正态分布
 无数个样本平均数的标准差称为标准误,它估计了由于随机性所造成的样本平均数与总体平均数之间的标准差量
样本方差及标准差的分布
样本足够大时(n>30),样本方差及标准差渐趋于正态分布
t 分布
样本均值分布
总体为正态,方差未知,样本均值的分布为t分布
总体非正态,方差未知,但是样本足够大(n>30),样本均值的分布近似为t分布

特点
t分布是一种左右对称、锋态较高狭,形状随自由度n-1变化而变化的一族分布
形状:以均值为0左右对称,左侧t<0,右侧t>0
取值:变量取值在[+∞,-∞]
变化:n→+∞,t分布为正态分布,方差为1
若df=n-1>30时,t分布接近正态分布,方差大于1,随df增大,方差渐趋于1
若df=n-1<30,t分布与正态分布相差较大,随df减小,方差变大,分布中间变低、尾部变高
X 平方分布/卡方分布
从正态总体种随机抽取无限多个数量为n的随机变量,这些变量的平方和或者标准分数的平方和的分布
特点
形状:是一个正偏态的一族分布,属于连续型分布(有些离散型分布也近似卡方分布)
取值:均为正值
变化:n或n-1越小,分布越偏斜;df→+∞时,为正态分布
卡方分布的和也是卡方分布
df>2时(一般情况下,df值均大于2)

F 分布
从两个正态分布总体中随机抽取容量为n1,n2两个样本,计算X²值,每个X²随机变量除以相对应的自由度df1与df2之比,称为F比率,无限多个F值的分布即为F分布
若两样本取自同一总体,则称为方差齐性检验
特点
形状:是一个正偏态的一族分布
取值:F值总为正值(方差之比)
变化:随着分子分母的自由度的增加而渐趋于正态分布
分子自由度为1时,分母自由度为任意值,都有F值与分母自由度相等概率的t值(双侧概率)的平方相等。F=t²
样本平均数分布定理
中心极限定理

大数定律

抽样原理及方法
抽样原理
随机性原理(基本原则)
每个个体被选取的概率相等
返回取样
代表性原则(根本原则)
最大允许抽样误差d
抽样方法
简单随机取样法
最能体现随机化原则
在大规模抽样时费时费力
等距取样法/系统抽样
抽样方法简单
适合总体数目庞大
样本代表性较强
当总体具有某一种周期性变化时可能忽略已有信息
分层随机取样法
不符合随机性原则,符合代表性原则
层内尽量同质,层间尽量异质,个体差异较大时用
按各层比例分配
最佳分配:标准差大的层多分配
多段随机取样法
总体容量很大
样本容量
样本容量和总体没有固定的数量关系
一般来说,样本容量越大,产生的误差越小
若总体差异很大,则需要增大样本容量以减少抽样误差
在已知置信区间和置信水平的前提下,可以通过公式和查表的方式或找到对应的样本量大小