量子力学的诞生

初等量子导论部分，把握初等量子力学整体脉络便于学习与思考，黑体辐射为探究“黑体”这样一个模型空腔内能量密度随频率变化的分布，实验测的以后需要通过理论解释其分布。

量子力学的诞生

• 物理学史
  • 经典物理五大难题
    • 黑体辐射
      • 为探究“黑体”这样一个模型空腔内能量密度随频率变化的分布，实验测的以后需要通过理论解释其分布
      • wien通过热力学普适定理出发结合实验数据得到半经典公式
        • 问题:在高频下符合，低频不符合
      • Rayleigh jeans:在一有限立方体内电磁波传播为驻波，求这有限空间内的电磁波模式密度（在相空间中将改变频率得球壳体积➗单个模式数所占据体积＝总的允许模式数，再➗单位频率则为模式密度）。根据能量均分定理电磁波模式密度✖️每个模式所贡献的平均能量（1/2）KT。得黑体能量密度公式
        • 问题:低频符合，高频不符合，即“紫外灾难”
      • plank:改进wein公式与实验数据符合很好，并能够通过极限推出wien公式和（频率∞时）和Rayleigh jeans公式（频率→0时）
    • 光电效应
      • 光电效应实验现象和结论与经典物理不符
      • 问题
        • 当入射光频率＜截止频率无论光强多大都不可能观察到光电子，光电子能量与入射光频率有关而与光强无关→经典物理电磁能量与振幅的平方成正比
        • 只要入射光频率＞截止频率那么无论光强多小立刻观察到光电子→经典电磁理论计算光强很弱的入射光观察到光电子的时间比实验要长很多
    • 原子线状光谱及其规律
      • 问题:①将恒星光线通过光栅分析元素谱线，发现元素谱线向低频（红端）平移一个单位才与地球元素相同，即“红移现象”。②人们通过实验总结原子的线状光谱经验公式（Balmer氢原子)，却没有实验理论解释，并且通过更多元素的谱线总结出了每种原子是由特性一系列光谱项的，而原子发出光谱线的波数是两个光谱项之差，但这种特有的光谱项数量比光谱线少的多也就是说，原子光谱其实是离散（分立）的。
        • 通过多普勒效应解释，恒星背离我们远去，是宇宙大爆炸的依据
    • 原子的稳定性问题
      • 首先由Thomson通过阴极射线实验发现电子提出电子枣糕模型，伦琴发现X光，巴黎地质博物馆职员发现铀放射性，再后来卢瑟福将放射性物质放入磁场发现α和β射线。最后卢瑟福通过用α粒子轰击金箔片构建原子的核式结构模型（理论计算的散射截面与实验相符，并且由此推翻了枣糕模型）
      • 问题:根据理论电子绕原子核做加速运动会向外辐射电磁波（能量）能量变小，做近心运动，最终会撞上带正电的原子核。即卢瑟福核式结构模型不可能稳定
    • 低温固体比热
  • 量子理论
    • planck-Einstein光量子理论
      • 1.planck改进wein公式解决黑体辐射问题，进一步通过理论解释公式时（使用统计力学公式，什么玻尔兹曼因子，模式平均能量，吉布斯因子，配分函数等没有听懂），导出结论，在黑体辐射模型空腔中电磁波（驻波）模式的能量是分立的，并且存在一个最小能量单元hν
        • 求解一维谐振子问题——能量分份
      • 2.将planck能量分立且存在最小单元的概念由驻波推广到了所有电磁波，引入了光量子概念。光是电磁波且由光量子组成，光量子有最小能量。再结合狭义相对论质能关系，将能量分立推广到动量分立。从而完全解释了光电效应（标准介绍见课本）
        • compton散射实验验证光量子论
    • Bohr量子论
      • 1.分析原子稳定性问题根源:电子绕原子核做加速运动，向外辐射能量最后电子轨迹是连续向原子核靠近，撞击原子核。
      • 2.提出三个假设
        • 定态轨道:电子只能处在分立，确定的轨道
        • 跃迁条件:跃迁改变的能量要满足planck-Einstein关系
        • 对应原理:当轨道（量子数）趋近∞将退化到经典结论
      • 3.研究最简单的氢原子结构并推出能级公式
        • 推导略
        • 结论:能量取特定的值的“态”才是稳定的，并且存在能量最低的态
      • 4.与目前唯一由实验证明是正确的Blamer氢光谱公式推出普适常量常数，并预言紫外区存在光谱。
        • 后得证（待更新）
      • 5.推广:电子轨道角动量量子化
        • 索末菲将其推广到角动量量子化，即反过来假设电子只能处于角动量量子化的状态，以便研究富亚电子轨道。
      • 6.面临的问题:波尔量子论在复杂原子中不适用。
    • 矩阵力学
      • 海森堡
        • 1.海森堡为解决波尔理论在复杂电子不适用的问题首先审视了波尔的三条假设，其中只有定态轨道中的轨道是无法通过实验测量的物理量，引起了他的质疑
        • 2.由于目前已知的只有光谱规律是基于实验得出，是正确的。由于光谱规律总是与两个状态相关（光谱项），海森堡将粒子坐标，速度，动量等这些可以观测的量由于是与两个态有关的，自然而然写成了矩阵的形式（当时海森堡还不知道矩阵，后由数学家波恩（？不确定）指出）
        • 3.海森堡以氢原子为例，写出动量矩阵与粒子坐标矩阵。由于矩阵是不满足交换运算的，那么很自然的就可以想到那么[X^,Px^]＝X^Px^-Px^X^＝❓
      • 狄拉克
        • 4.狄拉克发现分析力学中的泊松括号。根据泊松括号所符合的运算发现对易子（即可观测量对应矩阵的乘积再相减）也同样满足。泊狄拉克基于波尔的对应原理，即世界是统一的经典世界与量子世界有平稳的过度，从而建立了量子力学中对易子＝系数D乘泊松括号乘单位矩阵的（因为泊松括号是函数，对易子是矩阵）。并得到一组量子力学方程式（系数未知）
        • 补:狄拉克正则量子化即得到体系的哈密顿量则该体系的动力学行为确定。
          • ①写下牛顿方程
          • ②求出拉格朗日量，带入拉氏方程若＝0即与牛顿方程重合，则所找到正确的拉格朗日量
          • ③计算广义动量
          • ④写出哈密顿量
          • ⑤量子化哈密顿量，要求对应下标的广义坐标和广义动量对易子＝ihbar
      • 泡利
        • 5.泡利用对易子与泊松括号的关系重新推导氢原子的光谱公式，从而确定系数D。D＝±ihbar。从而最终得到量子力学基本方程式
          • 推导看不懂
    • 波动力学
      • De Broglie物质波
        • 1.关注到planck-Einstein光量子论，光子没有质量具有波粒二象性
        • 2.推广到质量不为零的粒子同样也具有波粒二象性，即实物粒子不仅具有粒子性还具有波动性，从而提出物质波
        • 氢原子作稳定的圆轨道运动的电子对应一种驻波波形，根据德布罗意结合爱因斯坦推出动量的分立关系，可以推出波尔的角动量量子化条件。
      • schrödinger方程
        • 1.在接受德布罗意物质波的概念下，首先写出粒子具有的波动方程
        • 2.考虑自由粒子，只知道相对论中其能量E＝P²/2m。两边同时乘以波函数，再凑微分方程则解出德布罗意自由电子行波。
        • 3.验证:推导氢原子的能级公式
          • ①改写方程，将自由电子波函数换为束缚电子波函数，束缚电子不仅有动能项还有势能项。带入波动方程中
          • ②求解这个波动方程即可（太过复杂略）
          • ③不仅导出波尔氢原子能级公式并且阐述了能级简并，解释了谱线明亮不一的原因
        • 4.两个新问题
          • 矩阵力学与波动力学是否等价？
          • 波函数的物理意义？
        • 5.薛定谔证明矩阵力学与波动力学的等价性
          • 略
      • Born几率解释
        • 1.将薛定谔方程两边同乘波函数的共轭，再将薛定谔取共轭以后得方程乘以波函数。两式相减后类比于连续性方程，是的波函数乘以波函数的共轭为某种密度
        • 2.波恩阐述波函数是指给定时刻t在空间r处小球dv内找到粒子的几率
        • 3.几率解释论证
          • 略（证明线性空间是希尔伯特空间的意义？）
          • 总之满足薛定谔方程的波函数称之为允许波函数，而允许波函数是平方可积的即模平方有限，若乘以某归一化系数也称波函数是归一的，并且允许函数的线性组合也是允许函数（也正是希尔伯特空间特点）
        • 4.几率解释可解释杨氏双缝实验，并且到目前未必没有不符合的情况
    • 海森堡——测不准原理
      • 推导略
      • 意义:量子力学是基于可观测量的
        • 观测量子只能基于经典的仪器，而宏观的仪器局限于认识世界的程度，而得到的解释就是几率解释，量子力学是研究量子客体是如何与经典仪器相互作用的
      • 用测不准原理估算氢原子最低能级的数量级
• 重要的结果与基础推导
  • 1.planck黑体辐射公式推导
  • 2.康普顿散射实验截面推导
  • 3.爱因斯坦光电效应的解释过程
  • 4.波尔氢原子能级公式的推导
  • 5.波尔电子轨道角动量量子化的推导（考虑最简单的正圆轨道，要知道电子轨道其实是椭圆）
  • 6.泡利使用狄拉克矩阵求解氢原子能级公式
  • 7.量子力学基本方程式的导出以及常见对易关系的证明
  • 8.薛定谔方程推导波尔的氢原子能级公式
  • 9.波恩几率解释验证波函数处于希尔伯特空间（线性空间）
  • 10.几率解释杨氏双缝实验
  • 11.薛定谔证明矩阵力学与波动力学等价性过程
  • 12.海森堡测不准原理的论证
  • 13.测不准原理估算氢原子最低能级的数量级